高數(shù)部分知識點總結(jié)

高數(shù)部分知識點總結(jié)1高數(shù)部分1.1高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向:1.利用等價無窮小;2.利用洛必達法0,,0,0,1則，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、、型0,0,的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達法則;3.利用重要極0,1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夾逼定理。(1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,,1.2高數(shù)第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》、第三章《不定積分》、第四章《定積分》第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》與前面的第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》、后面的第三章《不定積分》、第四章《定積分》都是基礎(chǔ)性知識，一方面有單獨出題的情況，如歷年真題的填空題第一題常常是求極限;更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運用，故非常有必要打牢基礎(chǔ)。對于第三章《不定積分》，陳文燈復(fù)習(xí)指南分類討論的非常全面，范圍遠大于考試可能涉及的范圍。在此只提醒一點:不定積分f(x)dx,F(x)，C中的積分常數(shù)C容易被忽略，而考試時如果在答,案中少寫這個C會失一分。所以可以這樣建立起二者之間的聯(lián)系以加f(x)dx深印象:定積分的結(jié)果可以寫為F(x)+1，1指的就是那一分，,f(x)dx,F(x)，C把它折彎后就是中的那個C,漏掉了C也就漏掉了,這1分。第四章《定積分及廣義積分》可以看作是對第三章中解不定積分方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵除了運用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異——出題人在定積分題目中首先可能在積分上下af(x)dx限上做文章:對于型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有,,aaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)為偶函數(shù)則有=2;對于,,,,a,a0,,2t,,xf(x)dx型積分，f(x)一般含三角函數(shù)，此時用的代換是常,02用方法。所以解這一部分題的思路應(yīng)該是先看是否能從積分上下限中入手，對于對稱區(qū)間上的積分要同時考慮到利用變量替換x=-u和利aaa奇函數(shù),0偶函數(shù),2偶函數(shù)用性質(zhì)、。在處理完積分上下,,,,a,a0限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路對于證明定積分等式的題目也同樣有效。1.3高數(shù)第五章《中值定理的證明技巧》由本章《中值定理的證明技巧》討論一下證明題的應(yīng)對方法。用E、(AB)C、以下這組邏輯公式來作模型:假如有邏輯推導(dǎo)公式A:,,DE)F,由這樣一組邏輯關(guān)系可以構(gòu)造出若干難易程度不等的(C::,證明題，其中一個可以是這樣的:條件給出A、B、D，求證F成立。為了證明F成立可以從條件、結(jié)論兩個方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結(jié)論入手證明稱之為反方向。正方向入手時可能遇到的問題有以下幾類:1.已知的邏輯推導(dǎo)公式太多，難以E就從中找出有用的一個。如對于證明F成立必備邏輯公式中的A,可能有AH、A(IK)、(AB)M等等公式同時存在，有的邏輯::,,,公式看起來最有可能用到，如(AB)M，因為其中涉及了題目所給:,的3個條件中的2個，但這恰恰走不通;2.對于解題必須的關(guān)鍵邏輯推導(dǎo)關(guān)系不清楚，在該用到的時候想不起來或者弄錯。如對于模型中的(AB)C，如果不知道或弄錯則一定無法得出結(jié)論。從反方向:,入手證明時也會遇到同樣的問題。通過對這個模型的分析可以看出，對可用知識點掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。針對以上分析，解證明題時其一要靈活，在一條思路走不通時必須迅速轉(zhuǎn)換思路，而不應(yīng)該再從頭開始反復(fù)地想自己的這條思路是不是哪里出了問題;另外更重要的一點是如何從題目中盡可能多地獲取信息。當我們解證明題遇到困難時，最常見的情況是拿到題莫名其妙，感覺條件與欲證結(jié)論簡直是風(fēng)馬牛不相及的東西，長時間無法入手;好不容易找到一個大致方向，在做若干步以后卻再也無法與結(jié)論拉近距離了。從出題人的角度來看，這是因為沒能夠有效地從條件中獲取信息?！氨M可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時一開始就想到了公式(CDE)F再倒推想到(AB)C、AE就可以證明:::,,,了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型:條件欲證結(jié)論可用定理,A關(guān)于閉區(qū)間存在一個使介值定理(結(jié)論部分為:存在一個,上的連續(xù)函滿足某f,k(,)得),數(shù)，常常是個式子零值定理(結(jié)論部分為:存在一個使只有連續(xù)性f,0(,)得)已知,f,0B條件包括函存在一個)費爾馬定理(結(jié)論部分為:(x)0,,數(shù)在閉區(qū)間滿足洛爾定理(結(jié)論部分為:存在一個使n(),f,0f,0上連續(xù)、在(,)得)(,)開區(qū)間上可導(dǎo)C條件包括函存在一個拉格朗日中值定理(結(jié)論部分為:存在fb,fa()(),f,,數(shù)在閉區(qū)間滿足,使得)一個,b,a()n()f,k,上連續(xù)、在柯西中值定理(結(jié)論部分為:存在一個(,)開區(qū)間上可,f,()f(b),f(a),g(b),g(a)使得),g(,)導(dǎo)另外還常利用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為可用費爾馬或洛爾定理的形式來證明從上表中可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱，如表格中B、C的條件是一樣的，同時A也只多了一條“可導(dǎo)性”而已;所以在面對這一部分的題目時，如果把與證結(jié)論與可能用到的幾個定理的的結(jié)論作一比較，會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。故對于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點應(yīng)該放在熟記定理的結(jié)論部分上;如果能夠做到f,k(,),想到介值定理時就能同時想起結(jié)論“存在一個使得”、看f,k(,),到題目欲證結(jié)論中出現(xiàn)類似“存在一個使得”的形式時也,f,0能立刻想到介值定理;想到洛爾定理時就能想到式子;而見(,),f,()f(b),f(a),g(b),g(a)到式子也如同見到拉格朗日中值定理一樣，那么在處,g(,)理本部分的題目時就會輕松的多，時常還會收到“豁然開朗”的效果。所以說，“牢記定理的結(jié)論部分”對作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現(xiàn)的最為明顯。綜上所述，針對包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)合;同時保持清醒理智，降低出錯的可能”。希望這些想法對你能有一點啟發(fā)。不過僅僅弄明白這些離實戰(zhàn)要求還差得很遠，因為在實戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當時想不到;很多結(jié)論、性質(zhì)和定理自己感覺確實是弄懂了、也差不多記住了，但是在做題時那種沒有提示、或者提示很少的條件下還是無法做到靈活運用;這也就是自身感覺與實戰(zhàn)要求之間的差別。這就像在記英語單詞時，看到英語能想到漢語與看到漢語能想到英語的掌握程度是不同的一樣，對于考研數(shù)學(xué)大綱中“理解”和“掌握”這兩個詞的認識其實是在做題的過程中才慢慢清晰的。我們需要做的就是靠足量、高效的練習(xí)來透徹掌握定理性質(zhì)及熟練運用各種變形轉(zhuǎn)換技巧，從而達到大綱的相應(yīng)要求，提高實戰(zhàn)條件下解題的勝算。依我看，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。1.4高數(shù)第六章《常微分方程》本章常微分方程部分的結(jié)構(gòu)簡單，陳文燈復(fù)習(xí)指南對一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對應(yīng)的表格。歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點處的切線、法線、積分方程等問題來引出;從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。對于本章的題目，第一步應(yīng)該是辨明類型，實踐證明這是必須放在第一位的;分清類型以后按照對應(yīng)的求解方法按部就班求解即可。這是因為其實并非所有的微分方程都是可解的，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中只討論了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識點緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。這樣的知識點特點就決定了我們可以采取相對機械的“辨明類型——〉套用對應(yīng)方法求解”的套路，而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。先討論一下一階方程部分。這一部分結(jié)構(gòu)清晰，對于各種方程的通式必須牢記，還要能夠?qū)σ谆煜念}目做出準確判斷。各種類型都有自己對應(yīng)的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規(guī)律可循——這些方法最后的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為f(x)dx=f(y)dy這樣的形式，再積分得到答案。對于可f(x)g(y)dx，f(x)g(y)dy,0分離變量型方程，就是變形為1122yf(x)g(y)12,y,f()dxdy=-，再積分求解;對于齊次方程則做變量xf(x)g(y)21yduu,,u，xyu和x替換，則化為，原方程就可化為關(guān)于的可分xdx,y，p(x)y,q(x)離變量方程，變形積分即可解;對于一階線性方程dy,y，p(x)y,0,,p(x)dx第一步先求的通解，然后將變形得到的y,y，p(x)y,q(x)積分，第二步將通解中的C變?yōu)镃(x)代入原方程解n,y，p(x)y,q(x)y出C(x)后代入即可得解;對于貝努利方程，先1,nz,y做變量代換代入可得到關(guān)于z、x的一階線性方程，求解以后將z還原即可;全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比較特殊，因為其有,M,N,條件，而且解題時直接套用通解公式,y,xxy.M(x,y)dx，N(x,y)dy,C0,,xy00所以，對于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結(jié)果公式。對于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對于(n,1)(n)(n),yyZ,y,f(x)型方程，就是先把當作未知函數(shù)Z，則dz,f(x)dx原方程就化為的一階方程形式，積分即得;再對(n,2)(n,3)yy、依次做上述處理即可求解;y,,,y,f(x,y)叫不顯含的二階方程，解法是通過變量替換,,,,y,py,p、(p為x的函數(shù))將原方程化為一階方程;,,,,y,f(y,y)y,p叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令(但dpdydp,,,y,,p,pp此中的p為y的函數(shù))，則，也可化為一dydxdy階形式。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換y1,nz,y,u”，“求解貝努利方程就用變量替換”一樣，在這里也x,,,,y,py,p要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換、”、,,,,y,ppy,p“求解不顯含x的二階方程就用變量替換、”。大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可。其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對比記憶:y(x)若齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系有y(x)若、是齊次方程12,,y，p(x)y，q(x)y,0(n-r)個線性無關(guān)的解向量，則齊次方的兩個線性無關(guān)的特解，則該齊次方程的通解為程組的通解為x,ky，ky，,,,，ky,(x),cy(x)，cy(x)1122n,rn,r1122非齊次方程非齊次方程組Ax=b的一個通解等于,,y，p(x)y，q(x)y,f(x)Ax=b的一個特解與其導(dǎo)出組齊次方程的通解為,y,cy(x)，cy(x)，y(x)Ax=0的通解之和，其中11221,y(x)是非齊次方程的一個特解，1cy(x)，cy(x)是對應(yīng)齊次方程1122,,y，p(x)y，q(x)y,0的通解y(x)y(x)r若非齊次方程有兩個特解，r12、是方程組Ax=b的兩個特解，若12則對應(yīng)齊次方程的一個解為rr則(-)是其對應(yīng)齊次方程組Ax=012y(x),y(x),y(x)的解12由以上的討論可以看到，本章并不應(yīng)該成為高數(shù)部分中比較難辦的章節(jié)，因為這一章如果有難點的話也僅在于“如何準確無誤地記憶各種方程類型及對應(yīng)解法”，也可以說本章難就難在記憶量大上。1.5高數(shù)第七章《一元微積分的應(yīng)用》本章包括導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分，其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點;而定積分的應(yīng)用在歷年真題的大題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結(jié)合。典型的構(gòu)題方式是利用變區(qū)間上的面積、體積或弧長引出積分方程，一般需要把積分方程中xxf(t)dtf(t)dt的變上限積分單獨分離到方程的一端形成“,,,aa?”的形式，在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用相關(guān)方程的對應(yīng)解法求解。對于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識點:1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導(dǎo)判斷，判定極、最值時則須注意以下兩點:A.xxf(x)極值的定義是:對于的鄰域內(nèi)異于的任一點都有,00f(x)f(x)f(x)或,,注意是,或,而不是?或?;B.極00值點包括圖1、圖2兩種可能，所以只有在,xxf(x)f(x),0在處可導(dǎo)且在處取極值時才有。以上兩點都00是實際做題中經(jīng)常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。2.討論方程根的情況。這一部分常用定理有零值定理(結(jié)論部分,f,0f,0為)、洛爾定理(結(jié)論部分為);常用到構(gòu)造輔助(,)(,)函數(shù)法;在作題時，畫輔助圖會起到很好的作用，尤其是對于討論方程根個數(shù)的題目，結(jié)合函數(shù)圖象會比較容易判斷。3.理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件:A.若,,f(x)f(x),0f(x)在區(qū)間I上的，則在I上是凸的;若函數(shù),,f(x)f(x),0f(x)f(x)在I上的，則在I上是凹的;B.若在,,,,,f,0xf(x),0f(x),0f(x)點處有且，則當時為(x)0000,,f(x),0f(x)極大值，當時為極小值。00,f(x)其中，A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，,f,0,,,f(x)f(x)f(x)是的變化率，是的變化率?？梢哉f明(x),,f(x),0函數(shù)是增函數(shù)，典型圖像是;f(x)可以說明函數(shù)的變化率在區(qū)間I上是遞減的，包括以下兩種可能:,f(x)xa.此時為正，且隨變大而變小(大小關(guān)系可參考圖3);,f(x)xb.此時為負，隨變大而變小(大小關(guān)系可參考圖3);,,f(x),0同樣，也只有兩種對應(yīng)圖像:,f(x)xc.此時為正，隨著變大而變大;,f(x)xd.此時為負，隨變大而變大。,,f(x),0所以，當時，對應(yīng)或的函數(shù)圖,,f(x),0像，是凸的;當時，對應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凹的。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹,,,f,0f(x),0性的充要條件多了“且”，這從圖像上也很容易(x)0,,f(x),0理解:滿足的圖像必是凸的，即或，當,,,f,0f(x),0且時不就一定是的情況嗎。(x)0對于定積分的應(yīng)用部分，首先需要對微元法熟練掌握。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識點之一;但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習(xí)才能真正體會其思想。在此結(jié)合函數(shù)圖像與對應(yīng)的微元法核心式來歸納微元法的三種常見類型:1.薄桶型.本例求的是由平面圖型a?x?b,0?y?f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體(如上圖陰影部分所示)，則根據(jù)微元法思想可dv,2,xf(x)dxf(x)得薄桶體積,其中是薄桶的高，2,xf(x)dx是薄桶展開變成薄板后的底面積，就是薄板的厚度;二者相乘即得體積。V,2,xf(x)dxdv,2,xf(x)dx對積分可得。在這個例,子中，體現(xiàn)微元法特色的地方在于:1.雖然薄桶的高是個變化量，f(x)dx但卻用來表示;2.用表示薄桶的厚度;3.核心式dv,2,xf(x)dx。2y,x2.薄餅型.本例求的是由拋物線及2y,4xyH繞軸旋轉(zhuǎn)形成的高的旋轉(zhuǎn)體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的一個薄餅型形體，可得微元法核心式y(tǒng)ydv,,(y,)dy,(y,)。其中是薄餅的底面積，薄餅與4422y,xr,x,r旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是,?，?222,,yy,4x,r,,x;同理薄餅與旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的,ydy面積是，二者相減即得薄餅底面積。核心式中的是薄4餅的高。這個例子中的薄餅其實并不是上下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺，但將其視為上下等粗來求解，這一點也體現(xiàn)了微元法的特色。R3.薄球型.本例求球體質(zhì)量，半徑為，2,,rr密度，其中指球內(nèi)任意一點到球心的距離。方法是rdr取球體中的一個薄球形形體，其內(nèi)徑為厚度為，對于這22dv,4,rrdr4,rdr個薄球的體積有，其中是薄球表面積，是厚度。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個薄面以dr后再用底面積乘高得到的。由于很小，故可認為薄球內(nèi)質(zhì)量均2224,,rdm,4,r,rdr,4,rdr勻，為，則薄球質(zhì)量，積分24,rdr可得結(jié)果。本例中“用內(nèi)表面的表面積乘以薄球厚度得dv到核心式”、“將內(nèi)的薄球密度視為均勻”體現(xiàn)了微元法的特色。通過以上三個例子談了一下了我對微元法特點的一點認識。這種方法的靈活運用必須通過自己動手做題體會才能實現(xiàn)，因為其中一些邏輯表面上并不符合常規(guī)思維，但也許這正是研究生入學(xué)考試出題老師喜歡微元法的原因。關(guān)于定積分的應(yīng)用，以下補充列出了定積分各種應(yīng)用的公式表格:求平面圖形面積bs,f(x)dx,a求旋轉(zhuǎn)體體積(可用微元法也可用公x左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的b式)2Vx,,f(x)dxy體積，繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積,abVy,2,xf(x)dx,ax左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體b22Vx,,[f(x),f(x)]dxy積，繞軸旋轉(zhuǎn)體得體21,abVy,2,x[f(x),f(x)]dx積21,a已知平行截面面積求立體體bV,s(x)dx,積a求平面曲線的弧長b2,l,1，(y)dx,a1.6高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復(fù)習(xí)本章時需要重點考慮的問題。抓住本章前后知識點的聯(lián)系來復(fù)習(xí)是一種有效的策略，因為這樣做既可以避免重復(fù)記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的準確性。同時，知識點前后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點之一。以下列出本章中前后聯(lián)系的知識點:a)矢量間關(guān)系在討論線線關(guān)系、線面關(guān)系中的應(yīng)用。這個聯(lián)系很明顯，舉例來說，平面與直線平行時，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢量關(guān)系性質(zhì)知此時二矢量的數(shù)積為0，若直線方xxyyzz,,,000,,Ax，By，Cz，D,0程為，平面方程為，則lmnAl，Bm，Cn,0有。同理可對線面、線線、面面關(guān)系進行判定。b)數(shù)積定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯(lián)系。數(shù)積定義式,,,,,,abcos,,,,ab,|a||b|cos,為，故有，這個式子是所有線線、線|a||b|面、面面夾角公式的源公式。舉例來說，設(shè)直線xxyyzzxxyyzz,,,,,,111222l:,,l:,,11，直線，則二直線lmnlmn111222,,,,ll，mm，nnab121212,,,,,ab222222夾角，其中、分別是兩條直線的方l，m，n,l，m，n111222|a||b|向矢量。對于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點就是線面夾角cos,,,,,sin,,,,,公式中不是而是，因為如右圖所示由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而,,,是兩矢量夾角的余平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面夾角,,,，,,90sin,角，即，故求夾角公式的左端是。對于線線夾角和面面夾角則無此問題。c)平面方程各形式間的相互聯(lián)系。平面方程的一般式、點法式、三點式、截距式中，點法式和截距式都可以化為一般式。點法式A(x,x)，B(y,y)，C(z,z),0(x,y,z)(點為平面上已000000{A,B,C}知點，為法矢量)可變形為Ax，By，Cz,(Ax，By，Cz),0，符合一般式000yxz，，,1Ax，By，Cz，D,0a,b,c的形式;截距式(為平面abcbcx,acy，abz,abc,0在三個坐標軸上的截距)可變形為，也符合一般式的形式。這樣的轉(zhuǎn)化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是因為在考試中可能需要將這些式子相互轉(zhuǎn)化以方便答題(這種情況在歷年真題中曾經(jīng)出現(xiàn)過)。同樣，直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形式x,x，lt,0,y,y，mt,0和標準式之間可以相互轉(zhuǎn)化。直線方程的參數(shù)形式,z,z，nt0,(x,y,z){l,m,n}(是平面上已知點，為方向矢量)可變形為000,xx0,,tl,,yy0xxyyzz,,,000,t,m,,，即為標準式;標準式lmn,zz,0,tn,xxyyzzxxyyzz,,,,,,000000,,,,,t若變形為則也可以lmnlmn轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式。這個轉(zhuǎn)化在歷年真題中應(yīng)用過不止一次。d)空間曲面投影方程、柱面方程、柱面準線方程之間的區(qū)別與聯(lián)F(x,y,z),0系。關(guān)于這些方程的基礎(chǔ)性知識包括:表示的是一個空間曲面;由于空間曲線可視為由兩個空間曲面相交而得到的，故空F(x,y,z),0,1222,x，y,R間曲面方程為;柱面方程如圓柱面、Fxyz(,,),02,22xy，,1f(x,y),0橢圓柱面可視為是二元函數(shù)在三維坐標系22ab中的形式。f(x,y),0,,在這些基礎(chǔ)上分析，柱面方程的準線方程如可視為z,0,z,0是由空間曲面——柱面與特殊的空間曲面——坐標平面相交形成的空間曲線，即右圖中的曲線2;而空間曲線的投影方程與柱面準線方程其實是一回事，如上圖中曲線1的投影是由過曲線1的投影柱面與坐標平面相交得到的，所以也就是圖F(x,y,z),0,1,中的柱面準線。在由空間曲線方程求投影方程時，F(xiàn)xyz(,,),02,zz需要先從方程組中消去得到一個母線平行于軸的柱面方程;;再f(x,y,z),0,,z,0聯(lián)立即可得投影方程。與z,0,1.7高數(shù)第十章《多元函數(shù)微分學(xué)》復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時可以先將多元函數(shù)各知識點與一元函數(shù)對應(yīng)部分作對比，這樣做即可以將相似知識點區(qū)別開以避免混淆，又可以通過與一元函數(shù)的對比來促進對二元函數(shù)某些地方的理解。本章主要內(nèi)容可以整理成一個大表格:二元函數(shù)的定義(略)相一元函數(shù)的定義(略)似二元函數(shù)的連續(xù)性及極限:一元函數(shù)的連續(xù)性及極限:,(x,y)一元函數(shù)的極限與路徑無關(guān)，由二元函數(shù)的極限要求點以任何limf(x),AP(x,y)不方向、任何路徑趨向時均有00xx,0等價式x,xy,yf(x,y),A,f(x),f(x),A同(、)。00,0，0limf(x,y)即可判斷。如果沿不同路徑的不相等，x,x0y,y0limf(x,y)則可斷定不存在。x,x0y,y0P(x,y)xz,f(x,y)y,f(x)二元函數(shù)在點處在點處連一元函數(shù)000limf(x,y)limf(x)相連續(xù)性判斷條件為:存在且續(xù)性判斷條件為且等x,xx,x00y,y0似f(x,y)f(x)等于于000二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義z,f(x,y)y,f(x)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義:fx，,x,fx()(),y00相(,)(,)fx，,xy,fxy,z,limlim0000limlim,,x,0,x,0,x,x0,x,0,x,,x,x似分段函數(shù)在分界點處求導(dǎo)數(shù)需要分段函數(shù)在分界點處求偏導(dǎo)數(shù)要用用導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)數(shù)的定義二元函數(shù)的全微分:一元函數(shù)的全微分:z,f(x,y)y,f(x)簡化定義為:對于函數(shù)，若在簡化定義為:若函數(shù)P(x,y),yx相點處的增量可表示為,z其在點處的增量可表示為00,z,A,x，B,y，o(,)o(,),y,A,x，d似d,x，其中，其中是的f(x,y),高階無窮小，則函數(shù)在該點可微，為的高階無窮小，則函數(shù)在P(x,y)dy,A,x即，一般有處可微，全微分為00,z,zdz,dx，dy,dy,f(x)dxA,x，B,y，一般有,x,y二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角連續(xù)可導(dǎo)不關(guān)系圖同連續(xù)可導(dǎo)可微可微多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)沒有“全導(dǎo)數(shù)”這個概z,f(u,v,w)u,g(t)v,h(t)不念，但是左邊多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)設(shè)，，，w,k(t)z同其實可以從“一元復(fù)合函數(shù)”的t且都可導(dǎo)，則對的全導(dǎo)數(shù)dz,fdu,fdv,fdw角度理解。一元復(fù)合函數(shù)是指,，，dt,udt,vdt,wdty,f(u)u,g(x)、時有dydydu,。與左邊的多元函數(shù)dxdudx全導(dǎo)數(shù)公式比較就可以將二式統(tǒng)一起來。多元復(fù)合函數(shù)微分法一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所z,f(u,v,w)示，與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式相復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式:設(shè)、dz,z與的不似，只需分清式子中u,j(x,y)v,h(x,y)、、dx,xw,k(x,y)同即可，則有,z,z,u,z,v,z,w,,,，,，,,,,x,u,x,v,x,w,x。對于多,,z,z,u,z,z,z,w相,,，,，,,,,y,u,y,v,y,w,y,似元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在考研真題中有一個z百出不厭的點就是函數(shù)對中間變量,z,z,zu,v,w的偏導(dǎo)數(shù)、、仍是以,u,w,vu,v,w為中間變量的復(fù)合函數(shù)，此時在求偏導(dǎo)數(shù)時還要重復(fù)使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。這是需要通過足量做題來熟練掌握的知識點，在后面的評題中會就題論題作更充分的論述。多元隱函數(shù)微分法一元復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程微分法F(x,y,z),0對一元隱函數(shù)求導(dǎo)常采用兩種方求由方程確定的隱含數(shù),dyF(x,y)Z,Z(x,y)x的偏導(dǎo)數(shù)，可用公式:,,法:1.公式,dxF(x,y)y,,F(x,y,z)F(x,y,z),z,zyx視為的函數(shù)，在方2.將yx,,,,，對于,,,xF(x,y,z),yF(x,y,z)z