四川省廣元市2024年中考數(shù)學(xué)試卷附真題解析

四川省廣元市2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意．每小題3分，共30分）1．將在數(shù)軸上對應(yīng)的點向右平移2個單位，則此時該點對應(yīng)的數(shù)是（）A． B．1 C． D．3【答案】B【解析】【解答】解：∵-1+2=1，

∴-1在數(shù)軸上對應(yīng)的點向右平移2個單位，則此時點對應(yīng)的數(shù)是1.故答案為：B.【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點所表示數(shù)的特點“左移減，右移加”可得出答案.2．下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、，故A選項不符合題意；

B、，故B選項不符合題意；

C、，故C選項不符合題意；

D、，故D選項符合題意.故答案為：D.

【解答】整式加法的實質(zhì)就是合并同類項，所謂同類項就是所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，同類項與字母的順序沒有關(guān)系，與系數(shù)也沒有關(guān)系，合并同類項的時候，只需要將系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變，但不是同類項的一定就不能合并，從而即可判斷A選項；根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減即可判斷B選項；由完全平方公式的展開式是一個三項式，可判斷C選項；由積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘即可判斷D選項.3．一個幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：從上面看，是一個正方形，正方形內(nèi)部有一條捺向的對角線實線．故答案為：C.【分析】俯視圖就是從上面看得到的正投影，注意看見的輪廓線用實線表示，看不見但存在的輪廓線用虛線表示．4．在“五·四”文藝晚會節(jié)目評選中，某班選送的節(jié)目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（）A．中位數(shù)是95 B．方差是3 C．眾數(shù)是95 D．平均數(shù)是94【答案】B【解析】【解答】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，

故中位數(shù)是，故選項A說法正確，不符合題意；

平均數(shù)為，故選項D說法正確，不符合題意．

方差為，故選項B說法錯誤，符合題意；

眾數(shù)是，故選項C說法正確，不符合題意.故答案為：B.【分析】平均數(shù)是指一組數(shù)據(jù)之和，除以這組數(shù)的個數(shù)；眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，(眾數(shù)可能有多個)；中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或者從大到?。┑捻樞蚺帕泻?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)個時，則處在最中間的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)個時，則處在最中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；方差就是一組數(shù)據(jù)的各個數(shù)據(jù)與其平均數(shù)差的平方和的算術(shù)平均數(shù)，據(jù)此分別計算后即可判斷得出答案.5．如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，為延長線上一點，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解析】解：，

，

四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，

，

．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出∠ABC=64°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補求出∠ADC的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補角的定義即可求出答案．6．如果單項式與單項式的和仍是一個單項式，則在平面直角坐標(biāo)系中點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【解析】解：∵單項式與單項式的和仍是一個單項式，

∴單項式與單項式是同類項，

∴，，

解得，，

∴點所在的象限為第四象限．

故答案為：D．

【分析】根據(jù)兩個單項式的和仍是一個單項式，可得兩個單項式是同類項，所謂同類項就是所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，同類項與字母的順序沒有關(guān)系，與系數(shù)也沒有關(guān)系，據(jù)此求出m，n的值，進(jìn)而根據(jù)點的坐標(biāo)符號與象限的關(guān)系：第一象限的點（+，+），第二象限的點（-，+），第三象限的點（-，-），第四象限的點（+，-），得出點（m，n）所在象限．7．如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點B，C的對應(yīng)點分別為點D，E，連接，點D恰好落在線段上，若，，則的長為（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】【解析】解：如圖，連接BD，

將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點B，C的對應(yīng)點分別為點D，E，連接CE，點D恰好落在線段CE上，

，，，

又，，

，

，

故答案為：A．

【分析】連接BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BCD=∠BAD=90°，AB=AD，再根據(jù)勾股定理求出BD的長，最后在等腰直角三角形ABD中解直角三角形求出AD的長即可．8．我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”．現(xiàn)需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設(shè)B種綠植單價是x元，則可列方程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解析】解：∵A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，B種綠植單價是x元，

∴A種綠植單價是3x元．

根據(jù)題意得：．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)A，B兩種綠植單價間的關(guān)系，可得出A種綠植單價是3x元，利用數(shù)量總價單價，結(jié)合用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株，即可列出關(guān)于x的分式方程，此題得解．9．如圖①，在中，，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊的長為（）A．5 B．7 C． D．【答案】A【解析】【解析】解：當(dāng)點P運動到C處時，△ABP的面積y=6，

即，

∴，

又由圖象可知，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s的速度勻速運動至點B的時間為7s，

∴AC+BC=7

，

，

，

，

．

故答案為：A．

【分析】當(dāng)點P由點A運動到C處過程中，△ABP面積逐漸增大，當(dāng)點P運動到C處時，△ABP面積達(dá)到最大6，由面積公式可得AC×BC=12，由點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s的速度勻速運動至點B的時間為7s，可得AC+BC=7，再根據(jù)完全平方公式即可得出AC2+BC2的值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得出答案．10．如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：①；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【解析】解：①∵拋物線開口向上，，，

當(dāng)時，，故①不符合題意；

②∵拋物線過點，

函數(shù)的最小值，

有兩個不相等的實數(shù)根，

方程有兩個不相等的實數(shù)根，故②符合題意；

③∵，，

拋物線的對稱軸為直線，且，

∴，

又∵，

，

，故③不符合題意；

④∵拋物線過點，

，

時，，即，

當(dāng)時，，

，

，

，故④符合題意；

⑤∵，，

，

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，

，

，

，故⑤符合題意；

綜上，②④⑤正確，符合題意，正確個數(shù)有三個．

故答案為：C．

【分析】由于拋物線的開口向上，且與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)滿足-1＜x1＜0，2＜x2＜3，故可得當(dāng)x=-1時，y＞0，即a-b+c＞0，據(jù)此可判斷①；由拋物線與y軸交點坐標(biāo)為（0，-2），從而可得函數(shù)的最小值y＜-2，故拋物線與直線y=-2有兩個不同的交點，從而可判斷②；根據(jù)拋物線的對稱性及對稱軸直線公式可得，再結(jié)合a＞0，可判斷③；由圖象可得當(dāng)x=-1時，y=a-b+c＞0，推出3a-3b+3c＞0，當(dāng)x=3時，y=9a+3b+c＞0，將兩式子相加并結(jié)合與y軸交點可求出a的取值范圍，從而可判斷④；將-1＜x1＜0與2＜x2＜3相減可得x2-x1＞2，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，可判斷⑤.二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應(yīng)題目的橫線上，每小題4分，共24分）11．分解因式：.【答案】【解析】【解答】解：.故答案為：.【分析】利用完全平方公式將第一項展開，再合并同類項化簡為最簡形式，然后利用完全平方公式分解即可.12．2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為秒．【答案】【解析】【解析】解：阿秒是10-18秒，

阿秒．

故答案為：．

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值非常小的數(shù)，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原數(shù)左邊第一個非0數(shù)字前面所有0的個數(shù)，包括小數(shù)點前面的那個0，根據(jù)方法即可得出答案.13．點F是正五邊形邊的中點，連接并延長與延長線交于點G，則的度數(shù)為．【答案】18°【解析】【解析】解：由正五邊形的性質(zhì)可知，BG是正五邊形ABCDE的對稱軸，

，

是正五邊形ABCDE的外角，

，

，

故答案為：18°.

【分析】由正五邊形的對稱性得出BG是正五邊形ABCDE的對稱軸，進(jìn)而得到BG⊥DE，再求出正五邊形的外角的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．14．若點滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐標(biāo)．【答案】（答案不唯一）【解析】【解析】解：根據(jù)題意得：，

∴，

當(dāng)，時，“美好點”的坐標(biāo)為答案不唯一，滿足且，．

故答案為：答案不唯一，滿足且，．

【分析】根據(jù)“美好點”的定義，把已知等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則計算后，得到x與y的關(guān)系式，寫出一個即可．15．已知與的圖象交于點，點B為y軸上一點，將沿翻折，使點B恰好落在上點C處，則B點坐標(biāo)為．【答案】（0，4）【解析】【解析】解：將點A（2，m）代入得，

．

又A在反比例函數(shù)上，

．

反比例函數(shù)為．

由翻折的性質(zhì)得，

可設(shè)為，

為．

設(shè)直線與直線的交點為，

．

．

又B與C關(guān)于直線OA對稱，且，

．

又在反比例函數(shù)上，

．

或舍去．

．

故答案為：．

【分析】將點A（2，m）代入正比例函數(shù)，可得，從而求出點A的坐標(biāo)，將點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得，從而得到反比例函數(shù)的解析式；再由翻折的性質(zhì)，得BC⊥OA，由互相垂直直線比例系數(shù)乘積等于-1，設(shè)為，則為，設(shè)直線與直線的交點為，聯(lián)立直線OA與BC的解析式求出，由軸對稱的性質(zhì)，可得，從而將點C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出b可以得解．16．如圖，在中，，，則的最大值為．【答案】【解析】【解析】解：過點B作BD⊥AC，垂足為D，如圖1所示：

，

在Rt△BDC中，設(shè)，則，由勾股定理可得，

，即，

，

延長DC到E，使EC=CD=x，連接BE，如圖2所示：

，

，，

是等腰直角三角形，則，

在中，，，

由輔助圓定弦定角模型，作的外接圓，如圖3所示：

由圓周角定理可知，點在上運動，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦過圓心，即是直徑時，弦最大，如圖4所示：

是的直徑，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，則由勾股定理可得，即的最大值為，

故答案為：．

【分析】過點B作BD⊥AC，垂足為D，如圖1所示：首先推導(dǎo)出；延長DC到E，使EC=CD=x，連接BE，如圖2所示：得到；由輔助圓定弦定角模型，作的外接圓，如圖，當(dāng)弦過圓心，即是直徑時，弦最大，最后由勾股定理可得．三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程．共96分）17．計算：．【答案】解：原式

．【解析】【分析】先利用零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則、絕對值的代數(shù)意義進(jìn)行化簡，同時代入特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)而計算有理數(shù)的加減法和合并同類二次根式即可.18．先化簡，再求值：，其中a，b滿足．【答案】解：原式

，

，

，

原式．【解析】【分析】先將第二個分式的分子分母分別分解因式，同時根據(jù)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔?，然后計算分式乘法，約分化簡，進(jìn)而計算同分母分?jǐn)?shù)的減法得出最簡結(jié)果；由已知等式可得b=2a，從而代入化簡結(jié)果進(jìn)行計算即可．19．如圖，已知矩形．（1）尺規(guī)作圖：作對角線的垂直平分線，交于點E，交于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接．求證：四邊形是菱形．【答案】（1）解：如圖1所示：EF就是AC的垂直平分線；

（2）證明：設(shè)EF與AC的交點為O，

由（1）可知，直線EF是線段AC的垂直平分線，

，，，，

又四邊形是矩形，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

四邊形是菱形．【解析】（1）分別以點A、C為圓心，大于AC的長度為半徑畫弧，兩弧在AC的兩側(cè)分別相交，進(jìn)而過兩弧的交點作直線交CD于點E，交AB于點F，EF就是AC的垂直平分線；

（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得EA=EC，F(xiàn)A=FC，∠COE=∠AOF=90°，OA=OC，由矩形的性質(zhì)得CD∥AB，由二直線平行，內(nèi)錯角相等，得∠ECO=∠FAO，從而由ASA判斷出△COE≌△AOF，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，得EC=AF，從而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形得出結(jié)論.20．廣元市開展“蜀道少年”選拔活動，旨在讓更多的青少年關(guān)注蜀道、了解蜀道、熱愛蜀道、宣傳蜀道，進(jìn)一步挖掘和傳承古蜀道文化、普及蜀道知識．為此某校開展了“蜀道文化知識競賽”活動，并從全校學(xué)生中抽取了若干學(xué)生的競賽成績進(jìn)行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，總分為100分，共分成五個等級：A：；B：；C：；D：；E：）．并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖．抽取學(xué)生成績等級人數(shù)統(tǒng)計表等級ABCDE人數(shù)m2730126其中扇形圖中C等級區(qū)域所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是．（1）樣本容量為，；（2）全校1200名學(xué)生中，請估計A等級的人數(shù)；（3）全校有5名學(xué)生得滿分，七年級1人，八年級2人，九年級2人，從這5名學(xué)生中任意選擇兩人在國旗下分享自己與蜀道的故事，請你用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩人來自同一個年級的概率．【答案】（1）90；15（2）解：1200×=200（名）

答：全校1200名學(xué)生中，估計A等級的人數(shù)有200名；（3）解：把七年級1人記為A，八年級2人分別記為B、C，九年級2人分別記為D、E，

畫樹狀圖如下：

共有20種等可能的結(jié)果，其中選擇的兩人來自同一個年級的結(jié)果有4種，即BC、CB、DE、ED，

這兩人來自同一個年級的概率．【解析】【解析】解：（1）樣本容量為：，

，

故答案為：，；

【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，用C等級的人數(shù)除以所占比例得出樣本容量，進(jìn)而用樣本容量分別減去B、C、D、E幾個等級的人數(shù)，即可得出m的值；

（2）由全校學(xué)生人數(shù)乘以樣本中A等級的人數(shù)所占的比例即可估算出全校A等級的人數(shù)；

（3）把七年級1人記為A，八年級2人分別記為B、C，九年級2人分別記為D、E，此題是抽取不放回類型，畫樹狀圖，由樹狀圖可知共有20種等可能的結(jié)果，其中選擇的兩人來自同一個年級的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．21．小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)對光作用的一種特征．（1）若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；（2）現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經(jīng)真空從矩形對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．【答案】（1）解：，

如圖，設(shè)，則，

由勾股定理得，，

，

又，

，

折射率為：；（2）解：由題意可得，折射率為，

，

，

四邊形是矩形，點是中點

，，

又，

，

在中，設(shè)，，由勾股定理得，，

，

，

，

截面的面積為：．【解析】【分析】（1）根據(jù)，求出，再計算出，直接按照折射率公式計算即可；（2）首先根據(jù)，折射率為，算出，即，在中，設(shè)，，可算出，得到，又因為四邊形是矩形，點是中點，故AD，直接算矩形面積即可．22．近年來，中國傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，大放異彩．某服裝店直接從工廠購進(jìn)長、短兩款傳統(tǒng)服飾進(jìn)行銷售，進(jìn)貨價和銷售價如下表：價格/類別短款長款進(jìn)貨價（元/件）8090銷售價（元/件）100120（1）該服裝店第一次用4300元購進(jìn)長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進(jìn)的件數(shù)；（2）第一次購進(jìn)的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進(jìn)長、短兩款服裝共200件（進(jìn)貨價和銷售價都不變），且第二次進(jìn)貨總價不高于16800元．服裝店這次應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？【答案】（1）解：由題意，設(shè)購進(jìn)短款服裝x件，購進(jìn)長款服裝y件，

．

．

答：長款服裝購進(jìn)30件，短款服裝購進(jìn)20件；（2）解：由題意，設(shè)第二次購進(jìn)m件短款服裝，則購進(jìn)（200-m）件長款服裝，

．

．

又設(shè)利潤為元，

則．

隨的增大而減?。?/p>

當(dāng)時，利潤最大為：元．

答：當(dāng)購進(jìn)120件短款服裝，80件長款服裝時有最大利潤，最大利潤是4800元．【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)購進(jìn)短款服裝x件，購進(jìn)長款服裝y件，根據(jù)“長、短兩款服裝共50件”可列方程x+y=50，由“購進(jìn)x件短款服裝的費用+購進(jìn)y件長款服裝的費用=4300”可列出方程80x+90y=4300，計算即可得解；（2）依據(jù)題意，設(shè)第二次購進(jìn)m件短款服裝，則購進(jìn)（200-m）件長款服裝，由由“購進(jìn)m件短款服裝的費用+購進(jìn)(200-m)件長款服裝的費用不高于16800元”列出不等式求出m的取值范圍；又設(shè)利潤為w元，根據(jù)單件利潤×銷售數(shù)量=總利潤及銷售m件短款服裝的利潤+銷售(200-m)件長款服裝的利潤=總利潤，建立出w關(guān)于m的函數(shù)解析式，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷得解．23．如圖，已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象相交于點，兩點，O為坐標(biāo)原點，連接，．（1）求與的解析式；（2）當(dāng)時，請結(jié)合圖象直接寫出自變量x的取值范圍；（3）求的面積．【答案】（1）解：∵反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象相交于點，兩點

，

，

點，，

，

，

把，，代入，

得，

解得，

；（2）解：當(dāng)時，或（3）解：若與軸相交于點，

，

．【解析】【解答】解：（2）由圖象可知，當(dāng)時，自變量的取值范圍為或；【解析】（1）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上任意兩點橫縱坐標(biāo)的乘積都等于比例系數(shù)k可列出方程，求得a=3，進(jìn)一步利用待定系數(shù)法求得兩個函數(shù)的解析式；

（2）找出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方部分相應(yīng)的自變量的取值范圍即可；

（3）根據(jù)直線與y軸交點的坐標(biāo)特點求出點C的坐標(biāo)，進(jìn)而利用即可求得．24．如圖，在中，，，經(jīng)過A、C兩點，交于點D，的延長線交于點F，交于點E．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）證明：連接OD，

，，

為等腰直角三角形，

，

，

，

，

為的切線；（2）解：過點作于點，

為等腰直角三角形，，

，

，

，

在中，由勾股定理得，

，

，

．

故的半徑為．【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=45°，根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍得到∠COD=2∠CAB=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDO=90°，根據(jù)切線的判定定理得到DE為的切線；（2）過點C作CH⊥AB于點H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，在Rt△CFH中根據(jù)∠CFD的正切函數(shù)得到，在Rt△CFH中，根據(jù)勾股定理得到，最后在Rt△ODF中，根據(jù)∠CFD的正切函數(shù)即可得到結(jié)論．25．?dāng)?shù)學(xué)實驗，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決．在中，點的邊上一點，連接．（1）初步探究如圖2，若，求證：；（2）嘗試應(yīng)用如圖3，在（1）的條件下，若點為中點，，求的長；（3）創(chuàng)新提升如圖4，點為中點，連接，若，，，求的長．【答案】（1）證明：如圖，，，

∽，

，

．（2）解：如圖，設(shè)，

點為中點，

，，

由得∽，

，

，

或不符合題意，舍去，

，

，

，

的長是．（3）解：如圖，作交的延長線于點，則，

點為中點，

，

設(shè)，

，

，，

，

，

，，

，，

作交的延長線于點，則∽，

，

，，

，，

，

，

∽，

，

，

，，

，

，

解得，

，

的長是．【解析】【分析】（1）由有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明△ACD∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得結(jié)論；（2）設(shè)AD