江蘇省泰州市興化市2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2025年春學(xué)期九年級(jí)學(xué)生階段性評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘總分：150分）說明：1．答題前，考生務(wù)必將本人的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題紙相應(yīng)的位置上．2．考生答題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆，寫在答題紙指定位置處，答在試卷、草稿紙等其他位置上一律無效．一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A B. C. D.2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A. B. C. D.3.如圖，在中，，于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為()A.12 B.10 C.6 D.54.在一個(gè)不透明紙箱中放有除了數(shù)字不同外，其它完全相同的2張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2，從中任意摸出一張，放回?cái)噭蚝笤偃我饷鲆粡?，兩次摸出的?shù)字之積為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.5.如圖，AC與BD相交于點(diǎn)E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，則BC的長(zhǎng)度是（）A.2 B.3 C.4．5 D.66.如圖，點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)C是⊙M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BC，AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，當(dāng)線段OD取得最大值時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A.（0，） B.（1，） C.（2，2） D.（2，4）二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題紙相應(yīng)位置上）7.一組數(shù)據(jù)的極差是_____．8.圓心角為，半徑為3的扇形的面積為_______．9.如圖，是的直徑，C、D為上的點(diǎn)，若，則______°．10.若點(diǎn)，在拋物線上，則，的大小關(guān)系為：_________（填“>”，“=”或“<”）．11.如圖，在中，，于點(diǎn)D．若，則___________．

12.已知的半徑是4，點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程的一個(gè)根，則點(diǎn)P在的______________．（填“內(nèi)部”、“外部”、“上”）13.如圖，在中，P，Q分別為，的中點(diǎn)．若則__________．14.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與相切，則α的值為_______．15.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，以為邊在其右側(cè)作正，點(diǎn)Q是線段上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P．當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為_______．16.已知A、B是直線上兩點(diǎn)，且A、B的橫坐標(biāo)為、5．當(dāng)拋物線與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則a的取值范圍_______．三、解答題（本大題共10小題，共102分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）解方程：．（2）計(jì)算：18.某校初一開展英語(yǔ)拼寫大賽，愛國(guó)班和求知班根據(jù)初賽成績(jī)，各選出5名選手參加復(fù)賽，兩個(gè)班各選出的5名選手的復(fù)賽成績(jī)?nèi)鐖D所示：班級(jí)平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）愛國(guó)班a85c求知班85b100（1）根據(jù)圖示直接寫出a、b、c的值；（2）結(jié)合兩班復(fù)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)賽成績(jī)比較好？（3）已知愛國(guó)班復(fù)賽成績(jī)方差是70，請(qǐng)求出求知班復(fù)賽成績(jī)的方差，并說明哪個(gè)班成績(jī)比較穩(wěn)定？（計(jì)算方差的公式：）19.旅客在網(wǎng)購(gòu)車票時(shí)，系統(tǒng)是隨機(jī)分配座位的，王老師和李老師一同支北京參加培訓(xùn)，購(gòu)買從石家莊到北京的高鐵票（如圖所示，一排中的座位號(hào)為A、B、C、D、F）．假設(shè)系統(tǒng)已將兩人的位置分配到同一排，在同一排分配各個(gè)座位的機(jī)會(huì)是均等的．（1）系統(tǒng)分給王老師和李老師C、D座位是事件．（2）利用畫樹狀圖或列表法求系統(tǒng)分配給王老師和李老師相鄰座位的概率（過道兩側(cè)的座位C、D不算相鄰）．20.已知關(guān)于的一元二次方程．求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若是此方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值．21.“一結(jié)千年意蘊(yùn)豐，相看時(shí)對(duì)吉祥紅”，“中國(guó)結(jié)”是深受國(guó)人喜愛節(jié)慶裝飾物。某款“中國(guó)結(jié)”成本為30元/件，每天銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．（1）求y與x之間函數(shù)關(guān)系式；（2）如果規(guī)定每天該款“中國(guó)結(jié)”的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)w最大，最大利潤(rùn)是多少？22.如圖，點(diǎn)C直徑AB上一點(diǎn)．過C作交于點(diǎn)D，連接DA，DB．（1）求證：；（2）連接DO，過點(diǎn)D作的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．若，，求BC的長(zhǎng)．23.如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點(diǎn)B處前行30m到達(dá)斜坡的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡前行20m到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡的斜面坡度，且點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)．（1）求D到的距離．（2）求古塔的高度（結(jié)果保留根）．24.中，，．（1）如圖1，若點(diǎn)在射線上，且，請(qǐng)用圓規(guī)和無刻度的直尺．作（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，使存在且唯一確定，并求出邊的長(zhǎng)度．選擇的條件：_______．（填序號(hào)）①；②的周長(zhǎng)為；③．25.如圖，半的直徑為10，點(diǎn)C、D是半弧上的兩點(diǎn)，將弧沿翻折．（1）如圖1，連接交翻折后的弧于點(diǎn)Q，連接、．判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若翻折后的弧與相切，且切點(diǎn)E在直徑上，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，已知，連接交翻折后的弧于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q為的中點(diǎn)時(shí)，求長(zhǎng)．26.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．以、為一組鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)N在點(diǎn)F右側(cè)2個(gè)單位，以為對(duì)角線作正方形，（F、P、N、M為順時(shí)針順序）．（1）時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求最小值；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，求t的值；（4）如圖2，當(dāng)時(shí)，連接、、、，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，若點(diǎn)M、P中恰好有且只有一個(gè)點(diǎn)在四邊形內(nèi)部時(shí)，求t的取值范圍．

2025年春學(xué)期九年級(jí)學(xué)生階段性評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘總分：150分）說明：1．答題前，考生務(wù)必將本人的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題紙相應(yīng)的位置上．2．考生答題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆，寫在答題紙指定位置處，答在試卷、草稿紙等其他位置上一律無效．一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法：（，為整數(shù)），先確定的值，再根據(jù)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的數(shù)位確定的值即可，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法確定和的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選：．2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式解析式直接得出頂點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】∵拋物線的解析式為，∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】此題主要考查拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).3.如圖，在中，，于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為()A.12 B.10 C.6 D.5【答案】D【解析】【分析】先利用等腰三角形三線合一得出BD=12，再根據(jù)求出AB=13，再用勾股定理即可解出AD的長(zhǎng).【詳解】在中，，于點(diǎn)，∴BD=BC=12，∵，∴AB=13，故AD===5.【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用.4.在一個(gè)不透明紙箱中放有除了數(shù)字不同外，其它完全相同2張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2，從中任意摸出一張，放回?cái)噭蚝笤偃我饷鲆粡垼瑑纱蚊龅臄?shù)字之積為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，共有4種等可能情況，數(shù)出其中兩次摸出的數(shù)字之積為偶數(shù)的情況數(shù)，求出概率即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：∵共有4種等可能的結(jié)果，兩次摸出的數(shù)字之積為偶數(shù)的結(jié)果有3種，∴兩次摸出的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫樹狀圖和列表求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖和列出表格是解題的關(guān)鍵．5.如圖，AC與BD相交于點(diǎn)E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，則BC的長(zhǎng)度是（）A.2 B.3 C.4．5 D.6【答案】C【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)锳D∥BC，所以△ADE∽△CBE,所以,因?yàn)锳E=2，CE=3，AD=3，所以，所以BC=4．5，故選C．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．6.如圖，點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)C是⊙M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BC，AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，當(dāng)線段OD取得最大值時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A.（0，） B.（1，） C.（2，2） D.（2，4）【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到當(dāng)BC為直徑（過圓心M）時(shí)，OD最大；然后延長(zhǎng)BC與圓交于C1點(diǎn)，連接AC1；再由圓周角定理可得∠BAC1=90°，然后由垂徑定理得到AB=4、勾股定理可得BM=即BC1=、AC1=4，最后求出線段AC1的中點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖：∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)∴OD//BC且OD=BC∴BC最大時(shí),即當(dāng)BC為直徑（過圓心M）時(shí)，OD最如圖：延長(zhǎng)BC與圓交于C1點(diǎn)，連接AC1，∵BC1是直徑∴∠BAC1=90°∵OB=OM=OA=2∴AB=2OA=4,點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為2，BM=，即BC1=∴AC1=∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（2,4）∵AC1的中點(diǎn)D1，A（2,0）∴D1的坐標(biāo)為（2，2）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形的中位線、勾股定理、線段的中點(diǎn)等知識(shí)，將求線段OD最大時(shí)D的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成求BC最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題紙相應(yīng)位置上）7.一組數(shù)據(jù)的極差是_____．【答案】6【解析】【分析】本題主要考查極差的概念，掌握極差的概念及計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)極差的概念“一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差”求解．【詳解】解：數(shù)據(jù)的最大數(shù)為4、最小數(shù)為，這組數(shù)據(jù)的極差為，故答案為：6．8.圓心角為，半徑為3的扇形的面積為_______．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算．【詳解】扇形的面積．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積計(jì)算：設(shè)圓心角是，圓的半徑為的扇形面積為，則或(其中為扇形的弧長(zhǎng))．9.如圖，是的直徑，C、D為上的點(diǎn)，若，則______°．【答案】110【解析】【分析】根據(jù)是的直徑，得出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，即可求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，故答案為：110．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的相關(guān)定理，解題的關(guān)鍵是掌握直徑所對(duì)的圓周角為直角，圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．10.若點(diǎn)，在拋物線上，則，的大小關(guān)系為：_________（填“>”，“=”或“<”）．【答案】＜【解析】【分析】利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出y1，y2的值，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵若點(diǎn)A(?1，y1)，B(2，y2)在拋物線y=2x2+m上，y1=2×（-1）2+m=2+m，y2=2×22+m=8+m，∵2+m＜8+m，∴y1﹤y2．

故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出y1，y2的值是解題的關(guān)鍵．11.如圖，在中，，于點(diǎn)D．若，則___________．

【答案】．【解析】分析】根據(jù)已知條件可知，，進(jìn)而可得，則．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求正切值，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．12.已知的半徑是4，點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程的一個(gè)根，則點(diǎn)P在的______________．（填“內(nèi)部”、“外部”、“上”）【答案】外部【解析】【分析】先解一元二次方程，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可．【詳解】解：解得∴點(diǎn)P到圓心O的距離d的半徑是4，點(diǎn)P在的外部故答案為：外部【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：已知圓O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離是d，①當(dāng)r＞d時(shí)，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，②當(dāng)r=d時(shí)，點(diǎn)P在⊙O上，③當(dāng)r＜d時(shí)，點(diǎn)P在⊙O外．13.如圖，在中，P，Q分別為，的中點(diǎn)．若則__________．【答案】3【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．利用三角形中位線定理以及相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：，分別為，的中點(diǎn)，，，，，，，，故答案為：3．14.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與相切，則α的值為_______．【答案】##60度【解析】【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是勾畫出示意圖，熟練解直角三角形．線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與相切，切點(diǎn)為，連接,根據(jù)切線的性質(zhì)可知,利用三角函數(shù)求得，最后求即可．【詳解】解：如圖所示，線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與相切，切點(diǎn)為，連接,，在中，，，，．故答案為：．15.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，以為邊在其右側(cè)作正，點(diǎn)Q是線段上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P．當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為_______．【答案】【解析】【分析】本題考查正三角形、正方形性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)與判定，根據(jù)相似比求線段長(zhǎng)，掌握這些知識(shí)點(diǎn)和計(jì)算方法是本題關(guān)鍵．先作輔助線，再通過相似和已知得出相似比，再通過相似比求出的值即可．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)Q作平行線故答案為：16.已知A、B是直線上兩點(diǎn)，且A、B的橫坐標(biāo)為、5．當(dāng)拋物線與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則a的取值范圍_______．【答案】或【解析】【分析】聯(lián)立解析式得，根據(jù)拋物線與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，得，，解得或，結(jié)合拋物線對(duì)稱軸為直線，分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，把端點(diǎn)橫坐標(biāo)，，代入兩個(gè)函數(shù)解析式，比較函數(shù)值，解不等式組即得．【詳解】解：聯(lián)立解析式得，，即，∵拋物線與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，，解得或，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，a全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，解得，∴；若時(shí)，拋物線與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，矛盾，a不存在；時(shí)，，解得；∴a不存在．綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與線段的交點(diǎn)問題．熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性增減性質(zhì)，根判別式與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與不等式關(guān)系，解不等式，分類討論，是解題有關(guān)鍵．三、解答題（本大題共10小題，共102分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）解方程：．（2）計(jì)算：【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；（1）利用因式分解法解方程即可；（2）先化簡(jiǎn)各數(shù)，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：（1），，∴或，∴（2）原式．18.某校初一開展英語(yǔ)拼寫大賽，愛國(guó)班和求知班根據(jù)初賽成績(jī)，各選出5名選手參加復(fù)賽，兩個(gè)班各選出的5名選手的復(fù)賽成績(jī)?nèi)鐖D所示：班級(jí)平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）愛國(guó)班a85c求知班85b100（1）根據(jù)圖示直接寫出a、b、c的值；（2）結(jié)合兩班復(fù)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)賽成績(jī)比較好？（3）已知愛國(guó)班復(fù)賽成績(jī)的方差是70，請(qǐng)求出求知班復(fù)賽成績(jī)的方差，并說明哪個(gè)班成績(jī)比較穩(wěn)定？（計(jì)算方差的公式：）【答案】（1），，（2）愛國(guó)班成績(jī)好些．因?yàn)閮砂嗥骄鶖?shù)相等，愛國(guó)班的中位數(shù)高，所以愛國(guó)班成績(jī)好些．（回答合理即可）（3）160；愛國(guó)班成績(jī)較為穩(wěn)定【解析】【分析】（1）觀察圖分別寫出愛國(guó)和求知5名選手的復(fù)賽成績(jī)，然后根據(jù)中位數(shù)的定義和平均數(shù)的求法以及眾數(shù)的定義求解即可；（2）在平均數(shù)相同的情況下，中位數(shù)高的成績(jī)較好；（3）根據(jù)方差公式計(jì)算即可：（可簡(jiǎn)單記憶為“等于差方的平均數(shù)”）．【小問1詳解】解：由條形統(tǒng)計(jì)圖可知愛國(guó)班5名選手的復(fù)賽成績(jī)?yōu)椋?5、80、85、85、100，求知班5名選手的復(fù)賽成績(jī)?yōu)椋?0、100、100、75、80，∵愛國(guó)班中85出現(xiàn)了2次且次數(shù)最多，∴愛國(guó)班的眾數(shù)為85，即，愛國(guó)班的平均數(shù)為，∴求知班數(shù)據(jù)排列為：70、75、80、100、100∴求知班的中位數(shù)是為第3個(gè)，即；【小問2詳解】解：愛國(guó)班成績(jī)好些．因?yàn)閮砂嗥骄鶖?shù)相等，愛國(guó)班的中位數(shù)高，所以愛國(guó)班成績(jī)好些．（回答合理即可）【小問3詳解】解：∵，∴愛國(guó)班成績(jī)較為穩(wěn)定．【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)以及平均數(shù)的求法，同時(shí)也考查了方差公式，解題的關(guān)鍵是牢記定義并能熟練運(yùn)用公式．19.旅客在網(wǎng)購(gòu)車票時(shí)，系統(tǒng)是隨機(jī)分配座位的，王老師和李老師一同支北京參加培訓(xùn)，購(gòu)買從石家莊到北京的高鐵票（如圖所示，一排中的座位號(hào)為A、B、C、D、F）．假設(shè)系統(tǒng)已將兩人的位置分配到同一排，在同一排分配各個(gè)座位的機(jī)會(huì)是均等的．（1）系統(tǒng)分給王老師和李老師C、D座位是事件．（2）利用畫樹狀圖或列表法求系統(tǒng)分配給王老師和李老師相鄰座位的概率（過道兩側(cè)的座位C、D不算相鄰）．【答案】（1）隨機(jī)（2）【解析】【分析】本題主要考查了事件分類、運(yùn)用列表法或樹狀圖求概率，熟練掌握樹狀圖或列表法求概率是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)系統(tǒng)是隨機(jī)分配座位的，雖然假設(shè)系統(tǒng)已將兩人的位置分配到同一排，但并沒有必然地將兩人分配到C、D座位，即可得出答案；（2）畫樹狀圖，得到系統(tǒng)分配給王某和李某相鄰座位共有20種等可能的情況，其中相鄰座位共有6種等可能情況，根據(jù)概率公式計(jì)算即可得到答案．【小問1詳解】解：因?yàn)橄到y(tǒng)是隨機(jī)分配座位的，所以任何一種座位組合出現(xiàn)的可能性都是相同的，因此給王老師和李老師分配到C、D座位屬于隨機(jī)事件．故答案為：隨機(jī)．【小問2詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有20種等情況數(shù)，其中相鄰座位的情況數(shù)有、、、、、共6種，則系統(tǒng)分配給王某和李某相鄰座位（過道兩側(cè)座位C，D不算相鄰）的概率是．20.已知關(guān)于的一元二次方程．求證：方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；若是此方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值．【答案】證明見解析；，．【解析】【分析】（1）求證這個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只要證明△＞0，即可得出方程有兩不相等的實(shí)數(shù)根；（2）把x=-2代入方程得出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值即可．【詳解】證明：∵關(guān)于的一元二次方程．∴，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；解：∵是此方程的一個(gè)根，∴把代入方程中得到，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了①一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．②方程的解得定義，就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．21.“一結(jié)千年意蘊(yùn)豐，相看時(shí)對(duì)吉祥紅”，“中國(guó)結(jié)”是深受國(guó)人喜愛的節(jié)慶裝飾物。某款“中國(guó)結(jié)”成本為30元/件，每天銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果規(guī)定每天該款“中國(guó)結(jié)”的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)w最大，最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3840元【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能正確列出函數(shù)關(guān)系式．（1）結(jié)合已知的圖象，用待定系數(shù)法可得與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）由每天“中國(guó)結(jié)”的銷售量不低于240件，可得，設(shè)每天獲取的利潤(rùn)為元，可得：，由二次函數(shù)性質(zhì)即得當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3840元．【小問1詳解】解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，將，代入得：，解得，；【小問2詳解】每天“中國(guó)結(jié)”的銷售量不低于240件，，解得，設(shè)每天獲取的利潤(rùn)為元，根據(jù)題意得：，，拋物線對(duì)稱軸是直線，時(shí)，取最大值，最大值是（元，答：當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3840元．22.如圖，點(diǎn)C是直徑AB上一點(diǎn)．過C作交于點(diǎn)D，連接DA，DB．（1）求證：；（2）連接DO，過點(diǎn)D作的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．若，，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解；（2）240．【解析】【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于可得，再根據(jù)可得，從而證明；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，再根據(jù)得出，再根據(jù)，從而設(shè)出，的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)線段之間的關(guān)系即可求出的長(zhǎng)．【小問1詳解】證明：∵為的直徑∴，∵∴∴【小問2詳解】解：∵為的切線∴∴∵∴∵∴設(shè)，，則∴，，∴∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)圓周角等于，切線以及垂線的性質(zhì)，勾股定理等相關(guān)知識(shí)，熟練掌握直徑所對(duì)圓周角等于和切線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．23.如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點(diǎn)B處前行30m到達(dá)斜坡的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡前行20m到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡的斜面坡度，且點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)．（1）求D到的距離．（2）求古塔的高度（結(jié)果保留根）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，根據(jù)斜坡的斜面坡度，結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)即可；（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，易得四邊形為矩形，推出，在中，求出的值，再根據(jù)可得出答案．【小問1詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，∵斜坡的斜面坡度，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，∴，∵，∴．【小問2詳解】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．由題意得，，∵，∴四邊形為矩形，∴，，由（1）知：，∴，，∴，在中，∵，∴．∴．答：古塔的高度．24.中，，．（1）如圖1，若點(diǎn)在射線上，且，請(qǐng)用圓規(guī)和無刻度的直尺．作（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，使存在且唯一確定，并求出邊的長(zhǎng)度．選擇的條件：_______．（填序號(hào)）①；②的周長(zhǎng)為；③．【答案】（1）作圖見解析（2）的長(zhǎng)度為，②或③【解析】【分析】（1）過作射線的垂線交于點(diǎn)即可；（2）分三種情況進(jìn)行分析，然后求解即可．【小問1詳解】解：如圖，過作射線的垂線交于點(diǎn)即可，∴，∵，∴，∴即為所作；【小問2詳解】解：由（1）知：在中，，，，∴，選①，∵，∴以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，此時(shí)與射線有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖），故存在但不唯一，不符合題意；選②，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，∵在中，，∴，∴，聯(lián)立，解得：，∴；選③，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∵在中，，設(shè)，，∴，∴，∴，∴．故答案為：②或③．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，考查了過一點(diǎn)作已知直線的垂線，直角三角形兩銳角互余，含角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．25.如圖，半的直徑為10，點(diǎn)C、D是半弧上的兩點(diǎn)，將弧沿翻折．（1）如圖1，連接交翻折后的弧于點(diǎn)Q，連接、．判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若翻折后的弧與相切，且切點(diǎn)E在直徑上，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，已知，連接交翻折后的弧于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q為的中點(diǎn)時(shí)，求長(zhǎng)．【答案】（1）是等腰三角形，理由見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)弧相等，弦相等解答即可；（2）作出點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，則與是等圓，連接，設(shè)與交點(diǎn)為N，由翻折后的弧與相切，且切點(diǎn)E在直徑上，則，，得到四邊形是菱形，利用勾股定理，垂徑定理解答即可．；（3）過點(diǎn)作垂足為，過點(diǎn)作垂足為，連接，，根據(jù)正方形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答即可．【小問1詳解】解：是等腰三角形．理由如下：，且弧與弧是等圓中的弧，，∴是等腰三角形．【小問2詳解】解：作出點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，則與是等圓，連接，設(shè)與交點(diǎn)為N，由翻折后的