(備戰(zhàn)25年高考)2024年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題解題技巧(1題2-4解)和考前變式訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)

【備戰(zhàn)25年高考】2024年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題解題技巧（1題2-4解）真題真題01復(fù)數(shù)真題解題技巧真題02常用邏輯用語(yǔ)真題解題技巧真題03平面向量真題解題技巧真題04統(tǒng)計(jì)真題解題技巧真題05軌跡方程真題解題技巧真題06函數(shù)的交點(diǎn)真題解題技巧真題07線面角真題解題技巧真題08函數(shù)的性質(zhì)及不等式最值真題解題技巧真題09三角函數(shù)圖象與性質(zhì)真題解題技巧真題10解析幾何真題解題技巧真題11函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用真題解題技巧真題12等差數(shù)列真題解題技巧真題13三角恒等變換真題解題技巧真題14排列組合真題解題技巧真題15解三角形解答題真題解題技巧真題16導(dǎo)數(shù)解答題真題解題技巧真題17立體幾何解答題真題解題技巧真題18概率統(tǒng)計(jì)解答題真題解題技巧真題19數(shù)列與雙曲線結(jié)合真題解題技巧本節(jié)導(dǎo)航真題01復(fù)數(shù)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2本題考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算。對(duì)于復(fù)數(shù),其模的計(jì)算公式為,屬于簡(jiǎn)單題?！窘夥ㄒ弧恐苯佑?jì)算【解法二】幾何意義法【解法三】類(lèi)比向量模長(zhǎng)法1．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．5 D．83．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則為（

）A． B． C． D．真題02常用邏輯用語(yǔ)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題本題是關(guān)于命題真假判斷的邏輯題，需要分別判斷全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的真假，再根據(jù)命題的否定以及真假性的關(guān)系來(lái)確定選項(xiàng)。【解法一】反例驗(yàn)證法【解法二】數(shù)學(xué)意義及計(jì)算綜合法1．（2024·甘肅張掖·一模）已知命題；命題．則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知命題，，命題，，則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知命題，若是假命題，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．真題03平面向量真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1本題是一道關(guān)于向量運(yùn)算的題目，已知向量的模長(zhǎng)以及向量垂直的關(guān)系，要求出另一個(gè)向量的模長(zhǎng)。主要考查向量的模長(zhǎng)公式、向量垂直的性質(zhì)以及向量的運(yùn)算規(guī)則?！窘夥ㄒ弧看怪标P(guān)系展開(kāi)【解法二】利用向量模長(zhǎng)公式和向量垂直性質(zhì)1．（2025·廣東·一模）已知向量滿足，則（

）A．2 B． C． D．32．（2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）若向量，滿足，，，的夾角為，則（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4真題04統(tǒng)計(jì)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間本題是關(guān)于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析問(wèn)題，給出了100塊稻田畝產(chǎn)量的分組頻數(shù)分布情況，要求判斷各個(gè)選項(xiàng)關(guān)于畝產(chǎn)量的中位數(shù)、比例、極差、平均值等結(jié)論的正確性?！窘夥ㄒ弧恐鹨贿x項(xiàng)計(jì)算法【解法二】平均值估算下限法【解法三】平均值估算上限法（略）1．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）某校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，現(xiàn)將100名參賽學(xué)生的成績(jī)（單位：分）整理如下：成績(jī)頻數(shù)52530201010根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．100名學(xué)生成績(jī)的極差為60分B．100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)大于70分C．100名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)大于60分D．100名學(xué)生中成績(jī)大于60分的人數(shù)所占比例超過(guò)2．（2024·上海普陀·一模）某機(jī)構(gòu)對(duì)2014年至2023年的中國(guó)新能源汽車(chē)的年銷(xiāo)售量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖所示（單位：萬(wàn)輛），則下列結(jié)論中正確的是（

）A．這十年中國(guó)新能源汽車(chē)年銷(xiāo)售量的中位數(shù)為123B．這十年中國(guó)新能源汽車(chē)年銷(xiāo)售量的極差為721C．這十年中國(guó)新能源汽車(chē)年銷(xiāo)售量的第70百分位數(shù)為136.6D．這十年中的前五年的年銷(xiāo)售量的方差小于后五年的年銷(xiāo)售量的方差3．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁對(duì)某組數(shù)據(jù)（該組數(shù)據(jù)由5個(gè)整數(shù)組成）進(jìn)行分析，得到以下數(shù)字特征，則不能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于12的是（

）A．甲：中位數(shù)為9，眾數(shù)為11 B．乙：中位數(shù)為9，極差為3C．丙：平均數(shù)為8，極差為4 D．?。浩骄鶖?shù)為8，方差為3真題05軌跡方程真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）本題是求軌跡方程的問(wèn)題，已知曲線的方程，通過(guò)曲線上點(diǎn)與線段中點(diǎn)的關(guān)系，利用相關(guān)點(diǎn)法等方法求出點(diǎn)的軌跡方程?！窘夥ㄒ弧肯嚓P(guān)點(diǎn)法【解法二】參數(shù)方程轉(zhuǎn)化法1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）.A． B．C． D．3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓，圓，已知為兩圓外的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作兩圓的割線和，總有，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．真題06函數(shù)的交點(diǎn)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2本題是函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，已知兩個(gè)函數(shù)和,在給定區(qū)間內(nèi)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在該區(qū)間恰有一個(gè)零點(diǎn)，通過(guò)不同方法求解的值。【解法一】【解法二】1．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．0 C．3 D．無(wú)窮2．（2024·廣東·一模）函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則（

）A． B． C． D．真題07線面角真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3本題是立體幾何中關(guān)于正三棱臺(tái)的問(wèn)題，已知正三棱臺(tái)的體積以及上下底面正三角形的邊長(zhǎng)，要求出側(cè)棱與底面所成角的正切值。需要先根據(jù)正三棱臺(tái)的性質(zhì)求出相關(guān)的邊長(zhǎng)，高，再找出線面角，進(jìn)而求解其正切值?！窘夥ㄒ弧砍Ｒ?guī)法【解法二】補(bǔ)形法【解法三】向量法1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為矩形，且，平面平面，則直線AC與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．12．（2024·廣西柳州·一模）已知正四棱臺(tái)的體積為，，，則與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．43．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）正三棱臺(tái)三側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如果，三棱臺(tái)的體積為，的面積為，那么側(cè)棱與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．真題08函數(shù)的性質(zhì)及不等式最值真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1本題是函數(shù)與不等式結(jié)合，求二元代數(shù)式最值的問(wèn)題。已知函數(shù)且恒成立，需要通過(guò)分析函數(shù)性質(zhì)，找出滿足的條件，進(jìn)而求出的最小值?！窘夥ㄒ弧俊窘夥ǘ?．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，當(dāng)時(shí)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龍江大慶·一模）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A． B． C．1 D．真題09三角函數(shù)圖象與性質(zhì)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）對(duì)于函數(shù)和，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對(duì)稱(chēng)軸本題是一道關(guān)于三角函數(shù)性質(zhì)比較的選擇題。主要考查正弦型函數(shù)的零點(diǎn)、最大值、最小正周期以及對(duì)稱(chēng)軸等性質(zhì)，需要分別對(duì)函數(shù)和的這些性質(zhì)進(jìn)行分析，然后逐一判斷選項(xiàng)的正確性?！窘夥ㄒ弧窟x項(xiàng)分析法【解法二】從函數(shù)的伸縮平移變換角度求解（略）1．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)，，則（

）A．與的圖象有相同的對(duì)稱(chēng)軸B．與有相同的最小正周期C．將圖象向右平移個(gè)單位，可得到圖象D．圖象與圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)2．（2025·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，可得3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，已知在區(qū)間有且僅有個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則（

）A．在區(qū)間有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn) B．在區(qū)間有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)C．在區(qū)間單調(diào)遞減 D．的取值范圍是真題10解析幾何真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)本題是拋物線與圓的綜合問(wèn)題，涉及拋物線的準(zhǔn)線、圓的切線以及相關(guān)線段的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系。需要根據(jù)拋物線和圓的方程及幾何性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷?！窘夥ㄒ弧窟x項(xiàng)逐一分析法【解法二】設(shè)點(diǎn)直接求解1．（2024·甘肅白銀·一模）已知分別是等軸雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，的焦距為直徑的圓與交于四點(diǎn)，則（

）A．的漸近線方程為B．C．D．四邊形的面積為2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A，B在C上（A在第一象限），點(diǎn)Q在l上，以為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)F，，則（

）A．若，則 B．若，則C．，則 D．，則3．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的左支上，且與交于另一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的離心率的取值范圍為B．若，，則C．若，，則的最小值為4D．若，，則恒為定值真題11函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心本題是關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的綜合考查問(wèn)題，給出函數(shù),需要對(duì)其零點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸以及對(duì)稱(chēng)中心等性質(zhì)進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)不同參數(shù)取值情況的討論，判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確性。【解法一】利用對(duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)【解法二】直接利用拐點(diǎn)結(jié)論（D選項(xiàng)）1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．有三個(gè)零點(diǎn)B．是的極小值點(diǎn)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)D．當(dāng)時(shí)，2．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根C．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)D．存在實(shí)數(shù)，恒成立3．（2024·吉林·三模）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值C．過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條D．當(dāng)時(shí)，若b是a與c的等差中項(xiàng)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，，，則.真題12等差數(shù)列真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.本題是等差數(shù)列的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題，已知等差數(shù)列中的兩項(xiàng)關(guān)系，要求出該數(shù)列的前1項(xiàng)和。需要根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，通過(guò)不同的方法求出首項(xiàng)和公差,進(jìn)而計(jì)算。【解法一】方程組法【解法二】函數(shù)解析法1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.2．（2024·甘肅張掖·一模）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則．3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，則前項(xiàng)和.真題13三角恒等變換真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.本題是三角函數(shù)求值問(wèn)題，已知為第一象限角，為第三象限角，以及與的值，要求的值。需要先根據(jù)兩角和的正切公式求出,再結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系求出.【解法一】【解法二】1．（2024·陜西寶雞·二模）已知，，則．2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知角的終邊不重合，且，則．3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）中，的最大值為.真題14排列組合真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．本題是一個(gè)關(guān)于組合計(jì)數(shù)以及求最值的問(wèn)題。在4×4的方格表中按特定規(guī)則（每行每列恰選一個(gè)方格）選方格，先求選法的數(shù)量，再在這些選法中找出所選方格數(shù)字之和的最大值。【解法一】直接求解【解法二】貪心算法策略?xún)?yōu)化（第二空）【解法三】匈牙利算法（第二空）略1．（2025·江西九江·一模）如圖，有一個(gè)觸屏感應(yīng)燈，該燈共有9個(gè)燈區(qū)，每個(gè)燈區(qū)都處于“點(diǎn)亮”或“熄滅”狀態(tài)，觸按其中一個(gè)燈區(qū)，將導(dǎo)致該燈區(qū)及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區(qū)改變狀態(tài)．假設(shè)起初所有燈區(qū)均處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，若從中隨機(jī)先后按下兩個(gè)不同燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若集合，滿足都是的子集，且，，均只有一個(gè)元素，且，稱(chēng)為的一個(gè)“有序子集列”，若有5個(gè)元素，則有多少個(gè)“有序子集列”.3．（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）如圖，機(jī)器人從A點(diǎn)出發(fā)，每次可以向右或向上沿著線走一個(gè)單位（每個(gè)小正方形的一條邊長(zhǎng)為一個(gè)單位），要走到B點(diǎn)，不同的走法共有種．真題15解三角形解答題真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．本題是一道三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目。第一問(wèn)要求根據(jù)給定的三角函數(shù)等式求出角的值；第二問(wèn)在已知的值以及相關(guān)等式的情況下，求出的周長(zhǎng)，需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式以及正弦定理、余弦定理等知識(shí)來(lái)求解。【解法一】常規(guī)方法（輔助角公式）【解法二】常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）【解法三】利用極值點(diǎn)求解【解法四】利用向量數(shù)量積公式【解法五】利用萬(wàn)能公式求解1．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊為a，b，c，已知，且.(1)求角A的大??；(2)若，求△ABC的周長(zhǎng)的值.2．（2025·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若的角平分線AD與BC交于點(diǎn)D，且，．求的面積，3．（2025·四川·二模）記銳角的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值.(2)若，求邊上的高的取值范圍.真題16導(dǎo)數(shù)解答題真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．本題是關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的問(wèn)題，第一問(wèn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，需要先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到切線斜率，再結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程；第二問(wèn)根據(jù)函數(shù)有極小值且極小值小于0求參數(shù)的取值范圍，需要通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)分析其單調(diào)性，進(jìn)而確定極小值點(diǎn)，再根據(jù)極小值小于0建立不等式求解。【解法一】【解法二】1．（2025·江西·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性，并求當(dāng)?shù)臉O大值等于時(shí)，實(shí)數(shù)的值．2．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2024·廣東韶關(guān)·一模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．真題17立體幾何解答題真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．本題是立體幾何中的折疊問(wèn)題，第一問(wèn)證明線線垂直，可通過(guò)線面垂直的性質(zhì)來(lái)證明；第二問(wèn)求二面角的正弦值，可利用空間向量法或傳統(tǒng)幾何法等，先找出二面角的平面角或建立空間直角坐標(biāo)系求出相關(guān)向量，再進(jìn)行計(jì)算?！窘夥ㄒ弧靠臻g向量法【解法二】向量法-基底向量證明線線垂直（第一問(wèn)）【解法三】純幾何法（第二問(wèn)）【解法四】三垂線法1．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，M是的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)證明：平面.(3)求平面與平面的夾角.2．（2025·福建廈門(mén)·一模）如圖，在三棱柱中，，，．

(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值．3．（2025·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，平面，，，．為上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)記平面與平面的夾角為，平面與平面的夾角為，若，求的值．真題18概率統(tǒng)計(jì)解答題真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？本題是一道關(guān)于概率計(jì)算與決策的問(wèn)題，涉及獨(dú)立事件概率的應(yīng)用。比賽分為兩個(gè)階段，根據(jù)不同階段的投籃規(guī)則和隊(duì)員投籃命中概率，計(jì)算比賽成績(jī)滿足一定條件的概率以及確定使比賽成績(jī)期望最大的人員安排?！窘夥ㄒ弧俊窘夥ǘ康谝粏?wèn)1．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁相約進(jìn)行臺(tái)球比賽，約定每輪比賽均將四人分成兩組，進(jìn)行一對(duì)一對(duì)打，第1輪比賽甲、乙對(duì)打，丙、丁對(duì)打，每輪比賽結(jié)束后，兩名獲勝者組成一組在下一輪比賽中對(duì)打，兩名負(fù)者組成一組在下一輪比賽中對(duì)打，每組比賽均無(wú)平局出現(xiàn)．已知甲勝乙、丙勝丁的概率均為，甲勝丙、甲勝丁、乙勝丙、乙勝丁的概率均為，每組比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求在第3輪比賽中，甲、丙對(duì)打的概率；(2)求在第n輪比賽中，甲、乙對(duì)打的概率及甲、丙對(duì)打的概率；(3)求在第n輪比賽中，甲獲勝的概率．2．（2025·廣東肇慶·二模）購(gòu)買(mǎi)盲盒成為當(dāng)下年輕人的潮流之一?其最吸引人的地方是因?yàn)楹凶由蠜](méi)有標(biāo)注物品具體信息，買(mǎi)家只有打開(kāi)才會(huì)知道自己買(mǎi)到了什么.某商店推出種款式不同的盲盒，購(gòu)買(mǎi)規(guī)則及概率如下：每次購(gòu)買(mǎi)一個(gè)，且買(mǎi)到任意一種款式的盲盒是等可能的.小劉特別喜歡種款式中的一種.(1)若種款式的盲盒各有一個(gè).（i）求小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率.（ii）設(shè)小劉抽到特別喜歡的款式所需次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.(2)若每種款式的盲盒數(shù)量足夠多，每次盲盒被買(mǎi)后老板都會(huì)補(bǔ)充被買(mǎi)走的款式.商店為了滿足客戶(hù)的需求，引進(jìn)了保底機(jī)制：在抽取前指定一個(gè)款式，若前次未抽出指定款式，則第次必定抽出指定款式.設(shè)為小劉抽到某指定款式所需的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）.121920129103．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）育才中學(xué)為普及法治理論知識(shí)，舉辦了一次法治理論知識(shí)闖關(guān)比賽．比賽規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，按順序依次闖關(guān)，無(wú)論成敗，每位隊(duì)員只闖關(guān)一次．如果某位隊(duì)員闖關(guān)失敗，則由該隊(duì)下一隊(duì)員繼續(xù)闖關(guān)，如果該隊(duì)員闖關(guān)成功，則視作該隊(duì)獲勝，余下的隊(duì)員無(wú)需繼續(xù)闖關(guān)；若三位隊(duì)員闖關(guān)均不成功，則視為該隊(duì)比賽失?。荣惤Y(jié)束后，根據(jù)積分獲取排名，每支獲勝的隊(duì)伍積分Y與派出的闖關(guān)人數(shù)X的關(guān)系如下：，比賽失敗的隊(duì)伍則積分為0．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為、、，且每人能否闖關(guān)成功互不影響．(1)已知，，，（i）若按甲、乙、丙的順序依次參賽，求該隊(duì)比賽結(jié)束后所獲積分的期望；（ii）若第一次闖關(guān)從三人中隨機(jī)抽取，求該隊(duì)比賽結(jié)束后所獲積分的概率．(2)若甲只能安排在第二位次參賽，且，要使該隊(duì)比賽結(jié)束后所獲積分的期望最大，試確定乙、丙的參賽順序，并說(shuō)明理由．真題19數(shù)列與雙曲線結(jié)合真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.本題是一道關(guān)于雙曲線與數(shù)列、直線相交相關(guān)的綜合題。主要考查了雙曲線的性質(zhì)、直線方程、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)以及等比數(shù)列的證明和三角形面積的計(jì)算與性質(zhì)。通過(guò)已知條件，涉及到直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)求解、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)變換以及數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的證明和三角形面積的分析?！窘夥ㄒ弧俊窘夥ǘ康诙?wèn)【解法三】第三問(wèn)【解法四】第三問(wèn)【解法五】第三問(wèn)1．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線：，是大于0的常數(shù).拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的垂直于軸的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），直線與直線相交于點(diǎn)（異于），與拋物線相交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），直線交拋物線于另一點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn).(1)若是的重心，求的值；(2)設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn).（?。┣笞C：三點(diǎn)共線；（ⅱ）設(shè)的面積為，的面積為，若，求的取值范圍.2．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率.(1)若橢圓過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線均過(guò)點(diǎn)且互相垂直，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè).①求；②記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·山西呂梁·二模）已知雙曲線，點(diǎn)在上.按如下方式構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線與的左支交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，記點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為線段的中點(diǎn)，記的面積分別為.判斷是否為定值，如果是定值，求的值；如果不是，說(shuō)明理由.【備戰(zhàn)25年高考】2024年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題解題技巧（1題2-4解）真題真題01復(fù)數(shù)真題解題技巧真題02常用邏輯用語(yǔ)真題解題技巧真題03平面向量真題解題技巧真題04統(tǒng)計(jì)真題解題技巧真題05軌跡方程真題解題技巧真題06函數(shù)的交點(diǎn)真題解題技巧真題07線面角真題解題技巧真題08函數(shù)的性質(zhì)及不等式最值真題解題技巧真題09三角函數(shù)圖象與性質(zhì)真題解題技巧真題10解析幾何真題解題技巧真題11函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用真題解題技巧真題12等差數(shù)列真題解題技巧真題13三角恒等變換真題解題技巧真題14排列組合真題解題技巧真題15解三角形解答題真題解題技巧真題16導(dǎo)數(shù)解答題真題解題技巧真題17立體幾何解答題真題解題技巧真題18概率統(tǒng)計(jì)解答題真題解題技巧真題19數(shù)列與雙曲線結(jié)合真題解題技巧本節(jié)導(dǎo)航真題01復(fù)數(shù)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2本題考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算。對(duì)于復(fù)數(shù),其模的計(jì)算公式為,屬于簡(jiǎn)單題?！窘夥ㄒ弧恐苯佑?jì)算若，則.故選：C.【解法二】幾何意義法復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,原點(diǎn)坐標(biāo)為。根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式則【解法三】類(lèi)比向量模長(zhǎng)法解題思路：復(fù)數(shù)可以類(lèi)比為平面向量,復(fù)數(shù)的模就相當(dāng)于向量星的模,根據(jù)向量模長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算。解題步驟：對(duì)于,類(lèi)比向量,根據(jù)向量模長(zhǎng)公式,即。1．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)合模長(zhǎng)公式即可求解；【詳解】由題意得，，所以.故選：D2．（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．5 D．8【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則得到，利用模長(zhǎng)公式求出答案.【詳解】，所以.故選：B．3．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義，除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模計(jì)算即可.【詳解】由題意，，，.故選：D.真題02常用邏輯用語(yǔ)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題本題是關(guān)于命題真假判斷的邏輯題，需要分別判斷全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的真假，再根據(jù)命題的否定以及真假性的關(guān)系來(lái)確定選項(xiàng)?！窘夥ㄒ弧糠蠢?yàn)證法【詳解】對(duì)于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對(duì)于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.故選：B.【解法二】數(shù)學(xué)意義及計(jì)算綜合法表示數(shù)軸上的點(diǎn)到-1的距離大于1，顯然錯(cuò)誤，，，計(jì)算得出x=0,1,-1,顯然正確1．（2024·甘肅張掖·一模）已知命題；命題．則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題p，再根據(jù)時(shí)，判斷即可選擇.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故命題是真命題；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，所以當(dāng)時(shí)，，所以．故命題是真命題．故選:A.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知命題，，命題，，則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題【答案】B【分析】首先判斷命題為假命題，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷命題為真命題，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，恒成立，所以命題為假命題，則為真命題；令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以對(duì)任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即對(duì)任意的恒成立，故命題為真命題，則為假命題；所以和都是真命題.故選：B3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知命題，若是假命題，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用絕對(duì)值三角不等式，得到，再根據(jù)題設(shè)即可求解.【詳解】因?yàn)槭羌倜}，則命題為真命題，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選：B.真題03平面向量真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1本題是一道關(guān)于向量運(yùn)算的題目，已知向量的模長(zhǎng)以及向量垂直的關(guān)系，要求出另一個(gè)向量的模長(zhǎng)。主要考查向量的模長(zhǎng)公式、向量垂直的性質(zhì)以及向量的運(yùn)算規(guī)則?！窘夥ㄒ弧看怪标P(guān)系展開(kāi)【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，從?故選：B.【解法二】利用向量模長(zhǎng)公式和向量垂直性質(zhì)解題思路：根據(jù)對(duì)其兩邊平方，再結(jié)合得到的,聯(lián)立求解。解題步驟：由,兩邊平方得,即.因?yàn)?所以,則,整理得。因?yàn)?所以,即。將代入,得,得.1．（2025·廣東·一模）已知向量滿足，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示及向量數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算得解.【詳解】由，得，則，所以.故選：C2．（2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）若向量，滿足，，，的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題知，將和兩邊同時(shí)平方后，解方程組即可求得.【詳解】∵，的夾角為，.，，，，解得，.故選：D.3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)向量夾角余弦的表示代入計(jì)算得，再利用向量垂直的數(shù)量積的表示即可得到答案.【詳解】，即，則，因?yàn)椋瑒t，則，則，則，則.故選：B.真題04統(tǒng)計(jì)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間本題是關(guān)于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析問(wèn)題，給出了100塊稻田畝產(chǎn)量的分組頻數(shù)分布情況，要求判斷各個(gè)選項(xiàng)關(guān)于畝產(chǎn)量的中位數(shù)、比例、極差、平均值等結(jié)論的正確性?！窘夥ㄒ弧恐鹨贿x項(xiàng)計(jì)算法【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,,所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，所以低于的稻田占比為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；對(duì)于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為，故D錯(cuò)誤.故選；C.【解法二】平均值估算下限法計(jì)算,選項(xiàng)錯(cuò)誤?！窘夥ㄈ科骄倒浪闵舷薹ǎ裕?．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）某校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，現(xiàn)將100名參賽學(xué)生的成績(jī)（單位：分）整理如下：成績(jī)頻數(shù)52530201010根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．100名學(xué)生成績(jī)的極差為60分B．100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)大于70分C．100名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)大于60分D．100名學(xué)生中成績(jī)大于60分的人數(shù)所占比例超過(guò)【答案】C【分析】由極差，中位數(shù)以及平均數(shù)的定義，逐一計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，由表格可知，100名學(xué)生成績(jī)的極差可能為60，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由表格可知，100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)位于之間，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，100名學(xué)生中成績(jī)大于60分的人數(shù)所占比例為，故D錯(cuò)誤；故選：C2．（2024·上海普陀·一模）某機(jī)構(gòu)對(duì)2014年至2023年的中國(guó)新能源汽車(chē)的年銷(xiāo)售量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖所示（單位：萬(wàn)輛），則下列結(jié)論中正確的是（

）A．這十年中國(guó)新能源汽車(chē)年銷(xiāo)售量的中位數(shù)為123B．這十年中國(guó)新能源汽車(chē)年銷(xiāo)售量的極差為721C．這十年中國(guó)新能源汽車(chē)年銷(xiāo)售量的第70百分位數(shù)為136.6D．這十年中的前五年的年銷(xiāo)售量的方差小于后五年的年銷(xiāo)售量的方差【答案】D【分析】由圖表提取數(shù)據(jù)并按照由小到大排列，根據(jù)中位線、極差與百分位數(shù)定義，結(jié)合方差的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由圖可得數(shù)據(jù)為：，對(duì)于A，這十年中國(guó)新能源汽車(chē)年銷(xiāo)售量的中位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，這十年中國(guó)新能源汽車(chē)年銷(xiāo)售量的極差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則這十年中國(guó)新能源汽車(chē)年銷(xiāo)售量的第70百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖表易知前五年的數(shù)據(jù)比后五年的數(shù)據(jù)穩(wěn)定，則前五年的方差小于后五年的方差，故D正確.故選：D.3．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁對(duì)某組數(shù)據(jù)（該組數(shù)據(jù)由5個(gè)整數(shù)組成）進(jìn)行分析，得到以下數(shù)字特征，則不能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于12的是（

）A．甲：中位數(shù)為9，眾數(shù)為11 B．乙：中位數(shù)為9，極差為3C．丙：平均數(shù)為8，極差為4 D．?。浩骄鶖?shù)為8，方差為3【答案】B【分析】通過(guò)理解中位數(shù)，眾數(shù)，極差，平均數(shù)，方差的概念及相關(guān)知識(shí)，再對(duì)5個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行舉例假設(shè)分析，即可得到判斷.【詳解】對(duì)于A，中位數(shù)為9，眾數(shù)為11，說(shuō)明11至少有兩個(gè)數(shù)，不妨取兩個(gè)11，則由中位數(shù)可知另外兩個(gè)數(shù)肯定不超過(guò)9，故A能判斷這組數(shù)據(jù)都小于12，所以不能選A；對(duì)于B，中位數(shù)為9，極差為3，由于極差是5個(gè)數(shù)中最大與最小的差，由于該組數(shù)據(jù)由5個(gè)整數(shù)組成，所以不妨取4個(gè)9，1個(gè)12，這樣不能判斷該組數(shù)據(jù)一定小于12，故選B；對(duì)于C，平均數(shù)為，極差為，由于個(gè)數(shù)都是整數(shù)，根據(jù)條件可知，這個(gè)數(shù)中肯定最大數(shù)與最小數(shù)的差為，則可知最大數(shù)肯定大于，最小數(shù)肯定小于，故最小數(shù)加得最大數(shù)肯定小于，從而能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于12，故不能選C；對(duì)于D，平均數(shù)為8，方差為3，由方差公式可得，若存在數(shù)12，則，這與方差為3相矛盾，所以最大數(shù)也一定小于12，故不能選D；故選：B.真題05軌跡方程真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）本題是求軌跡方程的問(wèn)題，已知曲線的方程，通過(guò)曲線上點(diǎn)與線段中點(diǎn)的關(guān)系，利用相關(guān)點(diǎn)法等方法求出點(diǎn)的軌跡方程。【解法一】相關(guān)點(diǎn)法【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A【解法二】參數(shù)方程轉(zhuǎn)化法解題思路：先寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程，再根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系得到，的坐標(biāo)關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，最后消去參數(shù)得到的軌跡方程。解題步驟：0曲線的參數(shù)方程為設(shè),因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，由得,由得,根據(jù),可得即,答案是A。1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，又點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為．故選：B．2．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知條件利用垂直關(guān)系，分直線斜率不存在，和直線斜率存在兩種情況求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線斜率為，所以，，，當(dāng)時(shí)，有，即，整理得：，經(jīng)檢驗(yàn)在直線上，所以的軌跡方程為：.故選：B.3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓，圓，已知為兩圓外的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作兩圓的割線和，總有，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由可得，然后由割線定理可得，從而得到點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】因?yàn)閳A，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，由，可得，所以，即，由割線定理可知，過(guò)的切線是到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)，過(guò)分別做圓的切線，切點(diǎn)為，則，，所以，連接，則，，所以，即，所以，即，設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得，所以點(diǎn)的軌跡方程是，故選:A真題06函數(shù)的交點(diǎn)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2本題是函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，已知兩個(gè)函數(shù)和,在給定區(qū)間內(nèi)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在該區(qū)間恰有一個(gè)零點(diǎn)，通過(guò)不同方法求解的值?！窘夥ㄒ弧苛?，即，可得，令，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以符合題意；綜上所述：.【解法二】令，原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知的零點(diǎn)只能為0，即，解得，若，則，又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；故選：D.1．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．0 C．3 D．無(wú)窮【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式確定函數(shù)在（）上是增函數(shù)且，零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出它們的大致圖象后，觀察可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得結(jié)論．【詳解】由，得在區(qū)間上的函數(shù)值都是區(qū)間上相應(yīng)函數(shù)值的一半，，又時(shí)，是增函數(shù)，即，所以，因此時(shí)，，令，它在上是減函數(shù)，，，，當(dāng)時(shí)，，作出和在上圖象，如圖，由圖可知：在時(shí)，的圖象與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以在上，它們只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：A．2．（2024·廣東·一模）函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用參變分類(lèi)可得和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論后者的性質(zhì)后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由得，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，而，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；大致圖象如右所示：結(jié)合圖象可知，的取值范圍是，故選：D3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，求出函數(shù)的定義域，分析出兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得出，即可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由可得，由，可得，解得，令，，則，，所以，函數(shù)、的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因?yàn)殛P(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則函數(shù)、在上的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，，可得.故選：C.真題07線面角真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3本題是立體幾何中關(guān)于正三棱臺(tái)的問(wèn)題，已知正三棱臺(tái)的體積以及上下底面正三角形的邊長(zhǎng)，要求出側(cè)棱與底面所成角的正切值。需要先根據(jù)正三棱臺(tái)的性質(zhì)求出相關(guān)的邊長(zhǎng)，高，再找出線面角，進(jìn)而求解其正切值?！窘夥ㄒ弧砍Ｒ?guī)法分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過(guò)作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；【解法二】補(bǔ)形法將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.【解法三】向量法解題思路：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式求出線面角的正弦值，進(jìn)而求出正切值。解題步驟：設(shè)上下底面中心分別為,以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)垂直于的直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系。由前面計(jì)算可知,則所以平面的法向量。設(shè)與平面所成角為,則所以,則。1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為矩形，且，平面平面，則直線AC與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】取為的中點(diǎn)，先證明平面，得為所求線面角，由邊長(zhǎng)間的關(guān)系求正弦值.【詳解】平面平面，又平面平面，平面，，則平面，又平面，故平面平面，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，平面平面，平面平面，為等邊三角形，則，故平面，則直線AC與平面所成角即為，令，則，，，故.故選：A2．（2024·廣西柳州·一模）已知正四棱臺(tái)的體積為，，，則與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)體積求出正四棱臺(tái)的高，分別取的中點(diǎn)，過(guò)作交于，則為與底面所成的角，求解即可.【詳解】∵，，∴上，下底面的面積分別為，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則其體積為，解得，連接，分別取的中點(diǎn)，∵面，面，∴，過(guò)作交于，則，面，∴為與底面所成的角，∵，，∴，即與底面所成角的正切值為.故選：C.3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）正三棱臺(tái)三側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如果，三棱臺(tái)的體積為，的面積為，那么側(cè)棱與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)作面于，交面于，連接，則為側(cè)棱與底面所成的角，根據(jù)條件得到，利用棱臺(tái)的體積公式得到，進(jìn)而得到，再利用三棱錐為正三棱錐，求得，即可求解.【詳解】過(guò)作面于，交面于，連接，正三棱臺(tái)三側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，所以三棱錐為正三棱錐，又因?yàn)?，則，所以，又的面積為，所以，則，解得，所以，設(shè)的邊長(zhǎng)為，則，解得，又三棱錐為正三棱錐，所以是的中心，又易知邊上的高線長(zhǎng)為，所以，又面，所以為側(cè)棱與底面所成的角，則，故選：D.真題08函數(shù)的性質(zhì)及不等式最值真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1本題是函數(shù)與不等式結(jié)合，求二元代數(shù)式最值的問(wèn)題。已知函數(shù)且恒成立，需要通過(guò)分析函數(shù)性質(zhì)，找出滿足的條件，進(jìn)而求出的最小值。【解法一】由題意可知：的定義域?yàn)?，分?lèi)討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值由題意可知：的定義域?yàn)?，令解得；令解得；若，?dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；可知若，符合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；綜上所述：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為；【解法二】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的符號(hào)，即可得，代入可得最值.由題意可知：的定義域?yàn)?，令解得；令解得；則當(dāng)時(shí)，，故，所以；時(shí)，，故，所以；故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.1．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，當(dāng)時(shí)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，求導(dǎo)令，可得，進(jìn)而求得的單調(diào)性，求得，結(jié)合已知可得，求解即可.【詳解】令，則，因?yàn)椋O(shè)的根為，即有，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.，所以，，所以，①當(dāng)；，②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，在單調(diào)遞增，又，所以.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)有：（1）掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用；（2）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的最小值，從而解決問(wèn)題.2．（2024·黑龍江大慶·一模）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)推出矛盾，當(dāng)時(shí)求出，即可得到，從而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，則，即的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是分、兩種情況討論，從而求出，即可得到，從而將雙變量化為單變量問(wèn)題.3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】構(gòu)建，分析可知的定義域?yàn)?，且在?nèi)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可得，整理可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，可知的定義域?yàn)椋栽趦?nèi)恒成立，又因?yàn)椋?，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為1.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．真題09三角函數(shù)圖象與性質(zhì)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）對(duì)于函數(shù)和，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對(duì)稱(chēng)軸本題是一道關(guān)于三角函數(shù)性質(zhì)比較的選擇題。主要考查正弦型函數(shù)的零點(diǎn)、最大值、最小正周期以及對(duì)稱(chēng)軸等性質(zhì)，需要分別對(duì)函數(shù)和的這些性質(zhì)進(jìn)行分析，然后逐一判斷選項(xiàng)的正確性?！窘夥ㄒ弧窟x項(xiàng)分析法A選項(xiàng)，令，解得，即為零點(diǎn)，令，解得，即為零點(diǎn)，顯然零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，顯然，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)稱(chēng)軸滿足，的對(duì)稱(chēng)軸滿足，顯然圖像的對(duì)稱(chēng)軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC【解法二】從函數(shù)的伸縮平移變換角度求解（略）1．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)，，則（

）A．與的圖象有相同的對(duì)稱(chēng)軸B．與有相同的最小正周期C．將圖象向右平移個(gè)單位，可得到圖象D．圖象與圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)【答案】BCD【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的函數(shù)解析式，求兩函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸判斷A，求兩函數(shù)視為周期判斷B，根據(jù)函數(shù)圖象變換法則求函數(shù)平移后的解析式，由此判斷C，解方程，判斷D.【詳解】，，令，，可得，，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，，令，，可得，，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，，函數(shù)與的圖象的對(duì)稱(chēng)軸不相同，A錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，與有相同的最小正周期，B正確，將圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象，C正確，令可得，所以，所以，又，所以，故，D正確，故選：BCD.2．（2025·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，可得【答案】ACD【分析】先求出需要研究的函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)周期公式，單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性定義，函數(shù)圖象變換逐個(gè)計(jì)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：已知，根據(jù)余弦函數(shù)最小正周期公式得，所以函數(shù)的最小正周期為，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)：.令，解不等式得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)：，即，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)：已知，又，則，即.根據(jù)兩角和差公式，，整理得.因?yàn)樵摰仁綄?duì)任意都成立，所以，由得，，由得，，，又，綜合可得，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，已知在區(qū)間有且僅有個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則（

）A．在區(qū)間有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn) B．在區(qū)間有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)C．在區(qū)間單調(diào)遞減 D．的取值范圍是【答案】AC【分析】根據(jù)在區(qū)間上對(duì)稱(chēng)中心的個(gè)數(shù)求得的取值范圍，根據(jù)極大值、極小值、單調(diào)性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由，得，由于在區(qū)間有且僅有5個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以，解得，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.由上述分析可知，所以對(duì)于A選項(xiàng)，由或，即或時(shí)，取得極大值，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由或，即或時(shí)，取得極小值，即只有個(gè)極小值，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由上述分析可知，所以當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，C選項(xiàng)正確.故選：AC真題10解析幾何真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)本題是拋物線與圓的綜合問(wèn)題，涉及拋物線的準(zhǔn)線、圓的切線以及相關(guān)線段的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系。需要根據(jù)拋物線和圓的方程及幾何性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷?！窘夥ㄒ弧窟x項(xiàng)逐一分析法A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時(shí)切線長(zhǎng)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故或，當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；于是不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時(shí)點(diǎn)的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成時(shí)點(diǎn)的存在性問(wèn)題，，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，即存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.故選：ABD【解法二】設(shè)點(diǎn)直接求解=設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.1．（2024·甘肅白銀·一模）已知分別是等軸雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，的焦距為直徑的圓與交于四點(diǎn)，則（

）A．的漸近線方程為B．C．D．四邊形的面積為【答案】ABD【分析】由可求出的漸近線方程可判斷A；由雙曲線的定義結(jié)合，解方程求出，可判斷B，C；，矩形的面積為，可判斷D.【詳解】由題意得，則的漸近線方程為，A正確.設(shè)在第一象限，易得，將兩邊平方，得，則，，B正確，C錯(cuò)誤.設(shè)，由，得，則矩形的面積為，D正確.故選：ABD.2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A，B在C上（A在第一象限），點(diǎn)Q在l上，以為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)F，，則（

）A．若，則 B．若，則C．，則 D．，則【答案】ACD【分析】由題意，利用拋物線的定義以及相似即可判斷AB；結(jié)合拋物線的定義及三角形全等即可判斷BD.【詳解】設(shè)在上的投影為，與軸交于點(diǎn)，因?yàn)?，兩點(diǎn)均在拋物線上，所以，因?yàn)椋?故,所以，解得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，時(shí)，，,結(jié)合，,,所以，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C:設(shè)點(diǎn)在上的投影為，此時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，即，則為等腰直角三角形，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)在上的投影為，此時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，即，則為等邊三角形，此時(shí)，則,，故D正確；故選：ACD．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：以及垂直關(guān)系得.3．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的左支上，且與交于另一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的離心率的取值范圍為B．若，，則C．若，，則的最小值為4D．若，，則恒為定值【答案】ABD【分析】對(duì)于A，由點(diǎn)在漸近線的下方得到，推理即得離心率范圍；對(duì)于B，利用雙曲線的定義和焦半徑的范圍即得；對(duì)于C，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線的左右支分別求得最短弦長(zhǎng)即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)點(diǎn)是否與雙曲線的左頂點(diǎn)重合，分別推理計(jì)算，利用雙曲線定義和余弦定理即可證得.【詳解】對(duì)于A，因點(diǎn)在的一條漸近線的下方，則，即，故離心率，故A正確；對(duì)于B，由，，得，由雙曲線的定義可知，則，于是，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，因，，則，當(dāng)在的右支上時(shí)，因?yàn)樵谶^(guò)焦點(diǎn)且與雙曲線的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的弦中，最短弦的弦長(zhǎng)為實(shí)軸長(zhǎng)，故；當(dāng)在的左支上時(shí)，因?yàn)樵谶^(guò)焦點(diǎn)且與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)的弦中，當(dāng)軸時(shí)，最小，此時(shí)，，故的最小值為1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，可知，則，，當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)不在雙曲線的左頂點(diǎn)時(shí)，因，則，由余弦定理得，又，所以，因則，即.綜上，恒為定值，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的定義，性質(zhì)的應(yīng)用，解題思路在于解決與焦點(diǎn)有關(guān)的線段時(shí)，?？紤]定義式或焦半徑、焦點(diǎn)弦有關(guān)結(jié)論的應(yīng)用，有時(shí)還要考慮雙曲線的漸近線，通經(jīng)，以及三角形中正余弦定理的運(yùn)用.真題11函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心本題是關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的綜合考查問(wèn)題，給出函數(shù),需要對(duì)其零點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸以及對(duì)稱(chēng)中心等性質(zhì)進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)不同參數(shù)取值情況的討論，判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確性?！窘夥ㄒ弧坷脤?duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確【解法二】直接利用拐點(diǎn)結(jié)論（D選項(xiàng)）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，由題意也是對(duì)稱(chēng)中心，故，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱(chēng)軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．有三個(gè)零點(diǎn)B．是的極小值點(diǎn)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)D．當(dāng)時(shí)，【答案】BC【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義直接判斷A選項(xiàng)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值情況，可判斷BD選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，令，解得或，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，，即在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.2．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根C．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)D．存在實(shí)數(shù)，恒成立【答案】ABD【分析】利用函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的定義可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，，又因?yàn)?，如下圖所示：由圖可知，直線與函數(shù)的圖象由三個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)恒成立，故D正確．故選：ABD．3．（2024·吉林·三模）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值C．過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條D．當(dāng)時(shí)，若b是a與c的等差中項(xiàng)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，，，則.【答案】AC【分析】對(duì)于A，由題意可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即可判斷；對(duì)于B，由題意可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，從而可判斷B；對(duì)于C，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可得切線的方程，再代入點(diǎn)，通過(guò)判斷的解的個(gè)數(shù)，即可判斷切線的條數(shù)從而判斷C；對(duì)于D，由等差中項(xiàng)的定義可得直線過(guò)定點(diǎn)，且此點(diǎn)在曲線上，再判斷出點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，即可得的值，即可判斷D．【詳解】因?yàn)?，所以，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故A正確.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有兩個(gè)極值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與切于點(diǎn)，則切線方程為，代入得，整理得：，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)解，所以過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以直線即為直線，所以直線過(guò)定點(diǎn)，且此點(diǎn)在曲線上，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為,則有，即，整理得：，所以，解得，所以函數(shù)的關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)，則有，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在D選項(xiàng)中，判斷出直線過(guò)定點(diǎn)，且函數(shù)關(guān)于此點(diǎn)對(duì)稱(chēng).真題12等差數(shù)列真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.本題是等差數(shù)列的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題，已知等差數(shù)列中的兩項(xiàng)關(guān)系，要求出該數(shù)列的前1項(xiàng)和。需要根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，通過(guò)不同的方法求出首項(xiàng)和公差,進(jìn)而計(jì)算?！窘夥ㄒ弧糠匠探M法因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.【解法二】函數(shù)解析法解題思路：設(shè)將代入已知等式求進(jìn)而得和。解題步驟：設(shè)則即由得代入,得,解得.把代入,得。所以。1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和公式列出方程組求解即可.【詳解】設(shè)公差為，由，得，解得.故答案為：.2．（2024·甘肅張掖·一模）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則．【答案】72【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式求出公差和首項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由等差數(shù)列的性質(zhì)，得.因?yàn)?6，所以，解得．所以，解得，所以，所以，故答案為：72.3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，則前項(xiàng)和.【答案】【分析】應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求出通項(xiàng)，再應(yīng)用等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】等差數(shù)列滿足，所以,計(jì)算得，所以，則前項(xiàng)和.故答案為：.真題13三角恒等變換真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.本題是三角函數(shù)求值問(wèn)題，已知為第一象限角，為第三象限角，以及與的值，要求的值。需要先根據(jù)兩角和的正切公式求出,再結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系求出.【解法一】法一：由題意得，因?yàn)?，，則，，又因?yàn)椋瑒t，，則，則，聯(lián)立，解得.【解法二】因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵瑸榈谌笙藿?，則,，，則故答案為：.1．（2024·陜西寶雞·二模）已知，，則．【答案】/0.8【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，即，因?yàn)椋瑒t．故答案為：．2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知角的終邊不重合，且，則．【答案】/0.6【分析】先利用輔助角公式及正弦的性質(zhì)得到，再結(jié)合誘導(dǎo)公式、倍角公式可得的值.【詳解】根據(jù)可得，其中銳角滿足，故可得，或者，由于的終邊不重合，故，因此，故答案為：3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）中，的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，由正弦的和差角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可得到結(jié)果.【詳解】令，其中，則，設(shè)，，顯然，有，則只需考慮在上的最大值，求導(dǎo)得，令，得，則且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即為最大值，.所以的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式及輔助角公式化成關(guān)于角的函數(shù)，是求出最大值的關(guān)鍵.真題14排列組合真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．本題是一個(gè)關(guān)于組合計(jì)數(shù)以及求最值的問(wèn)題。在4×4的方格表中按特定規(guī)則（每行每列恰選一個(gè)方格）選方格，先求選法的數(shù)量，再在這些選法中找出所選方格數(shù)字之和的最大值?！窘夥ㄒ弧恐苯忧蠼庥深}意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，所以共有種選法；每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：，，，，所以選中的方格中，的4個(gè)數(shù)之和最大，為.故答案為：24；112【解法二】貪心算法策略?xún)?yōu)化（第二空）思路優(yōu)先選較大的數(shù)，同時(shí)保證列不沖突。步驟1.第一行選40（列4），但導(dǎo)致后續(xù)行無(wú)法選較大數(shù)（如42、43、44）。2.調(diào)整策略：行1選21（列2），行2選33（列3），行3選43（列4），行4選15（列1）。答案：和為。【解法三】匈牙利算法（第二空）略1．（2025·江西九江·一模）如圖，有一個(gè)觸屏感應(yīng)燈，該燈共有9個(gè)燈區(qū)，每個(gè)燈區(qū)都處于“點(diǎn)亮”或“熄滅”狀態(tài)，觸按其中一個(gè)燈區(qū)，將導(dǎo)致該燈區(qū)及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區(qū)改變狀態(tài)．假設(shè)起初所有燈區(qū)均處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，若從中隨機(jī)先后按下兩個(gè)不同燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為．【答案】【分析】根據(jù)相鄰原則把9個(gè)燈區(qū)分為三類(lèi)：第一類(lèi)燈區(qū)，第二類(lèi)燈區(qū)，第三類(lèi)燈區(qū)，然后由題意分別按各類(lèi)中的兩個(gè)保持燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，由此求得方法數(shù)，再求得總的方法數(shù)，最后由概率公式計(jì)算概率．【詳解】從9個(gè)燈區(qū)中隨機(jī)先后按下兩個(gè)燈區(qū)，共有種按法．與相鄰的燈區(qū)為；與相鄰的燈區(qū)為，故將9個(gè)燈區(qū)分為三類(lèi)：第一類(lèi)燈區(qū)，第二類(lèi)燈區(qū)，第三類(lèi)燈區(qū)．若要使得燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，則需在同類(lèi)燈區(qū)中隨機(jī)先后按兩個(gè)不同燈區(qū)．①若先后按下的是兩個(gè)燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法；②若先后按下的是燈區(qū)中的兩個(gè)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法；③若先后按下的是燈區(qū)中的兩個(gè)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法．故燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為．故答案為：．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若集合，滿足都是的子集，且，，均只有一個(gè)元素，且，稱(chēng)為的一個(gè)“有序子集列”，若有5個(gè)元素，則有多少個(gè)“有序子集列”.【答案】960【分析】結(jié)合韋恩圖，根據(jù)題意先選擇3個(gè)元素均分給，，三個(gè)位置，在排剩余元素，結(jié)合組合數(shù)和分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，均只有一個(gè)元素，且，作出韋恩圖，

則從的5個(gè)元素中選擇3個(gè)元素均分給，，三個(gè)位置，共有種不同排法，剩余2個(gè)元素，每個(gè)均有4個(gè)位置可以排，共有有種不同排法；所以“有序子集列”共有個(gè).故答案為：960.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將集合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為元素分配問(wèn)題，先排重疊部分，再排剩余元素即可.3．（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）如圖，機(jī)器人從A點(diǎn)出發(fā)，每次可以向右或向上沿著線走一個(gè)單位（每個(gè)小正方形的一條邊長(zhǎng)為一個(gè)單位），要走到B點(diǎn)，不同的走法共有種．【答案】401【分析】根據(jù)給定條件，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合計(jì)數(shù)問(wèn)題列式計(jì)算得解.【詳解】如圖，當(dāng)路線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，從到有1種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，從到有種，從到有1種，所以不同的走法共有（種）.故答案為：401【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類(lèi))和間接法(排除法)，分類(lèi)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.真題15解三角形解答題真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．本題是一道三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目。第一問(wèn)要求根據(jù)給定的三角函數(shù)等式求出角的值；第二問(wèn)在已知的值以及相關(guān)等式的情況下，求出的周長(zhǎng)，需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式以及正弦定理、余弦定理等知識(shí)來(lái)求解?！窘夥ㄒ弧砍Ｒ?guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得【解法二】常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故【解法三】利用極值點(diǎn)求解設(shè)，則，顯然時(shí)，，注意到，，在開(kāi)區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，即，即，又，故【解法四】利用向量數(shù)量積公式設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時(shí)，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故【解法五】利用萬(wàn)能公式求解設(shè)，根據(jù)萬(wàn)能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長(zhǎng)為1．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊為a，b，c，已知，且.(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC的周長(zhǎng)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊及余弦定理即可求解；（2）由數(shù)量積可求出，結(jié)合（1）可求出，進(jìn)而可知△ABC的周長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以，即，所以，由?）知，所以又，所以，解得，所以△ABC的周長(zhǎng)為，所以△ABC的周長(zhǎng)為.2．（2025·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若的角平分線AD與BC交于點(diǎn)D，且，．求的面積，【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合題意得到，然后根據(jù)余弦定理得到，即可求解A的值；（2）根據(jù)三角形面積公式得到，求得c的值，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可【詳解】（1）因?yàn)?/p>