新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題三立體幾何第1講空間幾何體的三視圖表面積及體積學(xué)案文新人教A版

PAGE1-第1講空間幾何體的三視圖、表面積及體積[做真題]1．(2024·高考全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()解析：選A.由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見(jiàn)，所以是虛線(xiàn)，結(jié)合榫頭的位置知選A.2．(2024·高考全國(guó)卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2解析：選B.設(shè)過(guò)點(diǎn)M的高與圓柱的下底面交于點(diǎn)O，將圓柱沿MO剪開(kāi)，則M，N的位置如圖所示，連接MN，易知OM＝2，ON＝4，則從M到N的最短路徑為eq\r(OM2＋ON2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).3．(2024·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線(xiàn)O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π解析：選B.因?yàn)檫^(guò)直線(xiàn)O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的直徑為2eq\r(2)，所以該圓柱的表面積為2×π×(eq\r(2))2＋2eq\r(2)π×2eq\r(2)＝12π.4．(2024·高考全國(guó)卷Ⅲ)學(xué)生到工廠(chǎng)勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)_______g.解析：由題知挖去的四棱錐的底面是一個(gè)菱形，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為6cm和4cm，故V挖去的四棱錐＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．又V長(zhǎng)方體＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的體積為V長(zhǎng)方形－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8[明考情]1．“立體幾何”在高考中一般會(huì)以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積，空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系(特殊是平行與垂直)．2．考查一個(gè)小題時(shí)，此小題一般會(huì)出現(xiàn)在第4～8題的位置上，難度一般；考查兩個(gè)小題時(shí)，其中一個(gè)小題難度一般，另一個(gè)小題難度稍高，一般會(huì)出現(xiàn)在第10～16題的位置上，此小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計(jì)算量上，但仍是對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本公式的考查．空間幾何體的三視圖(基礎(chǔ)型)[學(xué)問(wèn)整合]一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長(zhǎng)度與正(主)視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”．[考法全練]1．一個(gè)簡(jiǎn)潔幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖可能是()①長(zhǎng)、寬不相等的長(zhǎng)方形；②正方形；③圓；④橢圓．A．①② B．①④C．②③ D．③④解析：選B.由題設(shè)條件知，正視圖中的長(zhǎng)與側(cè)視圖中的長(zhǎng)不一樣，對(duì)于①，俯視圖是長(zhǎng)方形是可能的，比如此幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)，滿(mǎn)意題意；對(duì)于②，由于正視圖中的長(zhǎng)與側(cè)視圖中的長(zhǎng)不一樣，故俯視圖不行能是正方形；對(duì)于③，由于正視圖中的長(zhǎng)與側(cè)視圖中的長(zhǎng)不一樣，故俯視圖不行能是圓形；對(duì)于④，假如此幾何體是一個(gè)橢圓柱，滿(mǎn)意正視圖中的長(zhǎng)與側(cè)視圖中的長(zhǎng)不一樣，故俯視圖可能是橢圓．綜上知①④是可能的圖形．2．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．16解析：選B.由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，所以這些梯形的面積之和為eq\f(（2＋4）×2,2)×2＝12，故選B.3．如圖1，在三棱錐D-ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正視圖、俯視圖如圖2所示，則其側(cè)視圖的面積為()A.eq\r(6) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：選D.由題意知側(cè)視圖為直角三角形，因?yàn)檎晥D的高即幾何體的高，所以正視圖的高為2，則側(cè)視圖的高，即側(cè)視圖始終角邊長(zhǎng)也為2.因?yàn)楦┮晥D為邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，所以側(cè)視圖的另始終角邊長(zhǎng)為eq\r(2).所以側(cè)視圖的面積為eq\r(2)，故選D.空間幾何體的表面積與體積(綜合型)[學(xué)問(wèn)整合]柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式(1)S柱側(cè)＝ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)．(2)S錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(c為底面周長(zhǎng)，h′為斜高)．(3)S臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長(zhǎng)，h′為斜高)．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)．(2)V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．(3)V臺(tái)＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h(S，S′分別為上下底面面積，h為高)(不要求記憶)．[典型例題](1)(2024·廣州市綜合檢測(cè)(一))一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該幾何體的表面積為()A.eq\f(13π,2) B．7πC.eq\f(15π,2) D．8π(2)(2024·高考浙江卷)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的宏大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱(chēng)為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A.158 B.162C.182 D.324【解析】(1)由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱體和一個(gè)球體的四分之一的組合體，則所求的幾何體的表面積為eq\f(1,4)×4π×12＋π×12＋π×12＋2π×1×2＝7π，選B.(2)如圖，該柱體是一個(gè)直五棱柱，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個(gè)直角梯形組合而成，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S＝eq\f(2＋6,2)×3＋eq\f(4＋6,2)×3＝27，因此，該柱體的體積V＝27×6＝162.故選B.【答案】(1)B(2)Beq\a\vs4\al()(1)求幾何體的表面積的方法①求表面積問(wèn)題的基本思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要?jiǎng)由睃c(diǎn)．②求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差得此幾何體的表面積．(2)求空間幾何體體積的常用方法①公式法：干脆依據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算．②等積法：依據(jù)體積計(jì)算公式，通過(guò)轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更簡(jiǎn)潔，或是求出一些體積比等．③割補(bǔ)法：把不能干脆計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計(jì)算體積的幾何體．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2024·唐山市摸底考試)已知某幾何體的三視圖如圖所示(俯視圖中曲線(xiàn)為四分之一圓弧)，則該幾何體的表面積為()A．1－eq\f(π,4) B．3＋eq\f(π,2)C．2＋eq\f(π,4) D．4解析：選D.由題設(shè)知，該幾何體是棱長(zhǎng)為1的正方體被截去底面半徑為1的eq\f(1,4)圓柱后得到的，如圖所示，所以表面積S＝2×(1×1－eq\f(1,4)×π×12)＋2×(1×1)＋eq\f(1,4)×2π×1×1＝4.故選D.2．(2024·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二))一個(gè)幾何體的三視圖如圖中粗線(xiàn)所示，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則這個(gè)幾何體的體積為()A．32 B.eq\f(64,3)C.eq\f(32,3) D．8解析：選B.如圖所示四棱錐P-ABCD為該幾何體的直觀(guān)圖，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形．取CD的中點(diǎn)為E，連接PE，則PE⊥平面ABCD，且PE＝4.所以這個(gè)幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×4×4×4＝eq\f(64,3)，故選B.3．(2024·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))已知一全部棱長(zhǎng)都是eq\r(2)的三棱錐，則該三棱錐的體積為_(kāi)_____．解析：記全部棱長(zhǎng)都是eq\r(2)的三棱錐為P-ABC，如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，作PO⊥AD于點(diǎn)O，則PO⊥平面ABC，且OP＝eq\f(\r(6),3)×eq\r(2)＝eq\f(2\r(3),3)，故三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·OP＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)與球有關(guān)的切、接問(wèn)題(綜合型)[典型例題](1)已知圓柱的高為2，底面半徑為eq\r(3)，若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積等于()A．4π B.eq\f(16,3)πC.eq\f(32,3)π D．16π(2)(2024·洛陽(yáng)尖子生其次次聯(lián)考)四棱錐S-ABCD的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于8＋8eq\r(3)，則球O的體積等于()A.eq\f(32π,3) B.eq\f(32\r(2)π,3)C．16π D.eq\f(16\r(2)π,3)【解析】(1)如圖，由題意知圓柱的中心O為這個(gè)球的球心，于是，球的半徑r＝OB＝eq\r(OA2＋AB2)＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2.故這個(gè)球的表面積S＝4πr2＝16π.故選D.(2)由題意得，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐．如圖，連接AC，則球心O為AC的中點(diǎn)，連接SO，設(shè)球O的半徑為R，則AC＝2R，SO＝R，所以AB＝BC＝eq\r(2)R.取AB的中點(diǎn)為E，連接OE，SE，則OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2),2)R，SE＝eq\r(SO2＋OE2)＝eq\f(\r(6),2)R.因?yàn)樵撍睦忮F的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于8＋8eq\r(3)，所以(eq\r(2)R)2＋4×eq\f(1,2)×eq\r(2)R×eq\f(\r(6),2)R＝8＋8eq\r(3)，解得R＝2，所以球O的體積等于eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).故選A.【答案】(1)D(2)Aeq\a\vs4\al()解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的策略(1)“接”的處理①構(gòu)造正(長(zhǎng))方體，轉(zhuǎn)化為正(長(zhǎng))方體的外接球問(wèn)題．②空間問(wèn)題平面化，把平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出適當(dāng)截面(過(guò)球心，接點(diǎn)等)．③利用球心與截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面定球心所在直線(xiàn)．(2)“切”的處理①體積分割法求內(nèi)切球半徑．②作出合適的截面(過(guò)球心，切點(diǎn)等)，在平面上求解．③多球相切問(wèn)題，連接各球球心，轉(zhuǎn)化為處理多面體問(wèn)題．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．已知圓錐的高為3，底面半徑為eq\r(3)，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于()A.eq\f(8,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．32π解析：選B.設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋(eq\r(3))2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π，故選B.2．(2024·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)三棱錐S-ABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，已知SA＝a，SB＝b，SC＝2，且2a＋b＝eq\f(5,2)，則此三棱錐的外接球的表面積的最小值為()A.eq\f(21π,4) B.eq\f(17π,4)C．4π D．6π解析：選A.由題意，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，因?yàn)镾A，SB，SC兩兩垂直，所以以SA，SB，SC為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線(xiàn)即三棱錐的外接球的直徑，因?yàn)镾A＝a，SB＝b，SC＝2，所以4R2＝a2＋b2＋4＝a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2a))eq\s\up12(2)＋4＝5(a－1)2＋eq\f(21,4)，所以當(dāng)a＝1時(shí)，(4R2)min＝eq\f(21,4)，所以三棱錐的外接球的表面積的最小值為eq\f(21π,4)，故選A.3．(2024·福建五校其次次聯(lián)考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的直徑為_(kāi)_____．解析：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為D1，連接DD1，取其中點(diǎn)O′，連接AD，A1D1，則DA＝DB＝DC，D1A1＝D1B1＝D1C1，且DD1垂直于直三棱柱的上、下底面，所以點(diǎn)O′到直三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)O′為直三棱柱的外接球的球心O，連接OB，則球O的直徑為2BO＝2eq\r(BD2＋DO2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×12))\s\up12(2))＝13.答案：13一、選擇題1．一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的俯視圖不行能是()解析：選D.假如該幾何體是一個(gè)底面是等腰直角三角形，且側(cè)棱與底面垂直的直三棱柱，故A可能；假如該幾何體是一個(gè)圓柱，則其俯視圖必為圓，故B可能；假如該幾何體是一個(gè)正方體，則其俯視圖必為正方形，故C可能；假如該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體，則其正視圖和側(cè)視圖中必有一個(gè)為長(zhǎng)方形，故D錯(cuò)誤；依據(jù)解除法可知，選項(xiàng)D符合題意．2．某幾何體的三視圖中的三角形都是直角三角形．如圖所示，則該幾何體中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D.依題意，該幾何體是一個(gè)底面為直角三角形，一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，其四個(gè)面均為直角三角形．3．(2024·武漢市調(diào)研測(cè)試)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點(diǎn)，則三棱錐A-BC1M的體積VA-BC1M＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)解析：選C.VA-BC1M＝VC1-ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6).故選C.4．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(3)，則球O的表面積為()A．4π B．8πC．16π D．32π解析：選C.如圖，因?yàn)榍蛐呐c截面圓圓心的連線(xiàn)垂直于截面，所以R2＝(eq\r(3))2＋12＝4，所以球O的表面積S＝4πR2＝16π，故選C.5．(2024·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測(cè)畫(huà)法所畫(huà)出的水平放置的直觀(guān)圖是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形(如圖2所示)，則此幾何體的體積為()A．1 B.eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：選B.依據(jù)直觀(guān)圖可得該幾何體的俯視圖是一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是2和eq\r(2)的直角三角形(如圖所示)，依據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，且三棱錐的高為3，所以體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(2)))×3＝eq\r(2).故選B.6．某幾何體三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為()A．640＋48π B．176πC．640＋16π D．704解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是上面是底面半徑為4，高是3的圓錐，下面是底面邊長(zhǎng)為8的正方形，高是10的長(zhǎng)方體，所以該幾何體的體積V＝8×8×10＋eq\f(1,3)×π×42×3＝640＋16π.7．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為()A．2eq\r(7)＋4eq\r(3)＋2 B．2eq\r(7)＋10C．10＋eq\r(7) D．12＋4eq\r(3)解析：選B.由三視圖可知，該三棱錐的直觀(guān)圖P-ABC如圖所示，其中三角形PAB與三角形PCB為全等的直角三角形，其面積為eq\f(1,2)×2×4＝4，△ABC為等腰直角三角形，面積為eq\f(1,2)×2×2＝2，△PAC為等腰三角形，面積為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(14)＝2eq\r(7)，所以表面積是4＋4＋2＋2eq\r(7)＝10＋2eq\r(7).8．在三棱錐S-ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝eq\f(1,2)SC，且三棱錐S-ABC的體積為eq\f(9\r(3),2)，則該三棱錐的外接球半徑是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C.取SC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，則OA＝OB＝OC＝OS，即O為三棱錐的外接球球心，設(shè)半徑為r，則eq\f(1,3)×2r×eq\f(\r(3),4)r2＝eq\f(9\r(3),2)，所以r＝3.9．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，則點(diǎn)B到平面D1AC的距離等于()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(6),3)C．1 D.eq\r(2)解析：選B.如圖，連接BD1，易知D1D就是三棱錐D1-ABC的高，AD1＝CD1＝eq\r(5)，取AC的中點(diǎn)O，連接D1O，則D1O⊥AC，所以D1O＝eq\r(ADeq\o\al(2,1)－AO2)＝eq\r(3).設(shè)點(diǎn)B到平面D1AC的距離為h，則由VB-D1AC＝VD1-ABC，即eq\f(1,3)S△D1AC·h＝eq\f(1,3)S△ABC·D1D，又S△D1AC＝eq\f(1,2)D1O·AC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2eq\r(2)＝eq\r(6)，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，所以h＝eq\f(\r(6),3).故選B.10．(2024·湖南省五市十校聯(lián)考)某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側(cè)面中，面積的最大值為()A．8 B．4eq\r(5)C．8eq\r(2) D．12eq\r(2)解析：選D.由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形，高為4的四棱錐，如圖，其中側(cè)棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝2eq\r(5)，PD＝6，PB＝4eq\r(2)，連接AC，則AC＝4eq\r(2)，所以PC＝4eq\r(3)，明顯在各側(cè)面面積中△PCD的面積最大，又PD＝CD＝6，所以PC邊上的高為eq\r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2)))\s\up12(2))＝2eq\r(6)，所以S△PCD＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2eq\r(6)＝12eq\r(2)，故該四棱錐的各側(cè)面中，面積的最大值為12eq\r(2).故選D.11．(2024·洛陽(yáng)尖子生其次次聯(lián)考)已知正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)E是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則截面圓面積的最小值是()A.eq\f(7π,4) B．2πC.eq\f(9π,4) D．3π解析：選C.設(shè)正三角形ABC的中心為O1，連接OO1，OA，O1A，由題意得O1O⊥平面ABC，O1O＝1，OA＝2，所以在Rt△O1OA中，O1A＝eq\r(3)，所以AB＝3.因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以AE＝eq\f(3,2).連接OE，則OE⊥AB.過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面圓的面積最小，此時(shí)截面圓的半徑r＝eq\f(3,2)，可得截面圓面積的最小值為πr2＝eq\f(9π,4)，故選C.12．(2024·河北省九校其次次聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上，若球O的表面積為4π，則該三棱柱的體積的最大值為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)解析：選A.如圖，取△ABC的中心O′，連接OO′，O′A，OA，則OO′⊥平面ABC，設(shè)OO′＝x，球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的表面積為4π，所以4πR2＝4π，所以R＝1，0<x<1，所以AO′＝eq\r(R2－OO′2)＝eq\r(1－x2)，AB＝eq\r(3)AO′＝eq\r(3)·eq\r(1－x2)，所以三棱柱的體積V＝S△ABC·2OO′＝eq\f(1,2)AB2·sineq\f(π,3)·2x＝eq\f(3\r(3),2)(x－x3)，V′＝eq\f(3\r(3),2)(1－3x2)，所以V在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))上單調(diào)遞減，所以Vmax＝eq\f(3\r(3),2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(3)))＝1，選A.二、填空題13．(一題多解)(2024·高考天津卷)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為_(kāi)_______．解析：法一：連接A1C1交B1D1于點(diǎn)E，則A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，則A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1-BB1D1D的高，且A1E＝eq\f(\r(2),2)，矩形BB1D1D的長(zhǎng)和寬分別為eq\r(2)，1，故VA1-BB1D1D＝eq\f(1,3)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).法二：連接BD1，則四棱錐A1-BB1D1D分成兩個(gè)三棱錐B-A1DD1與B-A1B1D1，VA1-BB1D1D＝VB-A1DD1＋VB-A1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______．解析：依題意，題中的幾何體是一個(gè)直三棱柱(其底面左、右相對(duì))，其中底面是直角邊長(zhǎng)分別為1，2的直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，因此其體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×3＝3.答案：315．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是________．解析：由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)底面半徑為1、高為1的圓錐后所剩余的部分，所以該幾何體的表面積S＝6×22－π×12＋π×1×eq\r(2)＝24＋(eq\r(2)－1)π.答案：24＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))π16．將1個(gè)半徑為1的小鐵