2024秋七年級數(shù)學(xué)上冊 第五章 相交線與平行線5.1 相交線 2垂線-垂線的定義與性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄（新版）華東師大版

2024秋七年級數(shù)學(xué)上冊第五章相交線與平行線5.1相交線2垂線——垂線的定義與性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄（新版）華東師大版科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024秋七年級數(shù)學(xué)上冊第五章相交線與平行線5.1相交線2垂線——垂線的定義與性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄（新版）華東師大版設(shè)計意圖本節(jié)課旨在幫助學(xué)生掌握垂線的定義和性質(zhì)，通過實(shí)例分析和課堂互動，使學(xué)生能夠理解垂線的概念，并能夠運(yùn)用垂線的性質(zhì)解決實(shí)際問題。教學(xué)設(shè)計緊密圍繞華東師大版七年級數(shù)學(xué)上冊第五章“相交線與平行線”5.1“相交線2垂線——垂線的定義與性質(zhì)”展開，注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)垂線的定義和性質(zhì)，學(xué)生能夠發(fā)展抽象思維，理解幾何圖形中的關(guān)系；通過邏輯推理，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)和證明垂線的性質(zhì)；通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題；通過數(shù)學(xué)運(yùn)算，學(xué)生能夠熟練進(jìn)行相關(guān)計算，提高解決幾何問題的能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學(xué)生在此前已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、角的初步知識，對平面幾何有一定的認(rèn)識。他們已經(jīng)能夠識別和繪制直線，理解角度的概念，并能夠進(jìn)行簡單的角度計算。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

七年級學(xué)生對幾何學(xué)有著濃厚的好奇心，尤其對圖形的形狀和關(guān)系感興趣。他們的數(shù)學(xué)能力處于基礎(chǔ)階段，具備一定的邏輯推理能力。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生偏好通過視覺圖形來理解概念，而另一部分學(xué)生則更傾向于通過文字描述和符號推導(dǎo)來學(xué)習(xí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學(xué)生在理解垂線的定義和性質(zhì)時可能遇到的困難包括：對垂直概念的理解不夠深入，難以區(qū)分垂直與平行；在證明垂線性質(zhì)時，可能難以找到合適的推理步驟；在解決實(shí)際問題時，可能難以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何模型。此外，學(xué)生可能對證明過程感到困惑，尤其是在邏輯推理方面需要進(jìn)一步提高。教學(xué)資源-教材：華東師大版七年級數(shù)學(xué)上冊第五章“相交線與平行線”5.1“相交線2垂線——垂線的定義與性質(zhì)”

-教學(xué)課件：包含垂線定義、性質(zhì)及例題演示

-實(shí)物教具：直尺、三角板、量角器

-多媒體設(shè)備：計算機(jī)、投影儀

-信息化資源：在線幾何圖形繪制軟件、互動白板

-教學(xué)手段：課堂講解、小組討論、實(shí)際操作練習(xí)教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

（教師）同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了直線的性質(zhì)，知道直線可以相交，那么當(dāng)兩條直線相交時，會形成什么特殊的角呢？今天我們就來探究相交線中的垂線及其性質(zhì)。

（學(xué)生）兩條直線相交會形成四個角。

（教師）很好，那么這四個角中，哪兩個角是相等的呢？請大家結(jié)合手中的三角板和直尺，動手量一量，互相討論一下。

（學(xué)生）我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線相交時，相對的兩個角是相等的。

（教師）很好，這就是我們之前學(xué)習(xí)的對頂角。今天我們要學(xué)習(xí)的是當(dāng)兩條直線相交時，形成的一種特殊的角——垂線。

二、探究新知

1.垂線的定義

（教師）同學(xué)們，什么是垂線呢？請大家結(jié)合課本上的定義，用自己的話描述一下。

（學(xué)生）垂線是一條直線垂直于另一條直線。

（教師）非常好，那么垂線有什么特點(diǎn)呢？請大家觀察課本上的圖，找出垂線的特點(diǎn)。

（學(xué)生）垂線與被垂直的直線形成的角是直角。

（教師）沒錯，垂線與被垂直的直線形成的角是直角。這就是垂線的第一個性質(zhì)。

2.垂線的性質(zhì)

（教師）接下來，我們來看垂線的第二個性質(zhì)。請大家觀察課本上的圖，找出垂線的第二個性質(zhì)。

（學(xué)生）垂線與被垂直的直線相交，且相交點(diǎn)在垂線上。

（教師）很好，這就是垂線的第二個性質(zhì)。也就是說，垂線必須與被垂直的直線相交，且相交點(diǎn)在垂線上。

3.垂線的判定

（教師）那么，如何判斷兩條直線是否垂直呢？請大家結(jié)合課本上的例子，討論一下。

（學(xué)生）如果兩條直線相交，且相交點(diǎn)形成的角是直角，那么這兩條直線就是垂直的。

（教師）非常好，這就是垂線的判定方法。如果兩條直線相交，相交點(diǎn)形成的角是直角，那么這兩條直線就是垂直的。

三、課堂練習(xí)

1.請同學(xué)們完成課本上的例題，鞏固今天所學(xué)的知識。

2.請同學(xué)們在黑板上畫出兩條相交的直線，并找出它們的垂線。

3.請同學(xué)們用三角板和直尺，測量兩條相交的直線，找出它們的垂線。

四、課堂小結(jié)

（教師）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了垂線的定義、性質(zhì)和判定方法。垂線是幾何學(xué)中非常重要的一部分，它在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。希望大家能夠熟練掌握垂線的知識，并在今后的學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用。

（學(xué)生）我明白了，老師。垂線的定義和性質(zhì)都很重要，我會好好學(xué)習(xí)的。

五、布置作業(yè)

1.完成課本上的練習(xí)題。

2.觀察生活中的垂線現(xiàn)象，并嘗試用數(shù)學(xué)知識解釋。

六、課堂反思教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-垂線在建筑中的應(yīng)用：介紹垂線在建筑設(shè)計、施工中的重要性，如建筑物的垂直度測量、高樓大廈的垂直定位等。

-垂線在工程測量中的角色：探討垂線在土地測繪、地形分析中的使用，以及如何利用垂線進(jìn)行精確的測量工作。

-垂線在物理實(shí)驗中的應(yīng)用：介紹垂線在物理實(shí)驗中的使用，如測量重力加速度、驗證物體自由落體運(yùn)動等。

-垂線在藝術(shù)創(chuàng)作中的體現(xiàn)：分析垂線在繪畫、雕塑等藝術(shù)創(chuàng)作中的美學(xué)價值，如何通過垂線構(gòu)圖增強(qiáng)視覺效果。

2.拓展建議：

-學(xué)生可以查閱相關(guān)書籍或資料，了解垂線在不同領(lǐng)域的應(yīng)用案例。

-鼓勵學(xué)生參與實(shí)踐活動，如實(shí)地觀察建筑物的垂直度，或者在家中嘗試使用直尺和三角板進(jìn)行垂線測量。

-引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計簡單的物理實(shí)驗，利用垂線來驗證物理定律，如重力加速度的測量。

-組織學(xué)生進(jìn)行藝術(shù)創(chuàng)作活動，利用垂線原理進(jìn)行構(gòu)圖練習(xí)，提高審美能力和創(chuàng)造力。

-建議學(xué)生通過小組合作，探討垂線在不同學(xué)科中的交叉應(yīng)用，如數(shù)學(xué)與物理、藝術(shù)與建筑等。

-鼓勵學(xué)生撰寫小論文或制作報告，總結(jié)垂線在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用及其重要性。

-提供在線幾何工具，讓學(xué)生在虛擬環(huán)境中進(jìn)行垂線練習(xí)，加深對垂線性質(zhì)的理解。

-安排學(xué)生參觀建筑工地或城市規(guī)劃展覽，實(shí)地感受垂線在實(shí)際工程中的應(yīng)用。課堂1.課堂評價：

（1）提問環(huán)節(jié)：

在課堂教學(xué)中，我會通過提問的方式檢驗學(xué)生對垂線定義、性質(zhì)的理解程度。例如，我會問：“什么是垂線？請舉例說明垂線在實(shí)際生活中的應(yīng)用。”通過學(xué)生的回答，我可以了解到他們對知識的掌握情況。同時，我會對學(xué)生的回答進(jìn)行及時的點(diǎn)評和反饋，鼓勵他們積極參與課堂討論。

（2）觀察環(huán)節(jié)：

在課堂上，我會關(guān)注學(xué)生的參與度、互動性以及合作能力。例如，我會觀察學(xué)生在小組討論中的表現(xiàn)，看他們是否能夠準(zhǔn)確地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，以及是否能夠傾聽他人的意見。此外，我還會關(guān)注學(xué)生在動手操作環(huán)節(jié)的表現(xiàn)，看他們是否能夠熟練地使用直尺、三角板等工具進(jìn)行垂線測量。

（3）測試環(huán)節(jié)：

在課堂結(jié)束后，我會進(jìn)行小測驗，以檢測學(xué)生對垂線定義、性質(zhì)的記憶和理解。測試形式可以是選擇題、填空題或簡答題。通過測試結(jié)果，我可以了解到學(xué)生對知識的掌握程度，及時發(fā)現(xiàn)他們在學(xué)習(xí)過程中存在的問題，并在后續(xù)的教學(xué)中進(jìn)行針對性輔導(dǎo)。

2.作業(yè)評價：

（1）批改作業(yè)：

我會對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，包括對題目的解答、解答過程的正確性以及解答思路的合理性。在批改過程中，我會重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的易錯點(diǎn)，如垂線的定義、性質(zhì)的運(yùn)用等。

（2）點(diǎn)評與反饋：

對于學(xué)生的作業(yè)，我會給出詳細(xì)的點(diǎn)評和反饋，指出他們在解題過程中的優(yōu)點(diǎn)和不足。同時，我會鼓勵學(xué)生在遇到困難時，勇于提問，積極尋求幫助。

（3）持續(xù)跟蹤：

我會定期對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行跟蹤，了解他們的學(xué)習(xí)進(jìn)步情況。對于進(jìn)步較大的學(xué)生，我會給予表揚(yáng)和鼓勵；對于進(jìn)步緩慢的學(xué)生，我會給予更多的關(guān)注和指導(dǎo)。課后作業(yè)1.實(shí)際應(yīng)用題：

題目：一棟大樓的高度為20米，從大樓底部向東測量，距離為30米處有一棵樹，從樹頂向西測量，距離大樓底部為15米處有一窗戶，求窗戶距離樹頂?shù)母叨取?/p>

解答步驟：

-畫圖表示大樓、樹和窗戶的位置關(guān)系。

-根據(jù)題意，大樓、樹和窗戶形成一個直角三角形，其中大樓的高度為直角三角形的一條直角邊，距離為斜邊。

-利用勾股定理計算大樓與樹之間的水平距離，即斜邊長度：\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)，其中\(zhòng)(a=30\)米，\(b=15\)米。

-計算得到斜邊長度\(c=\sqrt{30^2+15^2}=\sqrt{900+225}=\sqrt{1125}\approx33.54\)米。

-由于大樓高度為20米，樹的高度加上窗戶到樹頂?shù)木嚯x等于斜邊長度，即\(h+20=33.54\)米。

-解得樹的高度\(h=33.54-20=13.54\)米。

-因此，窗戶距離樹頂?shù)母叨葹?3.54米。

2.垂線性質(zhì)應(yīng)用題：

題目：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1)。求過點(diǎn)A和B的直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)。

解答步驟：

-由于直線AB不垂直于x軸，需要先求出直線的斜率。

-斜率\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{1-3}{4-2}=-1\)。

-直線方程為\(y-y_1=k(x-x_1)\)，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)得到\(y-3=-1(x-2)\)。

-化簡得到直線方程\(y=-x+5\)。

-當(dāng)y=0時，求出x軸的交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)：\(0=-x+5\)，解得\(x=5\)。

-因此，交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,0)。

3.垂線判定題：

題目：在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+1與直線y=-1/2x+b相交于點(diǎn)P。若點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為5，求b的值。

解答步驟：

-將兩條直線的方程聯(lián)立，得到\(2x+1=-1/2x+b\)。

-解得\(5/2x=b-1\)，即\(x=\frac{2}{5}(b-1)\)。

-將x代入任意一條直線方程，得到\(y=2(\frac{2}{5}(b-1))+1\)。

-點(diǎn)P的坐標(biāo)為\((\frac{2}{5}(b-1),2(\frac{2}{5}(b-1))+1)\)。

-根據(jù)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式，得到\(\sqrt{(\frac{2}{5}(b-1))^2+(2(\frac{2}{5}(b-1))+1)^2}=5\)。

-解這個方程得到b的值。

4.垂線性質(zhì)證明題：

題目：已知三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，AD垂直于BC。證明：BD=CD。

解答步驟：

-畫出三角形ABC，并標(biāo)記出點(diǎn)D和垂直于BC的AD。

-由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。

-在等腰三角形中，底邊上的高也是底邊的中線，因此BD=CD。

5.實(shí)際測量題：

題目：在操場上，有一棵樹高10米，從操場的一角A處，沿著操場的邊緣走到樹底部的B點(diǎn)，然后垂直向上走到樹頂C點(diǎn)。如果A到B的距離是20米，求A到C的距離。

解答步驟：

-畫出樹、操場和點(diǎn)A、B、C的位置關(guān)系圖。

-根據(jù)題意，三角形ABC是一個直角三角形，其中AB是斜邊，AC是直角邊。

-利用勾股定理計算AC的長度：\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\)，其中AB是樹的高度，BC是A到B的距離。

-計算得到\(AC=\sqrt{10^2+20^2}=\sqrt{100+400}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}\)米。

-因此，A到C的距離是\(10\sqrt{5}\)米。板書設(shè)計①垂線的定義

-垂線的概念：一條直線垂直于另一條直線。

-垂線的形成：兩條直線相交形成的四個角中，其中一個角是直角。

②垂線的性質(zhì)

-性質(zhì)一：垂線與被垂直的直線相交，且相交點(diǎn)在垂線上。

-性質(zhì)二：垂線與被垂直的直線形成的角是直角。

③垂線的判定

-判定方法：如果兩條直線相交，相交點(diǎn)形成的角是直角，那么這兩條直線垂直。

-實(shí)際應(yīng)用：通過觀察圖形或測量角度來判定兩條直線是否垂直。

④垂線與幾何圖形的關(guān)系

-直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的斜邊上的高是斜邊的中線。

-等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形底邊上的高是底邊的中線。

⑤垂線在實(shí)際生活中的應(yīng)用

-建筑測量：利用垂線進(jìn)行建筑物的垂直度測量。

-工程施工：在工程中利用垂線進(jìn)行定位和測量。

-物理實(shí)驗：在物理實(shí)驗中利用垂線驗證物理定律。教學(xué)反思與總結(jié)今天上了關(guān)于垂線的定義與性質(zhì)這一課，我覺得整體來說效果還不錯，但也有些地方可以改進(jìn)。

首先，我覺得我在教學(xué)方法上做了一些嘗試。比如，我讓學(xué)生自己動手畫圖，通過觀察圖形來理解垂線的概念。我發(fā)現(xiàn)這種方法挺有效的，學(xué)生們在畫圖的過程中，對垂線的定義和性質(zhì)有了更直觀的認(rèn)識。但是，我也注意到有些學(xué)生對于圖形的理解還是有些困難，他們可能需要更多的指導(dǎo)。

在教學(xué)策略方面，我嘗試了一些新的教學(xué)方法，比如通過多媒體展示垂線在實(shí)際生活中的應(yīng)用，讓學(xué)生們更加直觀地感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。這個方法收到了不錯的效果，學(xué)生們對垂線的興趣明顯提高了。但同時，我也發(fā)現(xiàn)，多媒體的使用可能會分散學(xué)生的注意力，所以在今后的教學(xué)中，我需要更好地控制多媒體的使用時間。

在課堂管理上，我注意到有些學(xué)生上課時容易走神，這可能會影響他們的學(xué)習(xí)效果。因此，我需要在今后的教學(xué)中加強(qiáng)課堂紀(jì)律，讓學(xué)生們保持專注。

至于教學(xué)效果，我覺得學(xué)生們對垂線的定義和性質(zhì)有了比較清晰的理解，能夠運(yùn)用這些知識解決一些簡單的實(shí)際問題。在課堂練習(xí)中，大部分學(xué)生能夠正確地畫出垂線，并能夠根據(jù)題目要求進(jìn)行計算。這讓我感到欣慰。

當(dāng)然，也有一些不足之處。比如，有些學(xué)生在證明垂線性質(zhì)時，邏輯推理能力還不夠強(qiáng)，可能會出現(xiàn)證明過程不