2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第82講、圓錐曲線題型拓展二（學(xué)生版）

第82講圓錐曲線題型拓展（二）

知識(shí)梳理

一、仿射變換問題

仿射變換有如下性質(zhì)：

1、同素性：在經(jīng)過變換之后，點(diǎn)仍然是點(diǎn)，線仍然是線；

2、結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點(diǎn)仍然在直線上；

3、其它不變關(guān)系．

我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì)．

xx

x2y2

橢圓，經(jīng)過仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A222，

221ab0axya

abyy

b

并且變換過程有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

（）點(diǎn)變?yōu)閍；

1Px0,y0Px0,y0

b

a

（2）直線斜率k變?yōu)閗k，對(duì)應(yīng)直線的斜率比不變；

b

a

（3）圖形面積S變?yōu)镾S，對(duì)應(yīng)圖形面積比不變；

b

（4）點(diǎn)、線、面位置不變（平?直線還是平?直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依

然是中點(diǎn)，相切依然是相切等）；

AB1k2

（5）弦長關(guān)系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點(diǎn)共線的比

AB1k2

不變

總結(jié)可得下表：

變換前變換后

x2y2

方程1ab0x2y2a2

a2b2

橫坐標(biāo)xx

a

縱坐標(biāo)yyy

b

a

yy

斜率kyba

xkk

xxb

11a

面積SxySxyS

22b

a2

1k2

a22

22b

l1kx12kxl

弦長l1k2xb1k2

不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點(diǎn)分線段的比

二、非對(duì)稱韋達(dá)問題

在一元二次方程2中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系

axbxc00x1,x2

bc

數(shù)關(guān)系：xx,xx，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理

12a12a

11

22之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的

x1x2,x1x2,x1,x2

x1x2

x3xx2xx

代數(shù)式的應(yīng)算，比如求11212或之類的結(jié)構(gòu)，就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)

,x1x2

x22x1x2x1x2

用韋達(dá)定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去x或

y，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種形如

x3xx2xx

1或1212之類中的系數(shù)不對(duì)等的情況，這些式子是

x12x2,x1y2x2y1,x1,x2

x22x1x2x1x2

非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對(duì)稱韋達(dá)”．

三、光學(xué)性質(zhì)問題

1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如

圖1）．

【引理1】若點(diǎn)A,B在直線L的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線L上到A,B兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A與點(diǎn)B連線AB和直線L的交點(diǎn)．

【引理2】若點(diǎn)A,B在直線L的兩側(cè)，且點(diǎn)A,B到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)P是直線L

上到點(diǎn)A,B距離之差最大的點(diǎn)，即PAPB最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱

點(diǎn)A與點(diǎn)B連線AB的延長線和直線L的交點(diǎn)．

x2y2

【引理3】設(shè)橢圓方程為1ab0，F(xiàn),F分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)D在

a2b212

橢圓外，則．

DF1DF22a

2、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦

點(diǎn)（如圖）．

【引理4】若點(diǎn)A,B在直線L的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線L上到A,B兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A與點(diǎn)B連線AB和直線L的交點(diǎn)．

【引理5】若點(diǎn)A,B在直線L的兩側(cè)，且點(diǎn)A,B到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)P是直線L

上到點(diǎn)A,B距離之差最大的點(diǎn)，即PAPB最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱

點(diǎn)A與點(diǎn)B連線AB的延長線和直線L的交點(diǎn)．

x2y2

【引理6】設(shè)雙曲線方程為1a0,b0，F(xiàn),F分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)

a2b212

在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．

DDF1DF22a

3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)

從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線與拋物線的軸平行

（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過焦點(diǎn)．

2p

【結(jié)論1】已知：如圖，拋物線C:x2pyp0，F(xiàn)0,為其焦點(diǎn)，j是過拋物

2

線上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線平行于軸．求

Dx0,y0A,BjDDCy

證：FDACDB．（入射角等于反射角）

【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線C:y22pxp0，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，入射光線從F

點(diǎn)發(fā)出射到拋物線上的點(diǎn)M，求證：反射光線平行于x軸．

四、三點(diǎn)共線問題

證明三點(diǎn)共線問題常用方法是斜率法和向量法

必考題型全歸納

題型一：仿射變換問題

例1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而又

及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，其體解題方法為將

x2y2xyx2y2

C:1ab0由仿射變換得：x，y，則橢圓1變?yōu)閤2y21，

a2b2aba2b2

a

直線的斜率與原斜率的關(guān)系為kk，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)算韋達(dá)定理算

b

x2y25

出圓與直線的關(guān)系．最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可．已知橢圓C:1ab0的離心率為，

a2b25

85

過右焦點(diǎn)F2且垂直于x軸的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)且AB，過橢圓外一點(diǎn)P作橢

5

圓C的兩條切線l1、l2且l1l2，切點(diǎn)分別為M、N．

(1)求證：點(diǎn)P的軌跡方程為x2y29；

(2)若原點(diǎn)O到l1、l2的距離分別為d1、d2，延長表示距離d1、d2的兩條直線，與橢圓C交

于Y、W兩點(diǎn)，試求：原點(diǎn)O在YW邊上的射影Z所形成的軌跡與P所形成的軌跡的面積之

差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù)．

例2．（2024·河北邯鄲·高二校考期末）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一類

特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將

x2y2xyx2y2

C:1(ab0)由仿射變換得：x，y，則橢圓1變?yōu)閤2y21，

a2b2aba2b2

a

直線的斜率與原斜率的關(guān)系為kk，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)算韋達(dá)定理算

b

x2y25

出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可．已知橢圓C:1(ab0)的離心率為，

a2b25

85

過右焦點(diǎn)F2且垂直于x軸的直線與C相交于A,B兩點(diǎn)且AB，過橢圓外一點(diǎn)P作橢圓

5

C的兩條切線l1，l2且l1l2，切點(diǎn)分別為M,N．

(1)求證：點(diǎn)P的軌跡方程為x2y29；

(2)若原點(diǎn)O到l1，l2的距離分別為d1，d2，延長表示距離d1，d2的兩條直線，與橢圓C交

于Y,W兩點(diǎn)，過O作OZYW交YW于Z，試求：點(diǎn)Z所形成的軌跡與P所形成的軌跡的

面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù)．

x2y2

例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）MN是橢圓1ab0上一條不過原點(diǎn)且不垂直

a2b2

于坐標(biāo)軸的弦，P是MN的中點(diǎn)，則kMNkOP_________，A，B是該橢圓的左右頂點(diǎn)，Q

是橢圓上不與A，B重合的點(diǎn)，則kAQkBQ_________．CD是該橢圓過原點(diǎn)O的一條弦，

直線CQ，DQ斜率均存在，則kCQkDQ_________．

2

1x

變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，作斜率為的直線l與橢圓y21交于P,Q

24

2

兩點(diǎn)，且M2,在直線l的上方，則△MPQ內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為

2

__________________________．

x2y2

變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）Р是橢圓1上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

43

PO2OQ，過點(diǎn)Q的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，并且QAQB，則PAB面積為

______________．

x2y2

變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l與橢圓1交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)

42

kOMkON______，△MON面積最大，并且最大值為______.記M(x1,y1),N(x2,y2)，當(dāng)△MON

2222

面積最大時(shí)，x1x2_____﹐y1y2_______.Р是橢圓上一點(diǎn)，OPOMON，當(dāng)

△MON面積最大時(shí)，22______.

x2

變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:y21左頂點(diǎn)為A，P,Q為橢圓C上兩

2

1

動(dòng)點(diǎn)，直線PO交AQ于E，直線QO交AP于D，直線OP,OQ的斜率分別為k,k且kk，

12122

ADDF,AEEQ（,是非零實(shí)數(shù)），求22______________.

題型二：非對(duì)稱韋達(dá)問題

22

xy、

例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)是F1F2，左

a2b2

2

右頂點(diǎn)是A1、A2，離心率是，過F2的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn))，且

2

F1PQ的周長是42，

直線A1P與A2Q交于點(diǎn)M.

(1)求橢圓的方程；

(2)(ⅰ)求證直線A1P與A2Q交點(diǎn)M在一條定直線l上；

PF2

(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：是定值．

PN

例5．（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)A，B分別為橢圓

x2y2

E:1ab0的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，AF23AF1，P為橢

a2b2

圓上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PF1F2的周長為12．

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知點(diǎn)M3,0，直線PM與橢圓另外一個(gè)公共點(diǎn)為Q，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，求證：

當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，點(diǎn)N恒在一條定直線上．

x2y2

例6．（2024·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C：1ab0的左?右焦點(diǎn)分

a2

b2

1△

別為F，F(xiàn)2，離心率e，P為C上一動(dòng)點(diǎn)，PF1F2面積的最大值為3.

12

(1)求C的方程；

(2)若過F2且斜率不為0的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，A1，A2分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，

直線A1M，A2N分別與直線l1：x1交于T，Q兩點(diǎn)，證明：四邊形OTA2Q為菱形.

22

xy1

變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:1ab0的離心率為，短軸

a2b22

長為23．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)P4,0且斜率不為0的直線l與橢圓C

交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．

x2y2

變式6．（2024·吉林四平·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:1ab0的左、右頂

a2b2

3

點(diǎn)分別為M1、M2，短軸長為23，點(diǎn)C上的點(diǎn)P滿足直線PM1、PM2的斜率之積為．

4

(1)求C的方程；

(2)若過點(diǎn)1,0且不與y軸垂直的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，記直線M1A、M2B交于點(diǎn)Q．探

究：點(diǎn)Q是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由．

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

x2y2

C:=1(ab0)

的長軸長為4，且經(jīng)過點(diǎn)(b,3e)，其中e為橢圓C的離心率．

a2b2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B，直線l過C的右焦點(diǎn)F，且交C于M,N兩點(diǎn)，若直

線AM與BN交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在定直線上．

x2y2

變式8．（2024·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┮阎獧E圓C：1ab0的

a2b2

26

離心率為，H1,是C上一點(diǎn).

22

(1)求C的方程.

(2)設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)D1,0作斜率不為0的直線l，l與C交于P，

k1

Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為k1，BQ的斜率為k2.證明：①為

k2

定值；②點(diǎn)M在定直線上.

x2y2

變式9．（2024·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分

a2b2

△1

別是F1,F2，點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，若PF1F2面積的最大值為3，且離心率e．

2

(1)求C的方程；

(2)A，B為C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)F2且斜率不為0的直線交C于M，N兩點(diǎn)，證明：直

線AM與BN的交點(diǎn)在一條定直線上．

變式10．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C：

x2y222

的左右頂點(diǎn)分別為A，A，離心率為，點(diǎn)P1,在橢圓上

221ab0?12C.

ab22

(1)求橢圓C的方程.

(2)若過點(diǎn)B2,0且斜率不為0的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，已知直線A1M與A2N相

交于點(diǎn)G，試判斷點(diǎn)G是否在定直線上？若是，請(qǐng)求出定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理

由.

題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)

例7．（2024·湖北孝感·高二大悟縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)現(xiàn)橢圓C的

焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從左焦點(diǎn)F1射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到右焦點(diǎn)F2，

3

這束光線的總長度為4，且橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B．

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)P在橢圓上，求線段BP的長度BP的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)不過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記直線l，AM,AN的斜率分別為k,k1,k2，若

kk1k21，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反

x2y2

射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．已知橢圓C：10b2，F(xiàn)1,F2為

4b2

其左、右焦點(diǎn)．M是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N0,3，若MNMF1的最大值為6.動(dòng)直線l為此

橢圓C的切線，右焦點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Px1,y1，S3x14y124，則橢圓C的離

心率為；S的取值范圍為．

x2y2

例9．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知橢圓E:1ab0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、

a2b2

F2，過F2的直線與E交于點(diǎn)A、B，直線l為E在點(diǎn)A處的切線，點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為M.

BF15BF2

由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，F(xiàn)1、A、M三點(diǎn)共線.若ABa，，則.

MF17AF1

變式11．（2024·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓

22

xy△

1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2，P為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)，I為PF1F2

a2b2

的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為k1，k2，若3k12k2，則橢圓的離

心率為．

變式12．（2024·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了

橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點(diǎn).現(xiàn)有

x2y2

一橢圓C:1(ab0)，長軸長為4，從一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上

a2b2

7

一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且PF．

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知A為該橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為k且不經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，

，

記直線AM，AN的斜率分別為k1k2，且滿足kk1k22．

①證明：直線l過定點(diǎn)；

②若OM|2ON|25，求k的值．

x2y2

變式13．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：1ab0上、下頂點(diǎn)分別為

a2b2

3

A,B，且短軸長為23，T為橢圓上（除A,B外）任意一點(diǎn)，直線TA,TB的斜率之積為，

4

F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程．

(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到

百億光年外的電磁信號(hào)．在“天眼”的建設(shè)中，用到了大量的圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，請(qǐng)以上面

的橢圓C為代表，證明：由焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點(diǎn)M后反射，反射光線必

經(jīng)過另一焦點(diǎn)F2．（提示：光線射到曲線上某點(diǎn)并反射時(shí)，法線垂直于該點(diǎn)處的切線）

x2y2

變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓E:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為

a2b2

，

F1F2，過F2的直線與E交于點(diǎn)A，B.直線l為E在點(diǎn)A處的切線，點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為M.

BF15BF2

由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，F(xiàn)1，A，M三點(diǎn)共線.若|AB|a，，則（）

MF17AF1

1211

A．B．C．D．

2747

變式15．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)

的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中不會(huì)

x2y2

衰減，橢圓的方程為1，則光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，到首次回到該焦點(diǎn)所經(jīng)過的

95

路程可能為（）

A．2B．8C．10D．12

變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前

375年—公元前325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡?系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且

他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，

經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線l表示與橢圓C的切線垂直且過

相應(yīng)切點(diǎn)的直線，已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1c,0，F(xiàn)2c,0c0，若由F1

發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到F1經(jīng)過的路程為8c.對(duì)于橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)P，

橢圓在點(diǎn)P處的切線為l，F(xiàn)1在l上的射影為H，其中OH22.

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，過F2作斜率為kk0的直線m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方）.

點(diǎn)M，N是橢圓上異于A，B的兩點(diǎn)，MF2，NF2分別平分AMB和ANB，若MF2N外

81π

接圓的面積為，求直線m的方程.

8

變式17．（2024·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的

光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點(diǎn)．現(xiàn)有

x2y2

橢圓C:1(ab0)，長軸長為4，從橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)該橢

a2b2

7

圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且PF．

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，若斜率為k且不經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交

于M，N兩點(diǎn)，記直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，且滿足kk1k22，且

22

OMON5，求k的值.

變式18．（2024·四川成都·川大附中?？级＃E圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出

x2y2

發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)有一橢圓C:1(ab0)，長軸A1A2長為4，從

a2b2

5

一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且PF.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)Q為直線x4上一點(diǎn)，且Q不在x軸上，直線QA1，QA2與橢圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)分

S

△1

別為M，N，設(shè)QA1A2，QMN的面積分別為S1，S2，求的最大值.

S2

變式19．（2024·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）班級(jí)物理社團(tuán)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有

趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.

x2y2

根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓C的方程為1，其左?右焦點(diǎn)分別是F1，

1612

F2，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且PF15，過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交

F1Q

于點(diǎn)Q，則（）

F2Q

1555

A．5B．C．D．

2343

題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

例10．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）圓錐曲線都具有光學(xué)性質(zhì)，如

雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)

散的，其反向延長線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的

部分，AP是它的一條對(duì)稱軸，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)F發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)B，

反射光線是BC，若PFB120，DFBC=90°，則該雙曲線的離心率等于．

例11．（2024·全國·高二專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)F2發(fā)

出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)F1.我國首先研制成功的“雙

曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，

x2y2

如圖2，其方程為1,F,F分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲

a2b212

3

線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（F2?A?B在同一直線上），滿足ABAD,tanABC.

4

(1)當(dāng)AB4時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過F2且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于S,T兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段ST的中點(diǎn)，

MF2

試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.

F1F2

例12．（2024·山東煙臺(tái)·?？寄M預(yù)測(cè)）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)

中，例如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線

經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，從雙曲線C的右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射

光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)F1．已知入射光線F2P的斜率為2，且F2P和反射光線PE互

相垂直（其中P為入射點(diǎn)），則雙曲線C的漸近線方程為．

變式20．（2024·江蘇南京·高二校考期末）圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：

從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會(huì)

經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，AP是它的一條

對(duì)稱軸，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)F發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)B，反射光線是BC，若

PFB120，DFBC=90°，則該雙曲線的離心率等于（）

51

A．2B．5C．31D．

2

變式21．（多選題）（2024·高二單元測(cè)試）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利

用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：F1，F(xiàn)2是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從F2發(fā)出的光線m射在雙曲線右

支上一點(diǎn)P，經(jīng)點(diǎn)P反射后，反射光線的反向延長線過F1；當(dāng)P異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線

x2y2

在點(diǎn)P處的切線平分F1PF2.若雙曲線C的方程為1，則下列結(jié)論正確的是（）

916

44

A．射線n所在直線的斜率為k，則k,

33

B．當(dāng)mn時(shí)，PF1PF232

C．當(dāng)n過點(diǎn)Q7,5時(shí)，光線由F2到P再到Q所經(jīng)過的路程為13

D．若點(diǎn)T坐標(biāo)為1,0，直線PT與C相切，則PF212

變式22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線

經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線

x2y2

E:1(a0,b0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點(diǎn)

a2b2

5

反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且cosBAC,ABBD0，則E的離心率為（）

13

173710

A．B．C．D．5

352

變式23．（多選題）（2024·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙

曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)

焦點(diǎn)．由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知F1，F(xiàn)2分

2

2y

別為雙曲線C:x1的左，右焦點(diǎn)，過C右支上一點(diǎn)Ax0,y0x01作直線l交x軸于

4

1

點(diǎn)M,0，交y軸于點(diǎn)N，則（）

x0

A．C的漸近線方程為y2xB．F1AMF2AM

3

C．過點(diǎn)F作FHAM，垂足為H，則|OH|D．四邊形AFNF面積的最小值為

11212

45

變式24．（多選題）（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)

出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知O為

x2y2

坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)，F(xiàn)2分別是雙曲線C:1的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交雙曲線C的右

1916

△△

支于M，N兩點(diǎn)，且Mx1,y1在第一象限，MF1F2，NF1F2的內(nèi)心分別為I1，I2，其

x1xy1y

內(nèi)切圓半徑分別為r，r2，MF1N的內(nèi)心為I.雙曲線C在M處的切線方程為1，

1916

則下列說法正確的有（）

xxyy

A．點(diǎn)I、I均在直線x3上B．直線MI的方程為111

12916

S

16△F2I1I25

C．rrD．

12S3

5△II1I2

x2y2

變式25．（多選題）（2024·海南·海南中學(xué)?？既＃┮阎p曲線C：1b0的左?

4b2

右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線m交雙曲線右支

于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點(diǎn)F1，如圖所示.若雙曲線C的

一條漸近線的方程為3xy0，則下列結(jié)論正確的有（）

x2y2

A．雙曲線C的方程為1

412

B．若mn，則|PF1||PF2|12

C．若射線n所在直線的斜率為k，則k?(-3,3)

D．當(dāng)n過點(diǎn)M（8，5）時(shí)，光由F2PM所經(jīng)過的路程為10

變式26．（多選題）（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從F2發(fā)出的光線m射在雙曲線右支上一點(diǎn)P，經(jīng)點(diǎn)P

反射后，反射光線的反向延長線過F1；當(dāng)P異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分

x2y2

FPF.若雙曲線C的方程為1，則下列結(jié)論正確的是（）

12169

3

A．射線n所在直線的斜率為k，則k0,

4

B．當(dāng)mn時(shí)，PF1PF236

C．當(dāng)n過點(diǎn)Q7,5時(shí)，光線由F2到P再到Q所經(jīng)過的路程為5

D．若點(diǎn)T坐標(biāo)為1,0，直線PT與C相切，則PF216

變式27．（多選題）（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，

可以推導(dǎo)出雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，

反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平

=±3

分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知F1、F2分別是以yx為漸近線且過點(diǎn)A42,3的雙曲

4

線C的左、右焦點(diǎn)，在雙曲線C右支上一點(diǎn)Px0,y0x04,y00處的切線l交x軸于點(diǎn)Q，

則（）

7x2y2

A．雙曲線C的離心率為B．雙曲線C的方程為1

4169

16

C．過點(diǎn)F1作F1KPQ，垂足為K，則OK8D．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,0

x0

題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)

例13．（2024·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反

射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的反

射），過拋物線x29y上一點(diǎn)P作其切線交準(zhǔn)線l于點(diǎn)M，PNl，垂足為N，拋物線的

焦點(diǎn)為F，射線PF交l于點(diǎn)Q，若MPMQ．則MPN，MN．

例14．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物

線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物

線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)

A5,4射