高中數(shù)學(xué)必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練

必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(39)

1.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面為等腰梯形，AB//CD,CD=2AB=4,AD=近，

△P4B為等腰直角三角形，PA=PB,平面PAB,底面ABC。，E為PZ)的中點(diǎn).

(1)求證：4E〃平面PBC；

(2)求三棱錐P-EBC的體積.

2.如圖，正三棱柱的高為遙，其底面邊長(zhǎng)為2.已知點(diǎn)M,N分別是棱4的，AC的中

點(diǎn)，點(diǎn)。是棱eq上靠近C的三等分點(diǎn).求證：

(l)BiM〃平面&BN;

(2)/101平面&BN.

3.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABC。為直角梯形，AD//BC,AADC=90°,平面PAD1底

ffiABCD,Q為AO的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2,BC=1AD=1,CD=

⑴求證：平面PQB1平面PAD；

(2)若二面角M-BQ-C為30。，設(shè)PM=tMC,試確定f的值.

4.如圖，四棱錐P—4BCD中，PA1平面ABC。，四邊形ABC。為梯形,

AD//BC,BC=6,PA=AD=CD=2,E是BC上一點(diǎn)且BE=

PBLAE.

(I)求證：AB_L平面PAE；

(n)求點(diǎn)C到平面PDE的距離.

5.如圖，已知平面BCE1平面ABC,直線ZZ41平面ABC,月刀4=48=AC.

(1)求證：ZM〃平面EBC；

(2)若NB4C=g,DEI平面BCE,求二面角4—BD-E的余弦值.

6.如圖，在多面體ABC0E中，Z.ABD=60。，BD=2AB,AB1CD,

3AB“DE,且DE=248,點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，求證：AM〃平面BCD；

(2)若團(tuán)BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，N在線段C￡＞上，且DN=2CN,求BN與平面ACO所

成角的的余弦值.

7.如圖所示，三棱柱ABC-4當(dāng)口，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱力遇，底面ABC,點(diǎn)E,F

分別是棱CG，BB］上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC=2FB=2.

(1)當(dāng)點(diǎn)用在何位置時(shí)，BM〃平面AEF?

(2)若BM〃平面AEF,判斷與EF的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；并求3M與EF所成的角的余弦值.

8.如圖，四棱錐S-/BCD中，SDIjRffiABCD,AB//CD,AD1DC,AB=AD=1,DC=2,

SD=V2.E為棱SB的中點(diǎn).

(1)求證：5。1平面4。氏

(2)求點(diǎn)B到平面AEC的距離,

9.如圖，四邊形ABC。為矩形，且4。=2,4B=1,P4_L平面ABC￡>,PA=1,E為8c的中

(1)求證：PEIDE；

(2)求三棱錐C-PDE的體積；

(3)探究在PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG〃平面PCQ,并說(shuō)明理由.

10.如圖，AD,BC是等腰梯形CQEF的兩條高，4D=AE=CD=4,點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)，將

該等腰梯形沿著兩條高A。，8c折疊成如圖所示的四棱錐P-2BCD(E,尸重合，記為點(diǎn)P).

(I)求證：BMLDP；

(口)求點(diǎn)M到平面BDP的距離.

11.如圖，菱形ABCC的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)E,BC=8,4C=6,將△4CD沿AC折到△P4C的

位置使得PD=4.

(1)證明：PB1AC.

(2)求平面PAB與平面PCO所成銳二面角的余弦值.

12.如圖，三棱錐P-ABC中，PALAB,AB1.AC,AB=AC=a，PB=PC=巫,點(diǎn)M是PA

的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上且PN=2NB.

p

(1)證明：B?！ㄆ矫鍯MN;

(2)求直線OV與平面ABC所成角的正切值.

13.如圖所示，AB為圓錐S-4BC底面圓的直徑，點(diǎn)C為底面半圓弧AB上不與A,B重合的一點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)。為劣弧BC的中點(diǎn).

(1)求證：BCLSD.

(2)設(shè)AB=2,且圓錐的高為3,當(dāng)NB4C=60。時(shí)，求二面角4一SC-B的余弦值.

14.如圖所示，四棱錐P-48C0的底面ABCZ)是邊長(zhǎng)為1的菱形，4BCO=60°,E是。的中點(diǎn),

PA1底面ABCD,PA=V3.

p

(1)證明：平面PBEL平面PAB；

(2)求二面角A-BE-P的大小.

15.正四棱錐P-ABC。的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E為尸C中點(diǎn).

(1)求證：P4〃平面3DE；

(2)求異面直線PA與OE所成角的余弦值.

16.如圖所示，A8為圓錐S-ABC底面圓的直徑，點(diǎn)C為底面半圓弧A8上不與A,8重合的一點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)。為劣弧BC的中點(diǎn).

(1)求證：BC1SD-,

(2)設(shè)4B=2,且圓錐的高為口，當(dāng)NB4C=60。時(shí)，求點(diǎn)A到平面S8C的距離.

17.如圖，在直三棱柱4BC-41&G中，48=AC=2,441=4,ABJ.AC,

BE14Bi交4公于點(diǎn)E,。為CG的中點(diǎn).

(I)求證：BE_L平面力8傳；

(11)求二面角。一481-。的余弦值.

18.如圖，在四棱錐P-71BCD中，二面角P—AC—C是直二面角，AD為等腰直角三角形以。的斜

邊，AD=CD=2,AB=BC=1,BD=為線段PC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)PM=MC時(shí)，證明：P4〃平面MB￡＞；

(2)若平面MBD平面ABCD,求二面角B-MD-C的余弦值.

19.三棱柱4BC—中，側(cè)面BB￡C為菱形=60°,AB1AC,AB=AC,BC=ABt=2.

(1)求證：面ABCL面B&CiC；

(2)在線段GA上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-C8i-Ci為《若存在，求出器的值，若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.如圖，直三棱柱4BC中(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)，AC=BC=1,LACB=90。，力為=

y/2,。是&&的中點(diǎn).

(1)求證：C、D_L平面44/iB;

(2)當(dāng)點(diǎn)F在BBi上的什么位置時(shí)，AB11平面6。尸？證明你的結(jié)論.

【答案與解析】

1.答案：（1）證明：如圖，取PC的中點(diǎn)凡

PE=DE,PF=CF,

:?EF〃CD,CD=2EFf

-AB11CD,CD=2m

:?ABI/EF,REF=ABf

???四邊形ABFE為平行n邊形，

???AE11BF,

vBFPBC,AEC平面PBC,

:.AE〃平面PBC,

(2)解：方法一：由(1)知AE〃平面PBC,

???點(diǎn)E到平面P5C的距離與點(diǎn)4到平面P5C的距離相等,

???Vp-EBC=%-PBC=^A-PBC~^P-ABC-

如圖取43的中點(diǎn)0,連接PO,

??,PA=PB,

???OP1AB.

?.?平面P4B_L平面ABCD,平面PABn平面力BCD=AB,OPu平面PAB,

OPJL平面ABCD.

???△PAB為等腰直角三角形，P4=PB,AB=2,

OP=1.

???四邊形ABC。為等腰梯形，且4B〃CD,CD=2AB=4,AD=V2,

梯形ABC。的高為1,

S^ABC=_x2xl=l,

?*,^P-ABC=§X1X1=9

A^P-EBC=3?

方法二：如圖，取4B的中點(diǎn)。，連接0P,

,:PA=PB,

???OPLAB,

???平面_L平面ABCD,平面P48n平面/BCD=ABfOPu平面PAB,

??.OP_L平面ABCD.

???△4PB為等腰直角三角形，PA=PB且AB=2,

.?.OP=1.

???E為尸。的中點(diǎn)，

E到平面ABCD的距離d=|0P=|.

又???四邊形A8C￡＞為等腰梯形，且4B=2,CD=4,AD=①

B到。C的距離為1,

1

?*,S^BDC=5X4X1=2,

1111

=X

VE-DBC=3*S?BDC,^32X-=-,

**,VD-EBC~3?

又E為PD中點(diǎn)、,

所以/_￡BC=

解析：本題考查了棱錐的體積、線面平行的判定和面面垂直的性質(zhì)，是中檔題.

(1)取PC的中點(diǎn)尸，可得四邊形ABFE為平行四邊形，所以力E〃BF,由線面平行判定即可得證;

(2)方法一，易知點(diǎn)E到平面P3C的距離與點(diǎn)A到平面P3C的距離相等，所以Vp_E8c=，E-P8c=

^A-PBC=KP-48c?求KP-ABC即可:

方法二，E為PD中點(diǎn),所以“一E8C=%-EBC=計(jì)算即可.

2.答案：證明：設(shè)麗=方，AC=A=c，則I五I=I1I=2，131=巡，

(1)由M是力傳1的中點(diǎn)，得瓦瓦=：(瓦B+瓦不)=：前而

=-1AB+|(AC-AB)=-a+^b,

又=AB-AAr=反一c，A[N=AN—AAj^=—c,

***B]M=-A^B+AIN,

即瓦而，硒,而7共面.又???B1Ma平面4BN,B1M〃平面&BN.

(2)由點(diǎn)。是棱CCi上靠近C的三等分點(diǎn)，得而=而+而=熊+：麗'=3+1高

則而?砧=(K+1c)-(a-c)=b-a-h-c+|a-c-|c2=2x2xi-0+ix0-|x6=0,

AD-A7N=(b+-c]-(-b-c)=-b2-b-c+-b-c--c2=-x22-0+-XO--X6=0,

AAD1ArN,4。_L41氏又??,&Nn4/=&,

???AD_L平面48N.

解析：本題考查利用向量法證明線面平行與線面垂直，屬中檔題.

(1)依題意，得瓦而=一項(xiàng)+石N,即瓦M(jìn)，A^B，而7共面.

又B1MC平面&BN,：.B1M〃平面&BN.

(2)欲證4D平面41BN,需證而?福=0,前?而7=0即可.

3.答案：解：⑴證明：???4D〃2C,BC=\AD,。為A。的中點(diǎn)，

.??四邊形BCDQ為平行四邊形，

CD//BQ,

■■■/.ADC=90°,

/.AQB=90°,

即QB?

又?.?平面PAD_L平面ABCD,平面PADn平面力BCD=AD,

BQ_L平面PAD.

?：BQu平面PQB,

平面PQB，平面PAD；

(2)vPA^PD,。為A。的中點(diǎn)，

???PQ1AD,

???平面24。_L平面ABCD,且平面PADn平面4BCD=AD,

???PQJ"平面ABCD,

如圖，

以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)，

則平面BQC的法向量記=(0,0,1)；

且Q(0,0,0),P(0,0,V3)，B(0,V3,0)，C(-l,V3,0),

因?yàn)镻M=tMC,

所以M(二，叵,亙)，

vl+t1+t1+r

在平面MB。中，平面MB。法向量沅=(V3,0,t),

因?yàn)槎娼荕-BQ-。為30。，

所以cos30。-言&-/:z=V'

Mil川V3+0+P2

At=3.

解析：本題考查面面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)、利用空間向量求面面的夾角，屬于中檔題.

(1)推導(dǎo)出CD〃BQ,BQ1AD,從而B(niǎo)Q1平面PAD,由此能證明平面BQP_L平面以PA。；

(2)以。為原點(diǎn)，QA所在直線為x軸，。8所在直線為)，軸，QP所在直線為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，得出平面8QC的法向量行=(0,0,1),平面MB。法向量沆=(VI,0,t),利用cos3()o=器:

^—=^,即可求出r的值.

V3+0+t22

4.答案：(I)證明：:PA平面ABCD,AEu平面ABCD,

???PA1AE,

又「PBIAE,PBOPA=P,PB、P4u平面

AEL平面PAB,又ABu平面PAB,

AE1AB.

又?：PA_L平面ABCD,ABu平面ABCD,

：.PA1AB,

又P4n4E=A,PA,4Eu平面PAE,

AB_L平面PAE,

(口)解：由EC=9BC=2=4D,且A8C。為梯形，AD//EC,且4。=DC=2,

則AOCE為菱形，所以4E=2,

由(1)得，所以N4BE=30。，

則乙4EC=120°

從而有△COE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

在△「￡)￡1中：PE=PD=2歷,DE=2,

設(shè)C到平面尸。E的距離為人，

由%-ECD=%-PDE得3sAECD'PA=~SApDE-九，

-x-x2xV3x2=-x-x2xV8-1x九，

3232

解得/1=組，

7

即C到平面PDE的距離為旭.

7

解析：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查三棱錐體積的計(jì)算，屬于

中檔題.

(I)證明4E1平面尸48,可得4E_L4B.利用PA14B,即可證明4B1平面PAE；

(II)由力一ECD=%.PDE得點(diǎn)C到平面PDE的距離.

5.答案：(1)證明：過(guò)點(diǎn)、E作EHJ.BC于點(diǎn)H,

因?yàn)槠矫鍮CE平面ABC,又平面BCEC平面4BC=BC,EHu平面BCE,

所以EH1平面A8C,

又因?yàn)槠矫鍭BC,

所以AD〃EH,

因?yàn)镋Hu平面BCE,DAC平面BCE,

所以。4〃平面EBC；

(2)因?yàn)镈E1平面BEC,所以WEB=乙DEC=全

由4B=4C可知DB=OC,DE=DE,4DEB34DEC,則BE=CE,

所以點(diǎn)”是5c的中點(diǎn)，連接A”，則AHIBC,

所以平面EBC,則DE〃AH,AH1EH.

所以四邊形D4，E是矩形.

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，B,HA,HE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)ZM=2a,貝歸(0,0,2a),X(0,V3a,0),B(a,0,0),D(0,V3a,2a),

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為沅=

又48=(a,-V5a,0),AD-(0,0,2a).

m-AB^0ax】—VSayi=0

m-AD=02azi=0

取為=1,得沆=(V5,l,0)

設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為布=(x2,y2,z2),

因?yàn)榍?(-a,遮a,2a),BE=(-a,0,2a).

由1n-=0fax2-y/3ay2-2az2=0

In-BF=0Iax2-2az2=0

取Z2=l,得)=(2,0,1)；

設(shè)二面角4-BD-E的平面角為仇

則|cosO|=|cos<m,n>\=獸;三=半，

由題知二面角A-BD-E是鈍角，則二面角A-BD-E的余弦值為一”.

解析：【試題解析】

本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，

是中檔題.

⑴過(guò)點(diǎn)E作EH1BC于點(diǎn)H,由已知利用面面垂直的性質(zhì)可得EH_L平面ABC,結(jié)合DA_L平面ABC,

得4D〃EH,再由線面平行的判定可得〃平面EBC；

(2)由已知證明四邊形D4HE是矩形，以”為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以48,HA,HE所在直線為x,y,z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA=2a,分別求出平面48。的一個(gè)法向量與平面8￡>E的一個(gè)法向量,

由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-BD-E的余弦值.

6.答案：(1)證明：取C。的中點(diǎn)P,連接MP、BP,

因?yàn)镸是EC的中點(diǎn)，所以MP〃EO,2Mp=ED,

5LAB//DE,DE=2AB,所以MP〃AB,MP=AB,

所以四邊形ABP例是平行四邊形，

所以4M〃BP,

因?yàn)锽PC平面3C7XAA/C平面,

所以4W〃平面8C。；

(2)解：在ZL4BD中，BD=2AB,AADD儀)ABAD9()即AB14D

又?.?力Bl,CD,ADOCD=D,AD,CDu平面4CD.

AB_L平面ACD.

；.UNB為BN與平面ACD所成的角，

在ABCN中,BC=2,CN=k由余弦定理得：BN

33

在ABCN中，BA=1,BN—.cu?ABNA-?

314

???BN與平面AC。所成角的余弦為等

解析：本題考查線面平行的判定，直線與平面所成的角，涉及余弦定理，考查邏輯推理能力和空間

想象能力，屬于中檔題.

(1)取C￡＞的中點(diǎn)P,連接MP、BP,由中位線得出MP〃4B,MP=AB,則四邊形A8PM是平行四

邊形，AM//BP,根據(jù)線面平行的判定定理即可得出結(jié)論.

(2)由余弦定理可得BA14D,又力B1CD,可得4B，平面AC￡),N4NB為BN與平面AC￡)所成的角，

乙BAN=90°,便可求出8N與平面ACD所成角的余弦值.

7.答案：解：(1)方法一：如圖所示，取AE的中點(diǎn)。，連接OF,過(guò)點(diǎn)。作。M_L4C于點(diǎn)M.

因?yàn)镋C1AC,OM,ECu平面"G4,

所以O(shè)M〃EC.

又因?yàn)镋C=2FB=2,EC//FB,

所以。M〃FB且OM=^EC=FB,

所以四邊形OM8F為平行四邊形，

所以//OF.

因?yàn)镺Fu平面AEF,BM仁平面AEF,

故BM〃平面AEF,

此時(shí)點(diǎn)”為AC的中點(diǎn).

方法二：如圖所示，取EC的中點(diǎn)P,AC的中點(diǎn)Q,連接PQ,PB,BQ.

因?yàn)镋C=2FB=2,

所以PE//BF5.PE=BF,

所以四邊形PEFB為平行四邊形，

所以PB〃EF,PQ//AE,

又AE,EFu平面AEF,PQ,PBC平面AEF,

所以PQ〃平面AFE,PB〃平面AEF,

因?yàn)镻BClPQ=P,PB,PQu平面PBQ,

所以平面PBQ〃平面AE凡

又因?yàn)锽Qu平面PBQ,

所以8Q〃平面AEF.

故點(diǎn)。即為所求的點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M為4C的中點(diǎn).

(2)由(1)知，8M與E尸異面，NOFE(或NMBP)就是異面直線8例與E尸所成的角或其補(bǔ)角.

易求AF=EF=V5，MB=OF=6,OFLAE,

所以cos/OFE=竺=*=—,

EF4ss

所以8M與E尸所成的角的余弦值為叵.

5

解析：本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)、異面直線所成角的相關(guān)知識(shí)，

試題難度一般.

(1)通過(guò)兩種方法，根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)證明即可.

(2)根據(jù)(1)得出8例與E尸異面，NOFE(或NMBP)就是異面直線B例與E尸所成的角或其補(bǔ)角，求解

即可.

8.答案：(1)證明：因?yàn)镾D1面A8CD,4。u平面ABC，

所以，SD].AD,

又因?yàn)?clDC,CDC\SD=D,CD,SDu平面SDC,

所以401面S￡>C,

又SCQ平面S8,則AD1SC,

同理CD,平面S4O,因?yàn)锳B〃CD,

所以力B_1_面SAD,且SZu平面SAD,

所以4BISA,

取BC的中點(diǎn)F,連接EF,AF,

c

由已知可得SC=倔EF=y.

在直角三角形SAB中，SA=y/3,AB—1,SB—2,??AE—1,

在底面ABCD中，易知a/=[(1+似=千，

^VXAE2+EF2=AF2,即4E1EF,

而EF//SC,：.AEVSC,

又4EOAD=A,AE,ADu平面ADE,

所以SC_L平面AOE；

(2)解：由(1)易知△SBC為直角三角形，

則ac=y/5,EC=V3.AE=1,

則cos/AEC=4"+EC24C2=_更，所以疝"'EC'—-，

2'AE'EC66

所以SMBC=鼻*1*1=5，

S4AEC=-x1xV3x—=—,

△A“264

因?yàn)?TEC=VE-ABC^易知E到底面ABCD的距離為爭(zhēng)

即任公八名，仁隹，

42211

故點(diǎn)3到面AEC的距離為名.

11

解析：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，以及利用三棱錐的體積求距離，屬一般題.

(1)根據(jù)線面垂直性質(zhì)證明ADLSC,再計(jì)算棱長(zhǎng)，得到4E1EF,又EF〃SC,故AELSC,即可證

明線面垂直；

(2)根據(jù)三棱錐體積相等/TEC=VE-ABC求點(diǎn)到面的距離即可.

9答案:解:(1)連接AE,

???E為BC的中點(diǎn)，EC=DC=1,四邊形ABC。為矩形，

???△DCE為等腰直角三角形，則4DEC=45°,

同理可得N4EB=45°,

/.AED=90。，

???DE±AE,

又PA1平面ABCD,且DEu平面ABCD,

：.PA1DE,

又「/lEnP/lMA,AEu平面PAE,u平面P4E,

???DE上平面PAE,

又PEu平面PAE,

■■DE1PE；

(2)由(1)知4DCE為腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，

=：X1X1=[,而PA是三棱錐P-DCE的高，

^C-PDE='P-/JTE)*anCE，P」=[X[X1=*；

⑶在PA上存在中點(diǎn)G,使得EG〃平面PCD,

理由如下：取PA,P￡＞的中點(diǎn)G,H,連接G,GH,CH,

???G,”是PA,的中點(diǎn)，???GH〃4D,且GH=[40,

又〈E為8c的中點(diǎn)，且四邊形ABC。為矩形，

：.EC//AD,且四=加，

ECUGH,S.EC=GH,

四邊形EG/7C是平行四邊形，

EG"CH,又EG，平面PCD,CHu平面PCD,

???EG〃平面PCD.

解析：本題考查立體幾何線線垂直的判定及證明，三棱錐的體積以及線面平行，屬于中檔題.

(1)求證出0E_1平面尸4區(qū)根據(jù)PEu平面PAE,即可證出DE1PE；

(2)根據(jù)(1)知4DCE為腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，運(yùn)用V(rDEVP-DCE:SADTE-P.4即可求

出三棱錐C-PDE的體積；

(3)在PA上存在中點(diǎn)G,使得EG〃平面PCD,利用線面平行判定定理即可求解.

10.答案：(I)證明：因?yàn)?01EF,所以4O14P,AD1AB,

又APnAB=A,AP,4Bu平面ABP,

所以4D1平面ABP,

因?yàn)锽Mu平面ABP,所以力DJ.BM;

由已知得，AB=AP=BP=4,

所以AABP是等邊三角形，

又因?yàn)辄c(diǎn)Af是AP的中點(diǎn)，所以8M14P;

因?yàn)?D1BM,AP1BM,ADCtAP=A,AD,APADP,

所以BMJ_平面ADP,

因?yàn)镈Pu平面AOP,

所以1DP.

(□)解：取BP中點(diǎn)N,連結(jié)ON,

因?yàn)榱ΑL平面ABP,AB=AP=AD=4,

所以DP=BD=4企，所以DNJ.BP,

所以，在RtADPN中,DN=7DP2-PN2=2a

因?yàn)?C1平面ABP,

所以Vp_BMP=]xADxS^BMP，

因?yàn)閂M.BDP=VD-BMP^設(shè)點(diǎn)M到平面BDP的距離為h,

所以三XhXS^BDP=]XADXS/BMP,

ri,xSaw2\/32v^T

所fi以r，，一-------卞，

S&BDP*

即點(diǎn)M到平面BDP的距離為旭.

7

解析：本題考查空間中直線與直線、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練

了利用等積法求空間幾何體的體積，是中檔題.

(I)由已知可得4。_L4P,ADLAB,得到4D_L平面A8P,則4DJ.BM；再證明BM14P；由線面

垂直的判定可得BM1平面ADP,從而得到BM1DP；

(口)取8P中點(diǎn)M連結(jié)￡W,由題意4D_L平面ABP,由與_BDP=力-BMP，即可求得點(diǎn)M到平面

BOP的距離.

11.答案：(1)證明：因?yàn)锳BCZ)是菱形，

所以AC1BD,

貝|JBE_LAC,PEA.AC.

因?yàn)锽Eu平面PBE,PEu平面P8E,且BEnPE=E,

所以AC_L平面PBE,

因?yàn)槭?u平面PBE,

所以PB_L4C.

(2)解：取。E的中點(diǎn)O,連接OP,取C￡＞的中點(diǎn)F,連接。凡

因?yàn)锽D=8,

所以DE=PE=4.

因?yàn)镻D=4,

所以PD=PE,

所以P。1DE.

由(1)可知4c_L平面PBE,

所以平面PBD1平面ABCD,

則PO1平面ABCD,

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以前，0D，而的方向分別為x,yz軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

由題中數(shù)據(jù)可4(一3,—2,0),8(0,-6,0),C(3,-2,0),0(0,2,0),P(0,0,2?

則而=DC=(3,-4,0),JP=(0,6,2V3),DP=(0,-2,2V3).

設(shè)平面PAB的法向量為訪=(%i，yi，Zi),

m■AB=3X]—4y=0,.,，.一「

一一1二1令x=4,得m=(4,3,-3V3)，

m-BP=6y+28z1=0,

{r

設(shè)平面PCD的法向量為五=(x2,y2,z2),

令得元=圾，

>jjn-DC=3x2-4y2=0,x=4,(4,3,

DP——2y

tn-2+2V3z2—0,

設(shè)平面PAB與平面PC。所成的銳二面角為0,

A_I沅五?_4x4+3X3-371x71_4yf91

則c=I麗1=向孝菽牛芯=~

解析：本題主要考查了線面垂直的判定定理，性質(zhì)，面面垂直的判定定理，二面角，利用空間向量

求二面角，所以中檔題.

(1)由線面垂直的判定定理可得AC_L平面PBE,進(jìn)而得出結(jié)果.

(2)由面面垂直的判定定理可得平面PBDJL平面ABCD,則P。，平面ABCD,建立空間直角坐標(biāo)系,

寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面R48的法向量，平面PC。的法向量，代入夾角公式，可得結(jié)果.

12.答案：(1)證明：連接PQ,設(shè)與CM交于E,連接

???點(diǎn)M是P4的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

DM//PC,DM=^PC,

故AMEDsACEP,相似比為1:2,

故PE=2ED,

點(diǎn)N在PB上，且PN=2NB,

-P-E-=PCPN——2,

EDMDNB1

故APNEfPBD,

：.NE//BD,NEu平面CMN,BD笈平面CMN,

BD〃平面CMN；

(2)解：“AB=AC=&，PB=PC=V6.尸4共用,

???△PAB在ZPAC,

PA1AB,

：.PA1AC,ABCiAC=A,AB,ACu平面ABC,

PAIT?ABC,

過(guò)N作NF〃P4交AB于尸，連接C尸，

則NF1平面ABC,

NNCF是直線CN與平面ABC所成的角,

PA=yJPB2—AB2=V6—2=2,AB=AC=夜，AB1AC,

△BNFFBAP,相彳以比為1:3,

???FN號(hào),4T

卬=、心+4吟山+合亨，

F/V_3_V26

tanz/VCF=還=遂=可

二直線CN與平面ABC所成角的正切值為等.

解析：本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查線面平行的判定，考查直線和平面所成的角，屬

中檔題.

(1)連接P。，設(shè)與CM交于E,連接點(diǎn)/是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，利用中位線得到

0M與PC平行，利用△MEQSACEP,得至iJPE=2ED,結(jié)合PN=2NB即可得至PNE-ZkPBD,

得到NE與80平行，進(jìn)而完成證明；

(2)找到線面角是關(guān)鍵，過(guò)N作NF1AB于尸，論證4NCF即為所求角，進(jìn)而求得正切值即可.

13.答案：(1)證明：取AB的中點(diǎn)0,連接SO,0D,則SO_L平面ABC,且。。垂直平分BC,

所以SOJ.BC,BC10D,

又因?yàn)閟on。。=。，SOu平面SOO,ODSOD,

所以BC1平面SOD,

因?yàn)镾Ou平面SOO,所以BCJ.SD.

(2)因?yàn)锳8為底面圓的直徑，所以4C_LBC,以C點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?8=2,SO=3,^BAC=60°,

所以AC=1,BC=V3，

則C(0,0,0),4(1,0,0),B(0,V3,0),5(i,y,3),

M=或一今-3)，SC=(-i,-y,-3),SB=(-1,y,-3).

設(shè)平面ASC的法向量為蘇=（%1，為2）,

則回F=0,-y7i-3Z1=o,

即得

國(guó).溫=0,-洛一曰月—3zi=0,

令Zi=1,則平面ASC的一個(gè)法向量為元=（0,-2V3,1）;

設(shè)平面SBC的法向量為芯=（%2，y2，Z2），

出

+y3z-o

藝,工=。，即得22-2

則立

y3Z-O

SC?元=0,-22-2

令Z2=l,則平面SBC的一個(gè)法向量為近=（一6,0,1）.

則cos（耳無(wú)>=晶=懸面=籌,

由圖知4一SC-B為鈍二面角,

所以二面角4-SC-B的余弦值為—陋.

481

解析：本題考查了線面垂直的判定、線面垂直的性質(zhì)和利用空間向量求面面的夾角，是中檔題.

（1）先得出SO1BC,BC10D,所以BC,平面SO。，由線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直：

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得出平面ASC的一個(gè)法向量和平面SBC的一個(gè)法向量，由空間向量求解

即可.

14.答案:證明：（1）如圖所示,連接BD,由ABCD是菱形且NBCD=60。知，°釀

△BCD是等邊三角形，

因?yàn)镋是co的中點(diǎn)，所以BE,

又4B//C0,所以BE14B,.gc

又因?yàn)镻A1平面ABCQ,BEABCD,“

所以PA1BE,

而R4n4B=A,PA,ABu平面PAB,

因此BE_L平面PAB,

又BEu平面PBE,

所以平面PBE_L平面PAB；

解：（2）由（1）知，口小工平面胡以PBu平面PAB,

所以PB1BE,

又AB1BE,

所以ZPB4是二面角/-BE-P的平面角,

DA—

在中，

RMP4Btan^PBA=—AB=V3,

APBA=60°

故二面角力-BE-P的大小為60。.

解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，平面與平面垂直的判定，其中(1)的關(guān)

鍵是熟練掌握線線垂直、線面垂宜及面面垂直之間的轉(zhuǎn)換，(2)的關(guān)鍵是構(gòu)造出NPBA是二面角4-

BE-P的平面角，屬于中檔題.

(1)連接B。，由己知中四棱錐P—4BC0的底面ABCZ)是邊長(zhǎng)為1的菱形，^BCD=60°,E是CD的

中點(diǎn)，PA1底面A8CC,我們可得BELAB,PA1BE,由線面垂直的判定定理可得BE1平面PAB,

再由面面平行的判定定理可得平面PBE1平面PAB；

(2)由(1)知，BE_L平面PAB,進(jìn)而PB1BE,可得NPB力是二面角4-BE-P的平面角.解Rt△P4B

即可得到二面角4-BE-P的大小.

15.答案：解：(1)連接AC交8D于。，連接EO；

在正四棱錐P-ABCD中，ABCO為正方形，

所以對(duì)角線AC、8。的交點(diǎn)。平分AC、BD,即。為AC的中點(diǎn)；

在△CP4中，0、E分別為CA、CP的中點(diǎn)，

所以0E//PA；

因?yàn)镻4〃0E,P4C平面BOE,OEBDE,

所以PA〃平面BDE；

(2)因?yàn)?。E〃P4所以PA、OE所成的角即為OE、OE所成的角，即為“ED；

因?yàn)檎睦忮FP-ABCO的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，不妨設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)都為1；

在△CP4中，OE=：P4=/

在正方形A88中，0D=泌/

在AEBD中，EB=ED,。為80的中點(diǎn)，所以。。10E；

在RtAOOE中，OZ)2+OE2=CE2,得DE=",所以coszlOED=絲=理,

2DE3

故異面直線厚與QE所成角的余弦值為日.

解析：本題考查線面平行的判定定理及異面直線所成的角的計(jì)算，屬于中檔題.

⑴連接AC交加于0,連接E0,證明PA//0E,運(yùn)用線面平行的判定定理即可證明P4〃平面BDE；

(2)找到PA、OE所成的角即為。瓜OE所成的角，即為/OED,然后解三角形即可.

16.答案：解：(1)證明：取48的中點(diǎn)0,連接SO,0D,

則S。，平面48C,且0D垂直平分BC,

所以SO_LBC,BC10D,

又因?yàn)镾OnOC=O,SOu平面SOO,。。＜=平面SOO,

所以BC_L平面SOD,

因?yàn)镾Du平面SOD,

所以BC_LSD.

(2)設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為h,

由/-4BC=%-SBC，得gSA48cX苧=|5ASBCX九,

所以小安,

當(dāng)4B=2,圓錐的高為正，且乙34。=60。時(shí)-，AC=1,BC=V3，OE=\,SE=VSO2+0E2=

2/

所以S44BC=gX1Xy/3=SASBC=~X2Xy/3=V3,

所以八=①￡=虎.

2xV34

解析：本題考查線線垂直和點(diǎn)到面的距離，三棱錐的體積公式，屬于中檔題.

（1）取AB的中點(diǎn)0,連接SO,0D,貝IJS01平面ABC,且。。垂直平分3C,所以SOJ.BC,利用線

面垂直的判定可得8c_L平面SOD,即可得證；

（2）設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為伍由%YBC=%-sec，得二S.Mex巫=-SBSBCx%,所以九=祭典,

323N3（3SBC

可得出點(diǎn)A到平面SBC的距離.

17.答案：（I）證明：因?yàn)槿庵?8C—4/傳1為直三棱柱，所以A&L平面A3C,

所以14C..................（1分）

因?yàn)?C_L4B,ABDAAi=A,所以AC_L平面44祖8..................(3分)

因?yàn)锽Eu平面441/8,所以ACJLBE.................(4分)

因?yàn)锽EJ.4B1，ACOAB1=A,

所以BE1平面2&C.......................(5分)

(口)解：由(I)知AB,AC,4公兩兩垂直，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz.

則4(0,0,0),當(dāng)(2,0,4),0(0,2,2),8(2,0,0)..................(7分)

設(shè)E(0,0,a),所以而=(0,2,2),福=(2,0,4),JE=(-2,0,a),

因?yàn)楸?，屁，所?a-4=0,即a=l.................（8分）

所以平面4B1C的一個(gè)法向量為麗=（一2,0，1）.................（9分）

設(shè)平面AB］。的法向量為記=（x,y,z）,

所以上,佇=°，所以｛$[**即匕Z一2.....................（10分）

（n-ABr=0.（2%+4z=0.<.%=—2z.

令x=-1,則x=2,y=l,

所以平面A/D的一個(gè)法向量為五=（2,1,-1）........................（11分）

所以cos<BE,n>=高矗=熹=一粵.........（12分）

由己知，二面角C-4B1一。為銳角，

所以二面角C-ABX-。的余弦值為回.........（13分）

6

解析：（I）i!EB171A11.AC.AC1BE,結(jié)合BE1AB1，即可證明BE1平面481C.

（□）建立如圖空間直角坐標(biāo)系4-xyz.求出平面ABiC的一個(gè)法向量，平面48山的法向量，利用空間

向量的零售價(jià)求解二面角C-ABr-。的余弦值即可.

本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思

想以及計(jì)算能力，是中檔題.

18.答案：解：（1）?；4。=CD.AB=BC,BD=BD,

??.△BCD=△BAD,

連結(jié)AC,BD交于N,連結(jié)MN,

由全等可知4N=NC,即N為AC的中點(diǎn)，而PM=MC,即M為PC的中點(diǎn)，

???MN//PA,

?：MNu平面MBD,PA仁平面MBD,

故P4〃平面MBD-

（2）由△BCO三△B4。，可得BD14C,

以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NC為x軸，NZ）為y軸，垂直面ABC。向上的方向?yàn)閦軸，如圖所示:

AB1+AD2=BD\故A"±AD.同理可得CB±CD.

Ill

SABCD=3BDxAC=,48xAD+-CBxCD,

可得4C=第，故AN=14C=等，BN=￡，ND=#，

4（-第,0,0），B（0,-y,0）,C律,0,0）,D（0,竿,0）,P（-g，等，1）,

*（W，一竿t）,

設(shè)祝=4麗=（"尢一等;I,—Z），可得”（延押,等；1,4）;

麗=”3日2等力,

設(shè)平面BMD的一個(gè)法向量方=（Xi，yi，zj,

g,亞=0可得一解4=（_40,2金3同）,

而平面ABCD的一個(gè)法向量為石=（0,0,1）＞

???平面MBO，平面ABCZ）,

a?K=0?解得4=|，

故M（0,拿）,

設(shè)平面MDC的一個(gè)法向量記=（＞2，y2，Z2），

前=（。普，-1＞而=（-咨W，。），

產(chǎn)亞=°可得-解記=（2,1延），

tin-CD=0I57

而平面BM