高中數(shù)學必修四知識點總結

高中數(shù)學必修4必背知識點6、弧度制與角度制的換算公式：27r=360,1=三，1=[竺?57.3.

180I萬J

7、若扇形的圓心角為為弧度制)，半徑為廣，弧長為/,周長為C,面積為S,則

第一章三角函數(shù)

'正角:按逆時針方向旋轉形成的角

1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角:不作任何旋轉形成的角

2、角a的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則

稱a為第幾象限角.

第一象限角的集合為{ak360<a<6360+90/ez}

9、三角函數(shù)在各象限的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

第二象限角的集合為{。卜360+90360+180,左eZ}

10、三角函數(shù)線：sina=MP,cosa=OM,tan=AT.

第三象限角的集合為同心360+180<a<k-36O+270?，左eZ}

11同角三角函數(shù)的基本關系

第四象限角的集合為{。k360+270<a<k-360+360,后eZ}(1)sin2a+cos2a=l(sin2rz=l-cos2a,cos2=l-sin2a)

終邊在x軸上的角的集合為?=屋180，丘Z}小sina(.sina、

(2)-------=tanasina=tanacosa,cosa=-------.

cosa\tanaJ

終邊在y軸上的角的集合為{+=公180+90/eZ}

終邊在坐標軸上的角的集合為{a[a=L-90，4eZ}12、函數(shù)的誘導公式：

(l)sin(2A7r+a)=sina,COS(2ATT+。)=cos。，tan(2A7r+a)=tano(A：￡Z).

3、與角a終邊相同的角的集合為{，忸=h360+a,k&Z\(2)sin(^+or)=-siniz,cos(^+6Z)=-coscif,tan(^+6z)=tan<z.

(3)sin(-<7)=-sin,cos(-cr)=cos6Z,tan(-cr)=-tan6Z.

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

(4)sin-6z)=sina,cos-a)—-cosa,tan(;r-a)=-tana.

5、半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,則角a的弧度數(shù)的絕對值是囪=(.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

行y=sinxy=cosxy=tanx

yjy

cos——va=-sina.2

（2）/"丁\：當/r

圖象

-04v：yx■Q2A

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.X￥7

13、①的圖象上所有點向左（右）平移網個單位長度，得到函數(shù)丫=5皿（H夕）的圖象;

定義{

RR無X。左;T+生，左WZ

再將函數(shù)〉=311（%+?）的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的5倍（縱坐標域12J

不變），得至I」函數(shù)y=sin（o無+夕）的圖象；再將函數(shù)、=$山（0無+0）的圖象上所有點的縱值域[T』[T』R

坐標伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函數(shù)、=人5畝（0無+0）的圖象.當x=Ikn+—(kGZ)當x=2fcr(LeZ)時，

②數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的工倍（縱坐標不變）,1

時，＞max=l；當ymax=：當x=2上左+%

G）最值既無最大值也無最小值

得到函數(shù),=51118的圖象；再將函數(shù)丁=5近8的圖象上所有點向左（右）平移的個X=2k7T--(左eZ)時,%,=-1.

2

0）

(kwZ)時,WL-L

單位長度，得至U函數(shù)y=sin（Gx+°）的圖象；再將函數(shù)y=sin（5+0）的圖象上所有點

周期27r27r71

性

的縱坐標伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函數(shù)丁二人045+夕）的圖

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

象.性

在2^--,2te+—

14、函數(shù)y=Asin（公）（）的性質：22

T+0A>0,G>0在［2左萬一刀",2左7］（左wZ）上

在（左萬一%不+］）

①振幅：A；②周期：T=—；③頻率：/=-=—；④相位：s+e；⑤初相：cp.(kEZ)上是增函數(shù)；在是增函數(shù)；在

CDT2.71單調

性［2左乃,2左乃+乃］

函數(shù)y=Asin（&x+0）+B,當x=%時，取得最小值為；當％=%時，取得最大值7123兀

11QUH--,2k7TH---（丘Z）上是增函數(shù).

22J

、11T（左iZ）上是減函數(shù).

B，，

為Vmax，貝1A=］（y1Mx—丫5），=-（）?1ax+>min）-萬=%一百（占〈尤2）?

(kEZ)上是減函數(shù).

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質:對稱

對稱中心（左耳0）（左GZ）對稱中心對稱中心

性

對稱軸

%乃+5,0)(%GZ)4,。）僅eZ）

19、向量數(shù)乘運算：

X=kTT+GZ)

⑴實數(shù)4與向量Q的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作.

無對稱軸

時稱軸X=左〃■(左￡Z)①1M=岡同;

②當；1>0時，的方向與〃的方向相同；當4<0時，2〃的方向與a的方向相反；當;1=0時,

Za=0.

⑵運算律：①=(切)行；②(4+〃)a=>l2+〃Q；=+.

⑶坐標運算：設N=（x,y）,==

第二章平面向量

20、向量共線定理：向量。（〃工0）與Z?共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)X,使〃=4〃.

16>向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.設&=（%,%）,人=（芯2，%），其中〃w。，則當且僅當%1%一%2y1=。時，向量〃、〃倒wG）共

有向線段的三要素：起點、方向、長度.零向量：長度為0的向量.

單位向量：長度等于1個單位的向量.線.

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.

相等向量：長度相等且方向相同的向量.

21、平面向量基本定理：如果,、.是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任

17、向量加法運算：

意向量。，有且只有一對實數(shù)4、%,使a=4G+4e2.（不共線的向量6、S作為這

⑴三角形法則的特點：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點：共起點.一平面內所有向量的一組基底）

⑶三角形不等式:1同_愀卜,+.4同+|可.

*22、分點坐標公式：設點P是線段PR?上的一點，P「P2的坐標分別是（玉,%），（%2，%），

⑷運算性質：①交換律：a+b=b+a；=AB+BC=AC

當P,P=2PP時，點P的坐標是竽,].（當人=1時,就為中點公式。：

②結合律：(a+b)+e=〃+僅+c)；③&+0=0+Q=Q.2

⑸坐標運算：設九二（石,乂），Z?=（x,y）,則〃+人=（玉+%2，%+%），

2223、平面向量的數(shù)量積：

⑴Gd=BMcose（Qw0,〃w0,0<<9<180）.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

18>向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.⑵性質：設a和〃都是非零向量,則①&_Lb=。2=0.②當&與方同向時，。包=同可；

⑵坐標運算：設8=（%,yJ,Z?=（x2,y2）,則a-b=（七一%,%.

當白與人反向時，〃,/?二一同W；或同=da.a.③"匕卜同忖.

設A、B兩點的坐標分別為（石,%）,（馬，%），則AB=（%-%2，乂一%）-

26、

⑶運算律：①crb=b?a；②=X(Q?b)=a?(4b)；@(a+b^'C=a-c+b-c.半角公式：

11+cosa.a[1—cosa

cos=±!；Sm=±

⑷坐標運算：設兩個非零向量〃=(%],乂)，〃=(冗2，%)，則=菁%2+丁1%.f\^^2^2

—cosasina1—cosa

tan=±

若且=(x,y),則同2=/+y2,或同=J%2+y2.設&=(%,yj,人二仁，％)，則fA/1+cosa1+cosasina

27、合一變形=>把兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù)，一個角，一次方”的

aLbo石9+x%=0.

y=Asin(s+9)+3形式。Asinor+Bcosa—VA2+B2sin(a+(p),其中tan°=g.

設a、b都是非零向量，Q=(%,yJ,萬=(犬2，%)，。是Q與人的夾角，則

28、三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創(chuàng)設條件，靈活運

用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能.常用的數(shù)學思想方法技巧如下：

cos0=■+yly[^+

HH舊其LL角的變換:在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之

間的和差，倍半，互補，互余的關系，運用角的變換，溝通條件與結論中角的差異，使問題

第三章三角恒等變換獲解，對角的變形如：

、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：o(aa

24①2。是a的二倍；4a是2a的二倍；a是竺的二倍；竺是上的二倍；

224

⑴cos(a一/)=cosacos,+sinasin廣；(2)cos(a+/)=cosacosJ3-sinasin0；

②150=45°—30°=60°—45°=工300；問：sin—71=；cos—71=；

(3)sin(a—尸)=sinacos/}-cosasin/?；⑷sin(a+/)=sinacos0+cosasin夕;21212

Z-X/c、cz~\?71/71,

⑸tan(a_/)=,ana-tan/@?=(?+/7)-^@—+6Z=--(--Of)

(tana-tan夕=tan(a-/)(1+tanatan/7))；

1+tantrtan0

TTIT

⑤2a=(a+尸)+(a-尸)=(——\-a)-{----a)；等等

44

⑹tan(a+/)=tana+tan/

(tana+tan/?=tan(a+〃)(l-tanatan/7)).(2)函數(shù)名稱變換:三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基

1-tan6Ztanp

礎，通常化切為弦，變異名為同名。

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:(3)常數(shù)代換:在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)

“1”的代換變形有：

(1)sin=2sinczcosa.=>l±sin2a=sin2?+cos2?±2sin6rcos6Z=(sinor±cosa)2

1=sin2cr+cos2a=tancrcotcr=sin90"=tan45°

⑵cos2a=cos2a-sin2a-2cos2a-l=l-2sin2a

(4),暴的變換:降幕是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降幕處理的方