江西省余江市第一中學2024-2025學年高二下學期第一次月考數(shù)學試題（原卷版+解析版）

余江一中2024年高二年級下學期第一次月考考試數(shù)學考試卷考試時間：120注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.)1.已知等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.2.下列命題錯誤的是（）A.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于B.設，且，則C.線性回歸直線一定經過樣本點的中心D.隨機變量，若，則3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，公比為2，則數(shù)列的前5項之和為（）A62 B.66 C.56 D.464.若的展開式的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項為（）A. B. C.60 D.2405.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈，這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.已知數(shù)列滿足：，，則（）A5 B.4 C.3 D.26.甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（）A B. C. D.7.中心極限定理是概率論中的一個重要結論．根據(jù)該定理，若隨機變量，則當且時，可以由服從正態(tài)分布的隨機變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現(xiàn)投擲一枚質地均勻分布的骰子2500次，利用正態(tài)分布估算骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為（）附：若：，則，，．A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.97738.已知數(shù)列的前項和，等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，設數(shù)列的前項和為，若對于，都有，則（）A.6 B.7 C.8 D.9二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)9.下列有關數(shù)列的說法正確的是（）A.數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個數(shù)列B.數(shù)列的通項公式為,則110是該數(shù)列的第10項C.在數(shù)列中,第8個數(shù)是D.數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為10.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.11.在2024年歐洲杯某小組賽中，共有甲、乙、丙、丁四支隊伍進行單循環(huán)比賽，即每兩支隊伍在比賽中都要相遇且僅相遇一次，最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則在比賽結束時（）A.四支球隊的積分總和可能為15分B.甲隊勝3場且乙隊勝1場的概率為C.可能會出現(xiàn)三支球隊積分相同且和第四支球隊積分不同的情況D.丙隊在輸了一場的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.《張邱健算經》是公元5世紀中國古代內容豐富的數(shù)學著作，書中記載著這樣一個問題：“有個女子善織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個月（按30天計）共織了440尺，推算第10天該女子織了__________尺布.”13.隨著城市經濟的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是__________．14.若數(shù)列滿足，在中插入n個2，按照原有順序構成數(shù)列，則數(shù)列的前480項和為___________．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.現(xiàn)有一個六個面分別標有數(shù)字的正方體骰子，連續(xù)拋擲兩次，設分別為第一次和第二次拋擲骰子落地后朝上的點數(shù)，.（1）求概率；（2）求的數(shù)學期望.16.已知等比數(shù)列公比，，．（1）求；（2）設，若，求．17.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求它的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和18.某公司為招聘新員工設計了一個面試方案:應聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成.規(guī)定：至少正確完成其中道題便可通過面試.已知道備選題中應聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且兩位應聘者每題正確完成與否互不影響.（1）求甲正確完成面試題數(shù)的分布列及其期望；（2）求乙正確完成面試題數(shù)的分布列及其方差；（3）試問:甲和乙誰通過面試的可能性更大?并說明理由.19.已知數(shù)列的前項和滿足，且.（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式;（2）設為數(shù)列的前項和，求使成立的最小正整數(shù)的值;（3）在數(shù)列中，對任意，當時，，若滿足，求正整數(shù)的最小值.

余江一中2024年高二年級下學期第一次月考考試數(shù)學考試卷考試時間：120注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.)1.已知等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推導出，再利用等比中項的性質可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，由等比中項的性質可得，故.故選：B.2.下列命題錯誤的是（）A.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于B.設，且，則C.線性回歸直線一定經過樣本點的中心D.隨機變量，若，則【答案】B【解析】【分析】利用相關關系判斷A；由正態(tài)分布的性質判斷B；由線性回歸直線的性質判斷C；由隨機變量條件建立方程組解出即可判斷D.【詳解】根據(jù)相關系數(shù)的意義可知，兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于，故A正確；由，知，即概率密度函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以，則，故B錯誤；根據(jù)線性回歸直線的性質可知，線性回歸直線一定經過樣本點的中心，故C正確；隨機變量，若，則，故D正確；故選：B.3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，公比為2，則數(shù)列的前5項之和為（）A.62 B.66 C.56 D.46【答案】D【解析】【分析】先求出數(shù)列的通項公式，再由分組求和法求解即可.【詳解】數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列的前5項之和為.故選：D.4.若的展開式的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項為（）A. B. C.60 D.240【答案】C【解析】【分析】由二項式系數(shù)性質求出，由二項展開式通項公式可求得常數(shù)項．【詳解】由題意，解得．展開式通項為，由得，解得，∴常數(shù)項為．故選：C．5.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈，這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.已知數(shù)列滿足：，，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“冰雹猜想”結合遞推關系，利用規(guī)律求解即可【詳解】,可知數(shù)列可看作從第8項起以3為周期的數(shù)列，因為，所以，故選：B6.甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去的情況數(shù)，從而得到甲不去小區(qū)的情況數(shù)，再結合概率公式，即可得到結果.詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，5人被分為或當5人被分為時，情況數(shù)為;當5人被分為時，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計種，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.7.中心極限定理是概率論中的一個重要結論．根據(jù)該定理，若隨機變量，則當且時，可以由服從正態(tài)分布的隨機變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現(xiàn)投擲一枚質地均勻分布的骰子2500次，利用正態(tài)分布估算骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為（）附：若：，則，，．A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.9773【答案】D【解析】【分析】先得到，滿足且，從而計算出期望和方差，得到，利用正態(tài)分布的對稱性求解.【詳解】骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的概率，故，顯然，其中，，故，則，由正態(tài)分布的對稱性可知，估算骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為.故選：D8.已知數(shù)列的前項和，等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，設數(shù)列的前項和為，若對于，都有，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出可得，判斷出數(shù)列的單調性可得答案.【詳解】因為，時，，由，所以，設等差數(shù)列的公差為，由得，解得，所以，可得，則，所以當時，；當時，，所以，又因為，，，，所以當時，；當時，；當時，，因此當時，數(shù)列單調遞減；當時，單調遞增，所以，故.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是判斷出數(shù)列的單調性.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)9.下列有關數(shù)列的說法正確的是（）A.數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個數(shù)列B.數(shù)列的通項公式為,則110是該數(shù)列的第10項C.在數(shù)列中,第8個數(shù)是D.數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列概念即可得選項A正誤;利用數(shù)列的通項公式等于110,計算出結果,即可得選項B的正誤;根據(jù)數(shù)列的規(guī)律,即可得選項C、D的正誤.【詳解】解:因為數(shù)列-2023,0,4的首項是-2023,而數(shù)列4,0,-2023的首項是4,所以兩個數(shù)列不是同一個,故選項A錯誤;當時,解得:或(舍),即110是該數(shù)列的第10項,故選項B正確;因為數(shù)列可寫為:,所以第8個數(shù)是,故選項C正確;因為所以可以看做數(shù)列的一個通項公式,故選項D正確.故選：BCD10.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)遞推式可得、，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義判斷A、B；應用累加法求數(shù)列通項公式判斷C；應用分組求和及等比數(shù)列前n項和公式求判斷D.【詳解】因為，所以，則是首項為，公比為2的等比數(shù)列，故A錯誤；根據(jù)題意得，，所以數(shù)列為首項為1，公比為1的等比數(shù)列，則

，故B正確；所以，故C正確；，故D正確.故選：BCD11.在2024年歐洲杯某小組賽中，共有甲、乙、丙、丁四支隊伍進行單循環(huán)比賽，即每兩支隊伍在比賽中都要相遇且僅相遇一次，最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則在比賽結束時（）A.四支球隊的積分總和可能為15分B.甲隊勝3場且乙隊勝1場的概率為C.可能會出現(xiàn)三支球隊積分相同且和第四支球隊積分不同的情況D.丙隊在輸了一場的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)甲勝乙、丙、丁，而乙、丙、丁之間平可判斷A，根據(jù)甲勝乙、丙勝甲、乙勝丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平判斷C，由互斥事件與獨立事件的概率公式計算概率判斷BD.【詳解】四支球隊共6場比賽，有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.對于A，四支球隊共6場比賽，例如甲勝乙、丙、丁，而乙、丙、丁之間平，則甲得9分，乙、丙、丁各得2分，所以四支球隊的積分總和可能為15分，故A正確；對于B，每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則甲隊勝3場且乙隊勝1場的概率為，故B錯誤；對于C，若甲勝乙、丙勝甲、乙勝丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，則甲、乙、丙各得4分，丁得3分，出現(xiàn)三支球隊積分相同且和第四支球隊積分不同的情況，故C正確；對于D，丙隊在輸了一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分，三隊中選一隊與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，若丙與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則丙只得4分，這時，甲乙、甲丁兩場比賽中甲只能輸，否則甲的分數(shù)不小于4分，不合題意，在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那么它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意；若丙全贏（概率是）時，丙得6分，其他3人分數(shù)最高為5分，這時甲乙，甲丁兩場比賽中甲不能贏否則甲的分數(shù)不小于6分，只有全平或全輸，①若甲一平一輸，概率是，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率是；②若甲兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結論如何均符合題意；③若兩場甲都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是；綜上概率為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.《張邱健算經》是公元5世紀中國古代內容豐富的數(shù)學著作，書中記載著這樣一個問題：“有個女子善織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個月（按30天計）共織了440尺，推算第10天該女子織了__________尺布.”【答案】11【解析】【分析】記公差為，根據(jù)已知求出再利用等差數(shù)列的通項公式求解.【詳解】由題得每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，首項，記公差為，由題得，所以所以.故答案為：1113.隨著城市經濟的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是__________．【答案】【解析】【分析】法1：設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，，利用貝葉斯公式即可得到答案；法2：直接在遲到的前提下計算概率.【詳解】法1：由題意設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，則；，小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是，法2：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率，故答案為：．14.若數(shù)列滿足，在中插入n個2，按照原有順序構成數(shù)列，則數(shù)列的前480項和為___________．【答案】1215【解析】【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求出數(shù)列的項數(shù)和前480項中2的個數(shù)，再求出數(shù)列的前30項和即可.【詳解】數(shù)列中從到的項數(shù)為：，令，得，且，所以數(shù)列的前480項中后面還有15項，則數(shù)列的前480項中2的個數(shù)為．由，得，故數(shù)列的前30項和是數(shù)列的前10項和，且和為，所以數(shù)列的前480項和為．故答案為：1215【點睛】難點點睛：本題的難點是推出數(shù)列的前480項中后面還有15項.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.現(xiàn)有一個六個面分別標有數(shù)字的正方體骰子，連續(xù)拋擲兩次，設分別為第一次和第二次拋擲骰子落地后朝上的點數(shù)，.（1）求的概率；（2）求的數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知及列舉法求出、對應概率，應用互斥事件加法求概率即可；（2）的所有可能值為，同（1）方法求對應可能值的概率，進而求期望.小問1詳解】由題設，，即或，連續(xù)拋擲兩次骰子，得到朝上的點數(shù)構成的數(shù)組共有36種可能，的情況有共6種，故，的情況有共10種，故，所以的概率為.【小問2詳解】由題意，的所有可能值為，同（1）分析，的情況有共8種，則，的情況有共6種，則，的情況有共4種，則，的情況有共2種，則，所以.16.已知等比數(shù)列的公比，，．（1）求；（2）設，若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設結合等比數(shù)列通項公式列出等比數(shù)列首項和公比的方程組即可求解；（2）先求出通項公式，再由等差數(shù)列前項和公式結合題設列出等量關系式計算即可求解.【小問1詳解】由題意得，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，解得或（舍去）.17.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求它的通項公式；（2）設，求數(shù)列前n項和【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推式可得，結合等比數(shù)列的定義判定證明，進而寫出通項公式；（2）應用錯位相減法及等比數(shù)列前n項和公式求【小問1詳解】由題設，則，整理得，又，所以是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，則.【小問2詳解】由，則，所以，所以，所以.18.某公司為招聘新員工設計了一個面試方案:應聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成.規(guī)定：至少正確完成其中道題便可通過面試.已知道備選題中應聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且兩位應聘者每題正確完成與否互不影響.（1）求甲正確完成面試題數(shù)的分布列及其