2023-2024學(xué)年廣東省深圳市紅嶺中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學(xué)2023-2024學(xué)年高一（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題的4個選項(xiàng)中僅有一個選項(xiàng)是正確的，請將你認(rèn)為正確的答案的代號涂在答題卡上）1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.2.已知為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”成立的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件3.設(shè)，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則4.已知正方形邊長為，點(diǎn)滿足，則（）A.4 B.5 C.6 D.85.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B.C. D.6.在中，若，且，那么一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形7.若對于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C D.8.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，，若函數(shù)（且）在上恰有4個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.二、多選題（本大題共3小題，每題6分，共18分，每小題選項(xiàng)中有多個選項(xiàng)是正確的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，請將你認(rèn)為正確的答案的代號涂在答題卡上）9.關(guān)于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是（）A.向量，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B.若點(diǎn)G是的重心，則C.若，則或D.若向量，，則向量在向量上的投影向量為10.如圖，正方體的棱長為1，下列結(jié)論正確的是（）A.若P在棱AB上運(yùn)動，則直線與直線所成的夾角一定為B.若P在棱AB上運(yùn)動，則三棱錐的體積為C.若P在底面ABCD內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，且滿足，則動點(diǎn)P的軌跡的長度為D.若P在內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，則直線與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍為11.已知函數(shù)，則（

）A.函數(shù)有3個零點(diǎn)B.若函數(shù)有2個零點(diǎn)，則C.若關(guān)于的方程有4個不等實(shí)根，，，，則D.關(guān)于的方程有5個不等實(shí)數(shù)根三、填空題（本大題共3小題，每題5分，共15分）12.已知向量，，，且．則實(shí)數(shù)m的值為________.13.已知是關(guān)于x的方程的兩個根，則_______．14.已知正三棱柱的體積為，若存在球與三棱柱的各棱均相切，則球的表面積為_________________.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量與的夾角為，，.（1）求及；（2）求向量與向量的夾角.16.函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；（3）若關(guān)于的方程在上有兩個不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．（1）求角C；（2）若周長為20，面積為，求邊c．18.已知直三棱柱滿足，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.（3）求三棱錐的體積.19.若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)在定義域（）上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”.若存在實(shí)數(shù)，使得對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學(xué)2023-2024學(xué)年高一（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題的4個選項(xiàng)中僅有一個選項(xiàng)是正確的，請將你認(rèn)為正確的答案的代號涂在答題卡上）1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先求出，然后再求.【詳解】由，得：，所以：，即：，故C項(xiàng)正確.故選：C.2.已知為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”成立的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】D【解析】【分析】舉反例結(jié)合充分必要條件的定義分析即可.【詳解】顯然時不能推出，反之時也不能推出，則“”是“”成立的既非充分又非必要條件.故選：D3.設(shè)，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】利用可能平行判斷，利用線面平行的性質(zhì)判斷，利用或與異面判斷，與可能平行、相交、異面，判斷.【詳解】，，則可能平行，錯；，，由線面平行的性質(zhì)可得，正確；，，則，與異面；錯，，，與可能平行、相交、異面，錯，.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、線面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.4.已知正方形的邊長為，點(diǎn)滿足，則（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系并寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意求相應(yīng)向量的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】建立坐標(biāo)系如圖，正方形的邊長為2，則，，，可得，點(diǎn)滿足，所以．故選：C.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象得，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，代值計(jì)算可得，再利用零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】由圖象得，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，所以，解得所以，其定義域?yàn)椋驗(yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，，，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選：B.6.在中，若，且，那么一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】由兩角和的正弦公式并結(jié)合正弦定理可得，即，又由化簡可得，得，從而可求解.【詳解】，則，因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，，則，則，即，即，又因?yàn)?，則，所以，即.即一定是等邊三角形，故D正確.故選：D.7.若對于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，對于都有成立，∴，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，，若函數(shù)（且）在上恰有4個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，函數(shù)的周期為4，作出函數(shù)的圖像，依題意可得數(shù)與的圖像在上有4個不同的交點(diǎn)，然后分及討論即可．【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即當(dāng)時，又對任意，都有，則關(guān)于對稱，且，，即函數(shù)的周期為，又由函數(shù)且在上恰有個不同的零點(diǎn)，得函數(shù)與的圖像在上有個不同的交點(diǎn)，又，當(dāng)時，由圖可得，解得；當(dāng)時，由圖可得，解得．綜上可得.故選：C．二、多選題（本大題共3小題，每題6分，共18分，每小題選項(xiàng)中有多個選項(xiàng)是正確的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，請將你認(rèn)為正確的答案的代號涂在答題卡上）9.關(guān)于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是（）A.向量，能作為平面內(nèi)所有向量一組基底B.若點(diǎn)G是的重心，則C.若，則或D.若向量，，則向量在向量上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】由基底的概念即可判斷A，由三角形重心的定義即可判斷B，由平面向量數(shù)量積的定義即可判斷C，由投影向量的概念即可判斷D.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，即，則不能作為平面內(nèi)的基底，故A錯誤；如圖所示，連接并延長交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，則，，所以，故B正確；因?yàn)?，若，則或或，故C錯誤；因?yàn)橄蛄?，，則向量在向量上的投影向量為，故D正確；故選：BD10.如圖，正方體的棱長為1，下列結(jié)論正確的是（）A.若P在棱AB上運(yùn)動，則直線與直線所成的夾角一定為B.若P在棱AB上運(yùn)動，則三棱錐的體積為C.若P在底面ABCD內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，且滿足，則動點(diǎn)P的軌跡的長度為D.若P在內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，則直線與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)即可判斷B；易得動點(diǎn)的軌跡的長度為以D為圓心，1為半徑的圓的周長的四分之一，即可判斷C；平面，可得即為直線與平面ABC所成角，再進(jìn)行分析即可判斷D.【詳解】對于A，連接，則平面，又平面，，又，平面，平面，平面，又平面，，所以直線與直線所成的夾角一定為，故A正確；對于B，連接PC，，，則三棱錐的體積等于三棱錐的體積，平面，∴點(diǎn)P到平面的距離，為定值1，即三棱錐的高為1，底面三角形的面積為，，故B正確；對于C，因P滿足，則動點(diǎn)的軌跡的長度為以D為圓心，1為半徑的圓的周長的四分之一，所以P點(diǎn)的軌跡的長度為，故C錯誤；對于D，在正方體中，平面，對于平面，為垂線，為斜線，為射影，所以即為直線與平面ABC所成角，設(shè)，則，因?yàn)镻是內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)，所以當(dāng)P與O重合時，最小，此時，當(dāng)P與B重合時，最大，此時，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（

）A.函數(shù)有3個零點(diǎn)B.若函數(shù)有2個零點(diǎn)，則C.若關(guān)于的方程有4個不等實(shí)根，，，，則D.關(guān)于的方程有5個不等實(shí)數(shù)根【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，由此作出函數(shù)的草圖：依次分析選項(xiàng)：對于A：由圖象易知曲線與y軸有兩個交點(diǎn)，故函數(shù)有2個零點(diǎn)，故A錯誤；對于B：令，可得，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即為與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，由圖象可知，B正確；對于C：若關(guān)于的方程有四個不等實(shí)根，則與的圖象有四個交點(diǎn).不妨設(shè)，由圖象可得：，且，，所以，故C正確；對于D：因?yàn)?，解得或，結(jié)合圖象可知：有一個根，有四個根，所以關(guān)于方程有5個不等實(shí)數(shù)根，D正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖像及應(yīng)用，關(guān)鍵是利用圖像并結(jié)合對稱性解決CD.三、填空題（本大題共3小題，每題5分，共15分）12.已知向量，，，且．則實(shí)數(shù)m的值為________.【答案】1【解析】【分析】先求得，然后利用數(shù)量積坐標(biāo)公式求解即可.詳解】解：根據(jù)題意，∵，，則，又，且，∴，解得；故答案為：1.13.已知是關(guān)于x的方程的兩個根，則_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以求得，然后利用，求出的值，然后即可求解.【詳解】由題意得：，是的兩個根，即：，解得：或，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，所以：，即：，解得：，（舍去），.故答案為：.14.已知正三棱柱的體積為，若存在球與三棱柱的各棱均相切，則球的表面積為_________________.【答案】【解析】【分析】利用三棱柱的體積公式、球的特征及其體積公式即可.【詳解】如圖所示，取上下底面的中心，分別為上底面棱上的切點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，設(shè)，由題意易知，則，因?yàn)?，所?故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量與的夾角為，，.（1）求及；（2）求向量與向量的夾角.【答案】（1）3；1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義可計(jì)算求得的值；根據(jù)模的計(jì)算公式可求得；（2）求出的值，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【小問1詳解】由題意；；【小問2詳解】由題意得，故，由于，故.16.函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；（3）若關(guān)于的方程在上有兩個不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】【分析】（1）利用函數(shù)圖象的頂點(diǎn)求出，利用周期求出，由特殊點(diǎn)求出，即可求出解析式；（2）利用三角函數(shù)圖象變換求得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法求得最值；（3）結(jié)合函數(shù)的定義域和三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定其值域，由圖象即求.【小問1詳解】由函數(shù)的部分圖象可知，，，，又，，解得，由可得，；【小問2詳解】將向右平移個單位，得到，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，令，由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，可得，；【小問3詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程在上有兩個不等實(shí)根，即與的圖象在有兩個交點(diǎn).由圖象可知符合題意的的取值范圍為.17.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．（1）求角C；（2）若的周長為20，面積為，求邊c．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡，即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式可得，由余弦定理計(jì)算可得，結(jié)合計(jì)算即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理，得，，，又，得，所以，即，由，解得；【小問2詳解】由（1），得，則，由余弦定理，得，即，得.又，所以，即，即，解得.18.已知直三棱柱滿足，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）連接，，只需證明即可，由中位線定理結(jié)合線面平行的判定定理即可得證.（2）只需證明，即可，由等腰直角三角形性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)以及判定定理即可得證.（3）利用轉(zhuǎn)換法，只需求點(diǎn)到平面的距離和三角形的面積，由（2）的結(jié)論、點(diǎn)為的中點(diǎn)以及解直角三角形知識即可求解.【小問1詳解】如圖，連接，，四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，又