教案6概率與概率分布

教案6概率與概率分布?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)理解概率的基本概念，包括隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件等。掌握古典概型和幾何概型的概率計(jì)算方法。理解概率分布的概念，包括離散型概率分布和連續(xù)型概率分布。掌握常見(jiàn)離散型概率分布（如二項(xiàng)分布、泊松分布等）的概率計(jì)算及性質(zhì)。了解連續(xù)型概率分布（如正態(tài)分布）的特點(diǎn)及應(yīng)用。2.過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)實(shí)際案例分析，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在概率計(jì)算的過(guò)程中，鍛煉學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。通過(guò)對(duì)概率分布的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)學(xué)模型描述隨機(jī)現(xiàn)象的方法。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到概率在日常生活和科學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)概率的基本概念和計(jì)算方法。常見(jiàn)離散型概率分布的概率計(jì)算及性質(zhì)。正態(tài)分布的特點(diǎn)及應(yīng)用。2.教學(xué)難點(diǎn)古典概型和幾何概型中基本事件的確定及概率計(jì)算。離散型概率分布和連續(xù)型概率分布的區(qū)別與聯(lián)系。正態(tài)分布的概率計(jì)算及相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。

三、教學(xué)方法1.講授法：系統(tǒng)講解概率與概率分布的基本概念、原理和方法。2.案例分析法：通過(guò)實(shí)際案例分析，幫助學(xué)生理解和應(yīng)用概率知識(shí)。3.討論法：組織學(xué)生討論相關(guān)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作。4.多媒體教學(xué)法：利用多媒體課件展示教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性和趣味性。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）課程導(dǎo)入（5分鐘）通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的生活實(shí)例引入概率的概念。例如：拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，在拋之前我們無(wú)法確定具體的結(jié)果，這種現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象。概率就是研究隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性大小的數(shù)學(xué)分支。

（二）概率的基本概念（15分鐘）1.隨機(jī)事件定義：在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱(chēng)為隨機(jī)事件，通常用大寫(xiě)字母A、B、C等表示。舉例：明天是否會(huì)下雨、擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)等都是隨機(jī)事件。2.必然事件定義：在一定條件下，必然會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為必然事件，記為Ω。舉例：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必然會(huì)沸騰。3.不可能事件定義：在一定條件下，肯定不會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為不可能事件，記為?。舉例：擲骰子出現(xiàn)7點(diǎn)就是不可能事件。4.事件間的關(guān)系包含關(guān)系：若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱(chēng)事件B包含事件A，記作A?B。相等關(guān)系：若A?B且B?A，則稱(chēng)事件A與事件B相等，記作A=B。并事件（和事件）：事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱(chēng)為A與B的并事件，記作A∪B。交事件（積事件）：事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件稱(chēng)為A與B的交事件，記作A∩B或AB。互斥事件：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=?，則稱(chēng)事件A與事件B互斥。對(duì)立事件：若事件A與事件B互斥，且A∪B=Ω，則稱(chēng)事件A與事件B對(duì)立，記作B=A?，A=B?。

（三）概率的定義及性質(zhì)（20分鐘）1.概率的定義對(duì)于給定的隨機(jī)試驗(yàn)E，若對(duì)于每個(gè)事件A，都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，且滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：非負(fù)性：P(A)≥0；規(guī)范性：P(Ω)=1；可列可加性：對(duì)于兩兩互斥的事件A1，A2，...，有P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...。則稱(chēng)P(A)為事件A的概率。2.概率的性質(zhì)P(?)=0。若A1，A2，...，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)。設(shè)A，B是兩個(gè)事件，若A?B，則P(BA)=P(B)P(A)，且P(A)≤P(B)。對(duì)于任意事件A，有P(A?)=1P(A)。P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)。

通過(guò)具體的例子，如擲骰子的試驗(yàn)，讓學(xué)生練習(xí)運(yùn)用概率的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

（四）古典概型（20分鐘）1.古典概型的定義具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概型：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。2.古典概型的概率計(jì)算公式設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)基本事件，事件A包含m個(gè)基本事件，則事件A的概率為P(A)=m/n。

例1：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的概率。分析：樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6}，n=6。事件A={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}={1,3,5}，m=3。則P(A)=3/6=1/2。

例2：從含有5件次品的100件產(chǎn)品中任取3件，求恰有1件次品的概率。分析：從100件產(chǎn)品中任取3件的組合數(shù)為\(C_{100}^3\)，這是樣本空間的基本事件總數(shù)n。恰有1件次品的情況，先從5件次品中選1件，再?gòu)?5件正品中選2件，組合數(shù)為\(C_{5}^1×C_{95}^2\)，這是事件A包含的基本事件數(shù)m。則P(A)=\(\frac{C_{5}^1×C_{95}^2}{C_{100}^3}\)，通過(guò)計(jì)算得出具體概率值。

讓學(xué)生練習(xí)一些古典概型的題目，鞏固所學(xué)知識(shí)。

（五）幾何概型（15分鐘）1.幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概型。2.幾何概型的概率計(jì)算公式在幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式為P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）/試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）。

例3：在區(qū)間[0,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)小于5的概率。分析：試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為10，事件A={取到的數(shù)小于5}所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為5。則P(A)=5/10=1/2。

例4：在半徑為R的圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，求該點(diǎn)到圓心的距離小于R/2的概率。分析：試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積為\(πR^2\)，事件A={點(diǎn)到圓心的距離小于R/2}所構(gòu)成的區(qū)域面積為\(π(R/2)^2\)。則P(A)=\(\frac{π(R/2)^2}{πR^2}\)=1/4。

通過(guò)這些例子，讓學(xué)生理解幾何概型的特點(diǎn)及概率計(jì)算方法，并進(jìn)行相關(guān)練習(xí)。

（六）概率分布（20分鐘）1.概率分布的概念設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值為\(x_1,x_2,\cdots\)，X取各個(gè)值的概率\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)，則稱(chēng)\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率分布可以用概率密度函數(shù)f(x)來(lái)描述，滿(mǎn)足\(P(a<X≤b)=\int_{a}^f(x)dx\)。2.離散型概率分布的表示方法列表法：將X的取值和對(duì)應(yīng)的概率列成表格形式。公式法：用\(P(X=x_i)=p_i\)表示。3.離散型概率分布的性質(zhì)\(p_i≥0\)，\(i=1,2,\cdots\)；\(\sum_{i=1}^{\infty}p_i=1\)。

（七）常見(jiàn)離散型概率分布（30分鐘）1.兩點(diǎn)分布定義：若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)值0和1，其概率分布為\(P(X=1)=p\)，\(P(X=0)=1p\)（0<p<1），則稱(chēng)X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布。舉例：拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上記為1，反面朝上記為0，設(shè)X表示拋硬幣的結(jié)果，則X服從參數(shù)為0.5的兩點(diǎn)分布。2.二項(xiàng)分布定義：在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p（0<p<1），用X表示n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的概率分布為\(P(X=k)=C_{n}^kp^k(1p)^{nk}\)，\(k=0,1,\cdots,n\)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p)。性質(zhì)：\(E(X)=np\)；\(D(X)=np(1p)\)。

例5：某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的概率是0.8，他連續(xù)射擊4次，求擊中目標(biāo)次數(shù)X的概率分布。分析：這里n=4，p=0.8，X~B(4,0.8)。根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式分別計(jì)算\(P(X=0)\)，\(P(X=1)\)，\(P(X=2)\)，\(P(X=3)\)，\(P(X=4)\)的值。

例6：已知X~B(10,0.6)，求E(X)和D(X)。分析：根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式，可得E(X)=10×0.6=6，D(X)=10×0.6×(10.6)=2.4。

讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)掌握二項(xiàng)分布的概率計(jì)算及期望、方差的求解。3.泊松分布定義：設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,\cdots，且概率分布為\(P(X=k)=\frac{λ^ke^{λ}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，其中λ>0是常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記作X~P(λ)。泊松分布可作為二項(xiàng)分布的極限分布（當(dāng)n很大，p很小時(shí)，λ=np）。性質(zhì)：\(E(X)=λ\)；\(D(X)=λ\)。

例7：某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為0.8的泊松分布，求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次火災(zāi)的概率。分析：已知λ=0.8，根據(jù)泊松分布概率公式計(jì)算\(P(X=3)=\frac{0.8^3e^{0.8}}{3!}\)，得出具體概率值。

通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生理解泊松分布的應(yīng)用，并進(jìn)行相關(guān)計(jì)算練習(xí)。

（八）正態(tài)分布（30分鐘）1.正態(tài)分布的定義若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{\frac{(xμ)^2}{2σ^2}}\)，\(∞<x<+∞\)，其中μ，σ（σ>0）為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為μ，σ的正態(tài)分布，記作X~N(μ,σ^2)。2.正態(tài)分布的特點(diǎn)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)\(x=μ\)對(duì)稱(chēng)。在\(x=μ\)處達(dá)到峰值\(\frac{1}{\sqrt{2π}σ}\)。σ越大，曲線(xiàn)越"矮胖"，表示數(shù)據(jù)越分散；σ越小，曲線(xiàn)越"瘦高"，表示數(shù)據(jù)越集中。3.正態(tài)分布的概率計(jì)算對(duì)于正態(tài)分布X~N(μ,σ^2)，通過(guò)將其標(biāo)準(zhǔn)化，令\(Z=\frac{Xμ}{σ}\)，則Z~N(0,1)。計(jì)算\(P(a<X≤b)\)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為\(P(\frac{aμ}{σ}<Z≤\frac{bμ}{σ})\)，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到相應(yīng)概率值。

例8：已知X~N(1,4)，求\(P(1<X≤3)\)。分析：首先標(biāo)準(zhǔn)化，\(Z=\frac{X1}{2}\)。則\(P(1<X≤3)=P(\frac{11}{2}<Z≤\frac{31}{2})=P(0<Z≤1)\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得\(P(0<Z≤1)\)的值。

例9：設(shè)某地區(qū)成年男性的身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N(170,25)，求該地區(qū)成年男性身高在160cm至180cm之間的概率。分析：同樣先標(biāo)準(zhǔn)化，\(Z=\frac{X170}{5}\)。計(jì)算\(P(160<X≤180)=P(\frac{160170}{5}<Z≤\frac{180170}{5})=P(2<Z≤2)\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表并計(jì)算出概率值。

通過(guò)詳細(xì)講解和實(shí)例練習(xí)，讓學(xué)生掌握正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)及概率計(jì)算方法。

（九）課堂小結(jié)（10分鐘）1.回顧概率的基本概念，包括隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件等，以及事件間的關(guān)系和概率的性質(zhì)。2.總結(jié)古典概型和幾何概型的特點(diǎn)及概率計(jì)算方法。3.強(qiáng)調(diào)離散型概率分布和連續(xù)型概率分布的概念，以及常見(jiàn)離散型概率分布（兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布）的概率計(jì)算、性質(zhì)和應(yīng)用。4.概括正態(tài)分布的定義、特點(diǎn)、概率