初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專題08二次函數(shù)

專題08二次函數(shù)

閱讀與思考

二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，既有著應(yīng)用非常廣泛的豐富性質(zhì)，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，主

要知識(shí)與方法有：

1.二次函數(shù)解析式y(tǒng)ax2bxc的系數(shù)符號(hào)，確定圖象的大致位置.

bb4acb2

2.二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，拋物線的形狀僅僅與a有關(guān)，與（，）決定拋

2a2a4a

物線對(duì)稱軸與頂點(diǎn)的位置.

3.二次函數(shù)的解析式通常有下列三種形式：

①一般式：yax2bxc；

②頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xm)2n：；

③交點(diǎn)式：，其中，為方程2的兩個(gè)實(shí)根.

ya(xx1)(xx2)x1x2axbxc0

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)不同條件采用不同的設(shè)法，可使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷.

例題與求解

【例1】二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：①abc0；②bac；③

4a2bc0；④2c3b；⑤abmambm1.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（天津市中考試題）

解題思路：由拋物線的位置確定a，b，c的符號(hào)，解題關(guān)鍵是對(duì)相關(guān)代數(shù)式的意義從函數(shù)角度理解并

能綜合推理.

【例2】若二次函數(shù)yax2bxc(a≠0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過(guò)點(diǎn)（0，1）和（－1，0），

則Sabc的值的變化范圍是（）

A.0＜S＜1B.0＜S＜2C.1＜S＜2D.－1＜S＜1

（陜西省競(jìng)賽試題）

解題思路：設(shè)法將S表示為只含一個(gè)字母的代數(shù)式，求出相應(yīng)字母的取值范圍，進(jìn)而確定S的值的變化

范圍.

【例3】某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示的

坐標(biāo)系下經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）.

2

在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面10米，入水處距池邊的距離

3

為4米，同時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就

會(huì)失誤.

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）在某次試跳中，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿

3

勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為3米.此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.（河北省中考試題）

5

3

解題思路：對(duì)于（2），判斷此次跳水會(huì)不會(huì)失誤，關(guān)鍵時(shí)求出距池邊的水平距離為3米時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員

5

與跳臺(tái)的垂直距離.

【例4】如圖，在直角坐標(biāo)xOy中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（4，3），且在x軸上截得的線

段AB的長(zhǎng)為6.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在y軸上求作一點(diǎn)P（不寫作法），使PA＋PC最小，并求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在x軸的上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)Q，使得以Q，A，B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（泰州市中考試題）

解題思路：對(duì)于（1）、（2），運(yùn)用對(duì)稱方法求出A，B，P點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)于（3），由于未指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，需

分類討論.

【例5】如圖，已知邊長(zhǎng)為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE，其中AF＝2，BF＝1.試在AB

上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積.（遼寧省中考試題）

解題思路：設(shè)DN＝PM＝x，矩形PNDM的面積為y，建立y與x的函數(shù)關(guān)系式.解題的關(guān)鍵是：最

值點(diǎn)不一定是拋物線的頂點(diǎn)，應(yīng)注意自變量的取值范圍.

【例】將拋物線2沿軸翻折，得拋物線，如圖所示.

6c1:y13x3xc2

（）請(qǐng)直接寫出拋物線的表達(dá)式.

1c2

（）現(xiàn)將拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)從左到

2c1mMx

右依次為，；將拋物線向右也平移移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為，與軸

ABc2mNx

的交點(diǎn)從左到右依次為D，E.

①當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；

②在平移過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（江西省中考試題）

解題思路：把相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)用m的代數(shù)式表示，由圖形性質(zhì)建立m的方程.因m值不確定，故解題的

關(guān)鍵是分類討論.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.已知拋物線yx2(a2)x9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則a的值為__________.

.已知拋物線2與軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于，兩點(diǎn)，且＝，＝，

2yxbxcyAxBCBC2SABC3

則b＝____________.（四川省中考試題）

3.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示.

（1）這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y＝_________；

（2）當(dāng)x＝________時(shí)，y3；

（3）根據(jù)圖象回答，當(dāng)x_______時(shí)，y0.（常州市中考試題）

11

4.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)（，），且圖象與x軸的另一交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則該

24

二次函數(shù)的解析式為_______________.（安徽省中考試題）

5.二次函數(shù)yax2bxc與一次函數(shù)yaxc在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

ABCD

6.由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見(jiàn)到如下文字：已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0）……

求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是

（）

A.過(guò)點(diǎn)（3，0）B.頂點(diǎn)是（2，－2）

C.在x軸上截得的線段長(zhǎng)度是2D.與y軸的交點(diǎn)是（0，3）

（鹽城市中考試題）

7.如圖，拋物線yax2bxc與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE

＝BE，則下列關(guān)系式不能總成立的是（）（大連市中考試題）

..2..

Ab0BSABEcCac1Dac0

第7題圖第8題圖

8.如圖，某中學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面4米處高各有

一個(gè)掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，則校門的高為（精確到0.1米，水泥建筑物厚度

忽略不計(jì)）（）

A.9.2米B.9.1米C.9米D.5.1米

（吉林省中考試題）

9.如圖，是某防空部隊(duì)進(jìn)行射擊訓(xùn)練時(shí)在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖.在地面O，A兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得空

935

中固定目標(biāo)C的仰角分別為α和β，OA＝1千米，tanα＝,tanβ＝,位于O點(diǎn)正上方千米D

2883

點(diǎn)處的直升機(jī)向目標(biāo)C發(fā)射防空導(dǎo)彈，該導(dǎo)彈運(yùn)行到達(dá)距地面最大高度3千米時(shí)，相應(yīng)的水平距離為4

千米（即圖中E點(diǎn)）.

（1）若導(dǎo)彈運(yùn)行為一拋物線，求拋物線的解析式；

（2）說(shuō)明按（1）中軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)的理由.

（河北省中考試題）

10.如圖，已知△ABC為正三角形，D，E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)（不在頂點(diǎn)），∠BDE＝60°.

（1）求證：△DEC∽△BDA；

（2）若正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，并設(shè)DC＝x，BE＝y(tǒng)，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求BE最短

時(shí)，△BDE的面積.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB⊥OA且OB＝2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－1，2）.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求過(guò)點(diǎn)A，O，B的拋物線的解析式；

（）連結(jié)，在（）中的拋物線上求出點(diǎn)，使.(陜西省中考試題)

3AB2PSABPSABO

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2mxn經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（0，－3）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是

直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t；（1）分別求直線AB和

這條拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在第四象限，連結(jié)BM，AM，當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求△ABM的面積；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，M，B，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫

出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（南寧市中考試題）

B級(jí)

1.已知二次函數(shù)yx26xc的圖象頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為5，則c＝________.

2.如圖，四邊形ABCD是矩形，A，B兩點(diǎn)在x的正半軸上，C，D兩點(diǎn)在拋物線yx26x上.設(shè)

OA的長(zhǎng)為m(0＜m＜3).矩形ABCD的周長(zhǎng)為l，則l與m的函數(shù)解析式為__________________.

（昆明市中考試題）

第2題圖第3題圖第4題圖

3.如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，AB＋AC＝12，AD⊥BC，垂足為D（點(diǎn)D在邊BC上），且AD＝3，

當(dāng)AB的長(zhǎng)等于________時(shí),⊙O的面積最大，最大面積為___________.

.如圖，已知二次函數(shù)2與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)（－

4y1axbxc(a0)y2kxm(k0)A

，），（，），則能使成立的的取值范圍時(shí)______________.(杭州市中考試題)

24B82y1y2x

5.已知函數(shù)yax2bxc的圖象如下圖所示，則函數(shù)yaxc的圖象只可能是（）

（重慶市中考試題）

ABCD

6.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，則下列6個(gè)代數(shù)式：ab，ac，abc，abc，

2ab，2ab中，其值為正的式子個(gè)數(shù)為()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.4個(gè)以上

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

7.已知拋物線yax2bxc（a≠0）的對(duì)稱軸是x2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)則abc的值為（）

A.－1B.0C.1D.2

.已知二次函數(shù)2（）的對(duì)稱軸是，且當(dāng)時(shí)，二次

8yaxbxca0x2x12,x2,x30

函數(shù)的值分別時(shí)，那么的大小關(guān)系是（）

yy1,y2,y3y1,y2,y3

....

Ay1y2y3By1y2y3Cy2y1y3Dy2y1y3

4

9.已知拋物線ymx2(3m)x4與x軸交于兩點(diǎn)A，B，與y軸交于C點(diǎn)，若△ABC是等腰三角

3

形，求拋物線的解析式.（“新世紀(jì)杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

1

10.如圖，已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，－1），點(diǎn)P是拋物線yx2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

4

（1）判斷以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線y1的位置關(guān)系；

1

（2）設(shè)直線PM與拋物線yx2的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，連結(jié)NP，NQ，求證：∠PNM＝∠QNM.

4

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

11.已知函數(shù)yx2x12的圖象與x軸相交于相異兩點(diǎn)A，B，另一拋物線yax2bxc過(guò)點(diǎn)A，

B，頂點(diǎn)為P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c的值.（天津市競(jìng)賽試題）

12.如圖1，點(diǎn)P是直線l:y2x2上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的另一條直線m交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn).

13

（1）若直線m的解析式為yx，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

22

（2）如圖2，①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，t），當(dāng)PA＝AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；②試證明：對(duì)于

直線l上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到點(diǎn)A，使得PA＝AB成立；

（3）如圖3，設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC＝∠OCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（武漢市中考試題）

圖1圖2圖3

專題08二次函數(shù)

例1C．

提示：③④⑤成立．

bb

對(duì)于④，當(dāng)x＝－l時(shí)，y＝abc＜0，∴ac＜b．又∵＝1，則a＝代入上式，得2c

2a2

＜3b；

2

對(duì)于⑤，當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝abc，∴abc＞ambmc，則ab＞m(amb)（m≠1）．

例2B．

提示：S＝2b，b＞0，b＝a1，a＜0．

2510

例3（1）O（0，0），B（2，—10），y＝x2x．

63

38161614

（2）x＝32＝時(shí)，y＝，此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為10－＝＜5，故此次試跳會(huì)

55333

出現(xiàn)失誤．

3

例4（1）y＝(x4)23；

9

3

（2）P（0，）；

5

（3）由點(diǎn)點(diǎn)A（l，0），C（4，3），B（7，0）得∠BAC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝120°．

①若以AB為腰，∠BAQ為頂角，使△ABQ∽△CBA，則Q（－2，33）；

②若以BA為腰，∠ABQ′為頂角，由對(duì)稱性得另一點(diǎn)Q′（10，33）；

③若以AB為底，AQ、BQ為腰．則Q點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，舍去．

NPBCBFNP31111

例5由＝，得＝，∴NP＝x5，∴y＝x(x5)＝(x5)212.5（2

CNAF4x2222

1

≤x≤4）．∵y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值為(45)212.5＝12．

2

例6（l）y＝3x23．

2

（2）①令3x3＝0，得x1＝－1，x2＝1，則拋物線c1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0），

（1，0）．∴A（1m，0），B（1m，0）．同理可得D（1m，0），E（1m，0）．當(dāng)

1111

AD＝AE時(shí)，如圖1，(1m)(1m)＝(1m)(1m)，∴m＝．當(dāng)AB＝AE

3323

11

時(shí)，如圖2，(1m)(1m)＝(1m)(1m)，∴m＝2．∴當(dāng)m＝或2時(shí)，B、

32

D是線段AE的三等分點(diǎn)．

y

y

M

M

D

AOBExABOEx

②存在．連結(jié)AN、NE、EM、MA，依題意可得M（m，3），N（m，3），即M、N關(guān)于

原點(diǎn)O對(duì)稱，∴OM＝ON．∵A（1m，0），E（1m，0）．∴A、E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴

OA＝OE．∴四邊形ANEM為平行四邊形．要使平行四邊形ANEM為矩形，必須滿足OM＝OA，

2

即m2(3)2＝(1m)，∴m＝1．∴當(dāng)m＝1時(shí)，以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形．

A級(jí)

1．－2，4或－8．

2．－4

3．（l）x22x；（2〉3或－1；（3）x＜0或x＞2．

11

4．y＝x2x或y＝x2x．

33

提示：另一交點(diǎn)為（－1，0）或（1，0）．

5．D．

6．B．

7．D．

8．B．

12

9．（1）y＝x2x

123

5912

2C7,在拋物線上,故導(dǎo)彈能擊中目標(biāo).10.1略2yxx6

346

927

0x6.當(dāng)x=3時(shí),BE=y最短,其值為,此時(shí)SSSS3

2BDEABCABDCDE8

13

11.1B4,2,2yx2x3由題意知ABx軸.設(shè)P到AB距離為d,則

22

1113

SABdOBAO,d2P的縱坐標(biāo)只能是0或4,令y=0,得x2x=0

ABP2222

341

x0,x3.符合條件的點(diǎn)為P0,0,P3,0.同理,當(dāng)y=4的時(shí)候,x

12122

綜上符合條件的點(diǎn)有4個(gè)P341341

:10,0,P23,0,P3,4,P4,4

22

12.1yx3,yx22x32設(shè)Pt,t3,則Mt,t22t30t3

2

223939

則PMt3t2t3t3tt當(dāng)t時(shí),PM有最大值,

2424

127321321

此時(shí)SPMOA3點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

ABM2822

B級(jí)1.13或52.ｌ＝-2m2+8m+123.636提示:設(shè)O半徑為y,AB長(zhǎng)為x,則

1

yx22x3x9.4.x2或x85.B6.A7.B8.B9.當(dāng)x0

6

時(shí)當(dāng)24時(shí)解得4即拋物線與軸的交點(diǎn)

,y4;mx3mx40,m0,x13,x2,y

33m

44

若AC=BC,由=－3,得m=－,

4?

C0,4,與x軸的2個(gè)交點(diǎn)為A3,0B,0.3m9

3m

4

yx24;?

9

41211122

若ACAB,由35,得m,mx2,yx2x4或yx2x4

3m16236633

2

若由424得88244故所求

3ACBC,34,m1,yxx4

3m3m7721

拋物線的解析式有上述三個(gè).

22

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為12則2121212

10.1Px0,x0,PMx0x01x01x01.

4444

11

又點(diǎn)P到直線y1的距離為x21=x21,以點(diǎn)P為圓心,PM為半徑的圓

4040

與直線y1相切.2如圖,分別過(guò)點(diǎn)P,Q作直線y1的垂線垂,足分別為H,R由.

1知PHPM,同理可得QMQR,PH,MN,QR都垂直于直線y1,PHMN

QM