陜西省西安市部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期3月模考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

高三數(shù)學(xué)考試注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題果上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題本題共8小薄，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知純虛數(shù)，則（）A.3 B.4 C.5 D.63.我國文化體育事業(yè)蓬勃發(fā)展，正從體育大國向體育強(qiáng)國的目標(biāo)持續(xù)邁進(jìn).中國代表隊在歷屆夏季奧運(yùn)會獲得的金牌數(shù)依次為15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，則這11屆夏季奧運(yùn)會中國代表隊獲得的金牌數(shù)的第40百分位數(shù)為（）A16 B.26 C.28 D.324.已知命題；命題，則（）A.p和都是真命題 B.和都是真命題C.p和q都是真命題 D.和q都是真命題5.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外離 C.外切 D.內(nèi)含6.已知過拋物線的焦點的直線與交于兩點，若，則點的橫坐標(biāo)為（）A.2 B.4 C.5 D.67.已知，函數(shù)的最小正周期為，若，且的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若函數(shù)的四個零點從小到大排列依次為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)滿足：對任意，都有，且當(dāng)時，．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.10.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，下列說法正確的是（）A.若C漸近線的斜率為，則C的離心率為B.若C漸近線方程為，且點在C上，則C.過的直線與C的右支相交于A，B兩點，若，則C的離心率為D.若C的左、右頂點分別為M，N，P是異于M，N的一點，則直線的斜率之積為11.已知長方體內(nèi)有一小球，小球與平面、平面、平面均相切，為小球上一點，點到平面ABD的距離和點到平面的距離均為，點到平面的距離為，則小球的半徑為（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，且，則_________.13.已知正四棱錐的底面邊長為6，體積為48，則該四棱錐的側(cè)面積為_________.14.若M是曲線上任意一點，則點M到直線的最小距離為_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程；（2）若在上是減函數(shù)，求a的取值范圍．16.在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知R是該三角形外接圓的半徑，且．（1）求角C；（2）若的面積為S，求的取值范圍．17.某商場舉行促銷活動，顧客凡是購買一袋指定的大米都可以抽一次獎，一袋大米的價格為元，每次抽獎只抽張獎券，每張獎券上有個不同的號碼，每個號碼只能是未中獎或中獎一次，從回收的張獎券中，記錄并整理這些獎券的情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：中獎次數(shù)張數(shù)當(dāng)一張獎券中中獎號碼不大于個時，兌換金額是每個中獎號碼元；當(dāng)中獎號碼是個時，兌換金額是每個中獎號碼元；當(dāng)中獎號碼是個時，兌換金額是每個中獎號碼元．假設(shè)不同獎券的中獎情況是相互獨立的，用頻率估計概率．（1）估計一張獎券的中獎號碼個數(shù)不少于的概率．（2）假設(shè)一袋米的進(jìn)價為元，一張獎券的毛利潤定義為一袋大米的利潤與一張獎券中獎金額之差．（i）記為一張獎券的毛利潤（單位：元），估計的數(shù)學(xué)期望；（ii）若沒中獎的大米售價減少，中獎的大米售價增加，在這種情況下，一張獎券毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計值不小于（i）中的估計值，求的最小值．18.如圖，在五面體中，菱形的邊長為，，.（1）證明：且.（2）求五面體體積的最大值.（3）當(dāng)五面體的體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，對于曲線C上任意一點，總存在點滿足關(guān)系式（），則曲線C變換為曲線，稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，記為．已知曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線．（1）求曲線方程．（2）已知過點的直線與曲線交于點（點在軸上方），曲線與軸的左、右兩個交點分別為，設(shè)直線的斜率分別為．（i）是否存在常數(shù)t，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（ii）若直線與交于點，試求點的軌跡方程．

高三數(shù)學(xué)考試注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題果上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題本題共8小薄，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】解不等式求得集合，進(jìn)而求得.【詳解】，所以，所以.故選：D2.已知是純虛數(shù)，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，應(yīng)用復(fù)數(shù)是純虛數(shù)得出，再應(yīng)用模長公式計算求解.【詳解】因為是純虛數(shù)，所以且不等于3，所以，則.故選：C.3.我國文化體育事業(yè)蓬勃發(fā)展，正從體育大國向體育強(qiáng)國的目標(biāo)持續(xù)邁進(jìn).中國代表隊在歷屆夏季奧運(yùn)會獲得的金牌數(shù)依次為15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，則這11屆夏季奧運(yùn)會中國代表隊獲得的金牌數(shù)的第40百分位數(shù)為（）A.16 B.26 C.28 D.32【答案】B【解析】【分析】由百分位數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為5，15，16，16，26，28，32，38，39，40，48.因為，所以這11屆夏季奧運(yùn)會中國代表隊獲得的金牌數(shù)的第40百分位數(shù)是第五個數(shù)26.故選：B4.已知命題；命題，則（）A.p和都是真命題 B.和都是真命題C.p和q都是真命題 D.和q都是真命題【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判斷的真假，利用基本不等式及正弦函數(shù)的最大值判斷.【詳解】當(dāng)時，成立，所以真命題；因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，而，所以為真命題,所以都是假命題.故選：C5.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外離 C.外切 D.內(nèi)含【答案】A【解析】【分析】先寫出圓的圓心及半徑，再根據(jù)圓心間距離和半徑的關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓O與圓M的半徑分別為1，4，圓心坐標(biāo)分別為，則，故圓O與圓M的位置關(guān)系是內(nèi)切.故選：A.6.已知過拋物線焦點的直線與交于兩點，若，則點的橫坐標(biāo)為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到，再根據(jù)得到，可求出，代入拋物線方程即可求解.【詳解】由題意，焦點，設(shè)直線，聯(lián)立可得，設(shè)，則，因為，即，所以，即，所以，解得，則.所以，點的橫坐標(biāo)為4.故選：B.7.已知，函數(shù)的最小正周期為，若，且的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由及的圖象關(guān)于直線對稱得出，即可求解．【詳解】由，得，解得，因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，所以，則，故選：A．8.已知函數(shù)，若函數(shù)的四個零點從小到大排列依次為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】條件可轉(zhuǎn)化為以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點，作函數(shù)的圖象，觀察圖象可得，，結(jié)合條件及對勾函數(shù)性質(zhì)求的范圍可得結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)有四個零點，所以方程有四個根，所以方程有四個根，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點，作函數(shù)的圖象可得觀察圖象可得，，且，所以，所以，所以，故，令可得，，故，所以，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，所以的取值范圍為，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)滿足：對任意，都有，且當(dāng)時，．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則可得A，再逐個計算至可判斷BCD選項.【詳解】因，則，故A正確；因，，且，則，，，同理可得，，，，，，，故，故B正確，C正確；，故D錯誤；故選：ABC.10.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，下列說法正確的是（）A.若C的漸近線的斜率為，則C的離心率為B.若C的漸近線方程為，且點在C上，則C.過的直線與C的右支相交于A，B兩點，若，則C的離心率為D.若C的左、右頂點分別為M，N，P是異于M，N的一點，則直線的斜率之積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線斜率公式即可判斷A；由雙曲線漸近線方程及求得雙曲線方程即可判斷B；由雙曲線的定義及勾股定理得出齊次式即可判斷C；設(shè)，由斜率公式及雙曲線方程即可判斷D．【詳解】對于A，由C的漸近線方程為，則，所以C的離心率為，故A正確；對于B，由C的漸近線方程為，設(shè)，又點在C上，所以，即，所以，故B錯誤；對于C，過點的直線與的右支相交于兩點，不妨設(shè)，若，則，由勾股定理得，解得，故，在直角三角形中，由勾股定理得，即，所以，故C正確；對于D，設(shè)，則，即，又，所以，故D正確；故選：ACD．11.已知長方體內(nèi)有一小球，小球與平面、平面、平面均相切，為小球上一點，點到平面ABD的距離和點到平面的距離均為，點到平面的距離為，則小球的半徑為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點和球心的坐標(biāo)，利用空間中兩點間距離公式得到關(guān)于半徑的方程，求解即可.【詳解】如圖，以點坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，點的坐標(biāo)為，設(shè)小球的半徑為，則球心，則，整理可得，即，解得或.所以，小球的半徑為或.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，且，則_________.【答案】【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】由已知條件可得，得.故答案為：13.已知正四棱錐的底面邊長為6，體積為48，則該四棱錐的側(cè)面積為_________.【答案】60【解析】【分析】由體積公式求出高，再由勾股定理求出斜高，然后可得側(cè)面積.【詳解】設(shè)正四棱錐的邊長為，高為，斜高為，由題意可得，所以斜高，所以該四棱錐的側(cè)面積為.故答案為：60.14.若M是曲線上任意一點，則點M到直線的最小距離為_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)與直線平行的直線與曲線相切于點，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合題意求出切點坐標(biāo)，再由點到直線的距離公式計算即可.【詳解】由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，則作出和圖像如圖：則曲線上任意一點M到直線最小距離，即為斜率為3的切線的切點到直線的距離；設(shè)與直線平行的直線與曲線相切于點，因為，所以，即，解得或（舍去），所以，即切點為，所以切點到直線的距離為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程；（2）若在上是減函數(shù)，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求，則切線方程為即可求解；（2）先求，由即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以，，，所以，即，所以切線方程為；【小問2詳解】因為，由在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，所以，所以或，所以16.在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知R是該三角形外接圓的半徑，且．（1）求角C；（2）若的面積為S，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，由此求得.（2）將轉(zhuǎn)化為角的形式，由此求得取值范圍.【小問1詳解】依題意，，，由正弦定理得，所以，，所以，所以為銳角，且.【小問2詳解】，由于三角形是銳角三角形，所以，所以，所以，所以的取值范圍是.17.某商場舉行促銷活動，顧客凡是購買一袋指定的大米都可以抽一次獎，一袋大米的價格為元，每次抽獎只抽張獎券，每張獎券上有個不同的號碼，每個號碼只能是未中獎或中獎一次，從回收的張獎券中，記錄并整理這些獎券的情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：中獎次數(shù)張數(shù)當(dāng)一張獎券中中獎號碼不大于個時，兌換金額是每個中獎號碼元；當(dāng)中獎號碼是個時，兌換金額是每個中獎號碼元；當(dāng)中獎號碼是個時，兌換金額是每個中獎號碼元．假設(shè)不同獎券的中獎情況是相互獨立的，用頻率估計概率．（1）估計一張獎券的中獎號碼個數(shù)不少于的概率．（2）假設(shè)一袋米的進(jìn)價為元，一張獎券的毛利潤定義為一袋大米的利潤與一張獎券中獎金額之差．（i）記為一張獎券的毛利潤（單位：元），估計的數(shù)學(xué)期望；（ii）若沒中獎的大米售價減少，中獎的大米售價增加，在這種情況下，一張獎券毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計值不小于（i）中的估計值，求的最小值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）的最小值為.【解析】【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)求出回收的獎券中一張獎券的中獎號碼個數(shù)不少于的頻率，再根據(jù)頻率與概率的關(guān)系求結(jié)論；（2）（i）由條件確定隨機(jī)變量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得的分布列，再求的數(shù)學(xué)期望，（ii）由條件再求隨機(jī)變量的分布列及其期望，列不等式求的最小值.【小問1詳解】由已知回收的張獎券中中獎號碼個數(shù)不少于的獎券的數(shù)量為，所以回收的張獎券中一張獎券的中獎號碼個數(shù)不少于的頻率為，所以估計一張獎券的中獎號碼個數(shù)不少于的概率，【小問2詳解】（i）由已知的可能取值有，，，，，且，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，（ii）隨機(jī)變量的可能取值有，，，，，且，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，由已知，所以，所以，所以，所以的最小值為.18.如圖，在五面體中，菱形的邊長為，，.（1）證明：且.（2）求五面體體積的最大值.（3）當(dāng)五面體的體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知證得平面，即可證得；取的中點，的中點，連接，，，可得，進(jìn)而得平面，則，即可證得；（2）分別作，，垂足分別為，，連接，，，，由已知和（1）中結(jié)論，可得，設(shè)，可得五面體的體積為，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可；（3）（方法一）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求出平面和平面的一個法向量，利用公式即可求得兩個平面夾角的余弦值.（方法二）過點作于，過點作于，連接，可得平面，則，可得平面，則，則為平面與平面的夾角，在中，由三角函數(shù)定義求出，進(jìn)而求得其余弦值.【小問1詳解】在菱形中，，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以.取的中點，的中點，連接，，，則，所以，故，，，四點共面，因為，，所以，，即，因為四邊形為梯形，所以與相交，所以平面，又平面，所以，而，所以.【小問2詳解】分別作，，垂足分別為，，連接，，，，由（1）知，則，又，，平面，所以平面，同理平面.因為菱形的邊長為，，為的中點，為的中點，，則，，又，所以四邊形是等腰梯形，由對稱性可知設(shè)，則，，所以，所以，，所以五面體的體積為，