初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專題13 旋轉(zhuǎn)變換

專題13旋轉(zhuǎn)變換（錄入：王云峰）

閱讀與思考

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形變換稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定

點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫旋轉(zhuǎn)角．

旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大?。ㄟ^旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向轉(zhuǎn)動(dòng)同

樣大小的角度．旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形有下列性質(zhì)：

（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角；

（3）對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段的垂直平分線都經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心．

例題與求解

【例1】如圖，邊長為1的正△A1B1C1的中心為O，將正△A1B1C1繞中心O旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2，使得

A2B2丄B1C1，則兩個(gè)三角形的公共部分（即六邊形ABCDEF）的面積為＿＿．

（“新知杯”上海市競(jìng)賽試題）

解題思路：S六邊形ABCDEF＝S3S，解題的關(guān)鍵是尋找CB1，CB2，CD，C1D之間的關(guān)系．

A2B2C2B2CD

AA1

2A

F

BO

C2

B1E

C

DC1

B2

【例2】如圖，已知△AOB，△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CQD＝90°，N，M，Q，P分

別為AB，CB，CD，AD的中點(diǎn)．

求證：四邊形NMQP為正方形．

解題思路：連結(jié)BD，AC，并延長AC交于點(diǎn)E，則△OAC可以看作是由△OBD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得到的，且∠AED＝90°，這是證明本例的關(guān)鍵．

B

M

NE

C

Q

PD

A

O

【例3】如圖，巳知在△ABC中，AB＝AC，P為形內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB＜∠APC．

求證：PB＞PC．（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：以A為中心，將△APB旋轉(zhuǎn)一個(gè)∠BAC，使AB邊與AC邊重合，這時(shí)△APB到了△AP'C

的位置．

A

P

P

BC

【例4】點(diǎn)B，C，E在同一直線上，點(diǎn)A，D在直線CE的同側(cè)，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠

CED，直線AE，BD交于點(diǎn)F．

（1）如圖1，若∠BAC＝60°，則∠AFB＝＿＿＿＿；如圖2，若∠BAC＝90°，則∠AFB＝＿＿＿＿；

（2）如圖3，若∠BAC＝，則∠AFB＝＿＿＿＿（用含的式子表示）；

（3）將圖3中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，B重合），得圖4或圖5．在圖4中，∠AFB

與∠的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿；在圖5中，∠AFB與∠的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿．

請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明．（武漢市中考試題）

D

DD

AA

FF

AF

BCEBCEBCE

圖1圖2圖3

D

D

F

A

FBQ

A

CE

CE

B

圖4圖5

解題思路：從特殊到一般，在動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，有兩組不變的關(guān)系：△ABC∽△EDC，△BCD∽

△ACE，這是解本例的關(guān)鍵．

【例5】如圖，已知凸五邊形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝2∠DBE．

求證：∠ABC＝60°．（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：將△ABE以B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC，使得AB與BC重合，落在△CBE'位置，

則△ABE≌△CBE′，AE＝CE′，BE＝BE′，∠CBE′＝∠ABE．

E

A

BD

C

E

【例6】如圖，已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A，B，C三點(diǎn)的距離之和的最小值為26，求此正

方形的邊長．（廣東省競(jìng)賽試題）

解題思路：本例是費(fèi)馬點(diǎn)相關(guān)的問題的變形，解題的關(guān)鍵是確定最小值時(shí)E點(diǎn)的位置，通過旋轉(zhuǎn)變

換，把EA，EB，EC連結(jié)起來．

AD

E

BC

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．如圖，巳知正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE＝2，EC＝1，把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落

在直線BC上的點(diǎn)F處，則F，C兩點(diǎn)的距離為＿＿＿＿．（上海市中考試題）

B

ADE

PA

D

P

BC

BC

AC

第1題第2題第3題

2．如圖，P是正△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，

得到△P'AB，則點(diǎn)P與點(diǎn)P'之間的距離為＿＿＿＿，∠APB＝＿＿＿＿．

（青島市中考試題）

3．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°．將CD以點(diǎn)D

為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連結(jié)AE，則△ADE的面積是＿＿＿＿．

4．如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2CD．把△ABC繞著

點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m（0＜m＜180）度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m＝＿＿＿＿．

（上海市中考試題）

ACB

BBA

G

DF

K

DAH

CP

CB

DDEC

第4題第5題第6題

5．如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB'C'D′的位置，則這兩個(gè)正

方形重疊部分的面積是＿＿＿＿．

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

6．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm．以斜邊BC上距離點(diǎn)B6cm的點(diǎn)P為

中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形重疊部分的面積為＿＿＿．

（黃岡市競(jìng)賽試題）

7．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C，設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（）

A．（a，b）B．（a，b1）C．（a，b1）D．（a，b2）

（河南省中考試題）

y

A

B

A

A

Ox

C

PP

A

BBCBC

第7題第8題第9題

8．如圖，已知P是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠APB︰∠BPC︰∠CPA＝5︰6︰7．則以PA，PB，PC

為邊的三角形的三個(gè)角的大小之比（從小到大）是（）

A．2︰3︰4B．3︰4︰5C．4︰5︰6D．不能確定

（全國初中數(shù)學(xué)通訊賽試題）

9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則（）

A．PA＋PB＋PC＜AB＋AC

B．PA＋PB＋PC＞AB＋AC

C．PA＋PB＋PC＝AB＋AC

D．PA＋RB＋PC與AB＋AC的大小關(guān)系不確定

（武漢市競(jìng)賽試題）

10．已知：如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF＝2OA，

OE＝2OD．連結(jié)EF，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到△F′OE′（如圖2）．

E

FE

FAD

AD

OO

BCBC

圖1圖2

（1）探究A'E與BF′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（2）當(dāng)＝30°時(shí)，求證：△AOE'為直角三角形．

（南通市中考試題）

11．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝，點(diǎn)M，N分別是BE，CF

的中點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上（如圖1），則AM與AN的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿

＿，∠MAN與的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿＿；

（2）將圖1中的△DEF繞點(diǎn)A（D）旋轉(zhuǎn)（如圖2），第（1）問的兩個(gè)結(jié)論是否仍成立？若成立，

請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

BME

MBF

E

N

CNFA(D)CA(D)

圖1圖2

B級(jí)

1．如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，∠MDN＝

60°，則△AMN的周長＝＿＿＿＿．

（重慶市競(jìng)賽試題）

Ay

C

M

N

BC

Ox

DBNMA

第1題第2題第3題

2．如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN＝45°，記AM＝m，MN＝x，BN

＝n，則以線段x，m，n為邊長的三角形的形狀是（）

A．銳角三角形B．直角三角形

C．鈍角三角形D．隨x，m，n的變化而變化

（安徽省競(jìng)賽試題）

4

3．如圖，直線y＝x4與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后

3

得到△AO'B'，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）

A．（3，4）B．（4，5）C．（7，4）D．（7，3）

（麗水市中考試題）

4．如圖，正方形ABCD中，已知AB＝3，點(diǎn)分別在BC，CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，

求△AEF的面積．

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

A

A

AD

FPD

BDB

CC

BC圖①圖②

E

第4題第5題

5．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．

求證：BC＋DC＝AC；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD＝

120°，求證：PA＋PD＋PC≥BD．

（江蘇省競(jìng)賽試題）

6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE是正三角形，點(diǎn)D在邊BC上，已知BD

︰DC＝2︰3，當(dāng)△ABC的面積是50cm2時(shí)，求△ADE的面積．

（日本數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

C

A

O

EP

BC

DAB

第6題第7題

7．如圖，已知O是銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AQB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC內(nèi)任一

點(diǎn)．求證：PA＋PB＋PC≥OA＋OB＋OC．

（杭州市競(jìng)賽試題）

8．（1）如圖1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B，C，G在同一條直線上，M為

線段AE的中點(diǎn)．探究：線段MD，MF的關(guān)系；

（2）如圖2，若將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，使得正方形CGEF的對(duì)角線CE在正方形

ABCD的邊BC的延長線上，M為AE的中點(diǎn)．試問：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖3，若將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，M為AE的中點(diǎn)．試問：第（1）問中探究

的結(jié)論是否成立？

（大連市競(jìng)賽試題）

FAD

DF

FEA

MB

AMC

DBE

CM

BG

CE

圖1GG

圖2圖3

9．已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°．按圖1的位置，使點(diǎn)F在BC上，

取DF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，CG．

（1）探索EG，CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；

（2）將圖中△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再連結(jié)DF，取DF中點(diǎn)G（如圖2），第（1）問中的結(jié)

論是否仍然成立？請(qǐng)你證明；

（3）將圖1中△BEF繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度（在0°～90°之間），再連結(jié)DF，取DF的中點(diǎn)G（如圖

3），第（1）問中的結(jié)論是否仍成立？不必證明．

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