初中數(shù)學自主招生難度講義-7年級專題29歸納與猜想（解析版）

專題29歸納與猜想

閱讀與思考

當一個問題涉及相當多的乃至無窮多的情形時，可從問題的簡單情形或特殊情況人手，通過對簡

單情形或特殊情況的試驗，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法，這種

研究問題的方法叫歸納猜想法.

歸納是建立在細致而深刻的觀察基礎上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開始的，觀察是解決問題的先導，解

題中的觀察活動主要有三條途徑：

1．數(shù)與式的特征觀察．

2．幾何圖形的結構觀察．

3．通過對簡單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況.

需要注意的是，用歸納猜想法得到的結果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是失敗

的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫成無懈可擊的證明．

【例1】下圖是飛行棋的一顆骰子，根據(jù)圖中A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“？”處的數(shù)

字是___________.

（“東方航空杯”上海市競賽試題）

(A)(B)(C)

解題思路：認真觀察A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷。

【例2】如圖，依次連結第一個正方形各邊的中點得到第二個正方形，再依次連結第二個正方形各

邊的中點得到第三個正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個正方形邊長為1，則第n個正方形的面積是

____．

（湖北省武漢市競賽試題）

解題思路：從觀察分析圖形的面積入手，先考察n＝1，2，3，4時的簡單情形，進而作出猜想．

【例3】如圖，平面內有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆

時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，…．

(1)“17”在射線____上．

(2)請任意寫出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律．

(3)“2007”在哪條射線上？

（貴州省貴陽市中考試題）

解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)每條射線上的數(shù)除以6的余數(shù)相同．

【例4】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：

1121231234123451

，，，，，，，，，，，，，，，，…(※)

1213214321543216

2

(1)在(※)中，從左起第m個數(shù)記為F(m)，當F(m)＝時，求m的值和這m個數(shù)的積．

2001

(2)在(※)中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c．它后面的一個數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個數(shù)c

和d，使cd＝2001000?如果存在，求出c和d；如果不存在，請說明理由．

（湖北省競賽試題）

解題思路：按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對原數(shù)列恰當分組，明確每組中數(shù)的個數(shù)與分母的

關系、未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關鍵，

2＋32＋57

【例5】在2,3兩個數(shù)之間，第一次寫上＝5，第二次在2.5之間和5，3之間分別寫上＝和

122

5＋3

＝4，如圖所示：

2

1

第k次操作是在上一次操作的基礎上，在每兩個相鄰的數(shù)之間寫上這兩個數(shù)的和的．

k

(1)請寫出第3次操作后所得到的9個數(shù)，并求出它們的和．

(2)經(jīng)過k次操作后所有的數(shù)的和記為Sk，第k＋1次操作后所有數(shù)的和記為

Sk＋1，寫出Sk＋1與Sk之間的關系式．

(3)求S6的值．

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9個數(shù)，再把它們相加即可．

(2)找到規(guī)律，即毒次操作幾個數(shù)的時候，除了頭尾兩個數(shù)2和3之外，中間的

n－2個數(shù)均重復計算了2次，用Sk表示出Sk＋1

(3)根據(jù)(1)，(2)可算出S6的值．

能力訓練

1．有數(shù)組(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，…，則第100組的三個數(shù)之和為．

（廣東省廣州市競賽試題）

2．如圖有一長條型鏈子，其外形由邊長為1cm的正六邊形排列而成．其中每個黑色六邊形與6個

白色六邊形相鄰，若鏈子上有35個黑色六邊形，則此鏈子有________個白色六邊形．

（01年“實中杯”數(shù)學競賽試題）

23

3．按一定規(guī)律排列的一串數(shù)：

112312345123

．－，，－，，－，，－，，－，，－，…中，第98個數(shù)是__________.

133355555777

（山東省競賽試題）

4．給出下列麗列數(shù)

2，4，6，8，10,…，1994

6，13,20,27,34,…，1994

則這兩列數(shù)中，相同的數(shù)的個數(shù)是()．

A．142B．143C．284

（浙江省競賽試題）

5．如圖，∠AOB＝45°，對OA上到點Ｏ的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點作OA的垂線

且與OB相交，得到并標出一組黑色梯

形，面積分別為S1，S2，S3，…，則S10＝.

6．一條直線分一張平面為兩部分，二條直線最多分一張平面為4部分，設五條直線最多分平面為

ｎ部分，則n等于()

A．16B．18Ｃ．24D．31

（北京市“迎春杯”競賽試題）

7．觀察下列正方形的四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律．那么2013這個數(shù)標在()．

A．第503個正方形的左下角B．第503個正方形的右下角

C．第504個正方形的左下角D．第504個正方形的右下角

（01年江省衢江市競賽試題）

23浙

8．自然數(shù)按下表的規(guī)律排列：

(1)求上起第10行，左起第13列的數(shù)．

(2)數(shù)127應在上起第幾行，左起第幾列．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

9．一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩

個數(shù)的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…

問：這串數(shù)的前100個數(shù)中（包括第100個數(shù)）有多少個偶數(shù)？

（“華羅庚金杯”競賽試題）

10.將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要

畫多少條直線？請說明理由．

（“五羊杯”競賽試題）

11.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：

1－1

第1個數(shù)：－(1＋)；

22

111213

第2個數(shù)：111；

3234

1112131415

第3個數(shù)：11111；

423456

…

11121312n1

第n個數(shù)：1111．

n12342n

那么，在第10個數(shù)，第11個數(shù)，第12個數(shù)，第13個數(shù)中，最大的數(shù)是哪一個？

12.有依次排列的3個數(shù)：3，9，8．對任相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之

差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，6，9，－1，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操

作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，3，6，3，9，－10,－1，9，8，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串3，9，8

開始操作第一百次以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？

專題29歸納與猜想

例16提示：5的對面是2，4的對面是3，1的對面是6．

1111111

例2提示：S＝1，S＝，S＝，S＝，進而推出S＝．

2n112234224823n2n1

例3（1）OE

（2）射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－5（n為自然數(shù)，下同）；射線OB上數(shù)字的排列規(guī)律：6n

－4；射線OC上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－3；射線OD上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－2；射線OE上數(shù)字的

排列規(guī)律：6n－1；射線OF上數(shù)字的排列規(guī)律：6n．

（3）在6條射線的數(shù)字規(guī)律中，只有6n－3＝2007有整數(shù)解，解圍n＝335，故“2007”在射線OC

上．

112123123412345

例4（1）可分組為（），（，），（，，），（，，，），（，，，，）…，

121321432154321

2

可知各組數(shù)的個數(shù)依次為1，2，3，…．當F（m）＝時，m＝（1＋2＋…＋2001）＋2＝2003003，

2001

1

這2003003個數(shù)的積為．

2003001

117177

例5（1）第3次操作后所得到的9個數(shù)為：2，，，，5，3，4，，3．

6263

11717755

它們的和為2＋＋＋＋5＋3＋4＋＋3＝．

62632

2SSk3S5k35

（2）由條件知S＝5，則S＝S＋k0＝k＝S－．

0k1kk1k1k1kk1

55657585145

（3）因S＝．故S＝S－＝40；S＝S－＝55，S＝S－＝．

324434554566562

【能力訓練】

1．1010100

2．142提示：若有n個黑色六邊形，則白色六邊形個數(shù)為4n＋2．故＝35時，4n＋2＝4×35＝142

個．

17

3．4．B

19

5．76黑色梯形的規(guī)律明顯：每個梯形的高都為2，上底分別對OA上的1，5，9，…，下底分別對應

OA上的3，7，11，…．而上、下底的長度恰好和它在OA上對應的數(shù)值是一樣的．以上底為例，1

＝1，5＝1＋4×1，9＝1＋4×2，…，故第10個梯形的上底對應OA上的數(shù)為1＋4×9＝37，下底

37392

的長正好為39，于是S＝＝76．

102

6．A

7．D提示：2013÷4＝503……1，故在第504個正方形右下角．

8．（1）第1列的每個數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在的行數(shù)的平方．第10行起，左起第13

2

列，應該是第13列的第10個數(shù)，即131＋10＝144＋10＝154．

2

（2）數(shù)127滿足關系式127＝112＋6＝121＋6，即127在左起第12列，上起第6行的位置．

9．觀察已經(jīng)寫出的數(shù)，發(fā)現(xiàn)每三個連續(xù)數(shù)中恰好有一個偶數(shù)，在前100項中，第100項是奇數(shù)，前99

99

項中有＝33個偶數(shù)．

3

10．設至少要畫k條直線．k條直線最多將圓分成1＋1＋2＋3＋4＋…＋k塊，當k＝9時，1＋1＋2＋3

＋…＋9＝46，當k＝10時，1＋1＋2＋3＋…＋10＝56，故至少要畫10條直線，可以將圓紙片分成

不小于50塊．

11．若對前三個先進行計算：

1111

第1個數(shù)：－（1＋）＝－＝0；

2222

111212111

第2個數(shù)：－（1＋）[1＋][1＋]＝－＝－；

3234326

1112121212111

第3個數(shù)：－（1＋）[1＋][1＋][1＋][1＋]＝－＝－；

4