初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專題08還原與對(duì)消（解析版）

專題08還原與對(duì)消

——方程的解與解方程

閱讀與思考

解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1、得

方程的解．我們?cè)诮庖辉淮畏匠虝r(shí)，既要學(xué)會(huì)按部就班(嚴(yán)格按步驟)地解方程，又要能隨

機(jī)應(yīng)變(靈活打亂步驟)地解方程．

方程的解是方程理論中的一個(gè)重要概念，對(duì)于方程解的概念，要學(xué)會(huì)從兩個(gè)方面去運(yùn)用：

1．求解：通過(guò)解方程，求出方程的解，進(jìn)而解決問(wèn)題．

2．代解：將方程的解代入原方程進(jìn)行解題．

當(dāng)方程中的未知數(shù)是用字母表示時(shí)，這樣的方程叫含字母系數(shù)的方程，含字母系數(shù)的一

元一次方程總可以化為ax＝b的形式，其方程的解由a，b的取值范圍確定．字母a，b的取

值范圍確定或?qū)夥匠痰倪^(guò)程并未產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響，其解法同數(shù)字系數(shù)的一次方程解法一

樣；當(dāng)字母a，b的取值范圍未給出時(shí)，則需討論解的情況，其方法是：

(1)當(dāng)a≠0時(shí)，原方程有唯一解x＝b；

a

(2)當(dāng)a＝0且b＝0時(shí)，原方程有無(wú)數(shù)個(gè)解；

(3)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，原方程無(wú)解；

例題與求解

[例1]已知關(guān)于x的方程3[x－2(x－a)]＝4x和3xa－15x＝1有相同的解，那么

3128

這個(gè)解是______．

(北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題)

解題思路：建立關(guān)于a的方程，解方程．

[例2]已知a是任意有理數(shù)，在下面各說(shuō)法中

(1)方程ax＝0的解是x＝1(2)方程ax＝a的解是x＝1

(3)方程ax＝1的解是x＝1(4)方程|a|x＝a的解是x＝±1

a

結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()．

A．0B．1C．2D．3

(江蘇省競(jìng)賽試題)

解題思路：給出的方程都是含字母系數(shù)的方程，注意a的任意性．

[例3]a為何值時(shí)，方程x＋a＝x－1(x－12)有無(wú)數(shù)多個(gè)解？無(wú)解？

326

解題思路：化簡(jiǎn)原方程，運(yùn)用方程ax＝b各種解的情況所應(yīng)滿足的條件建立a的關(guān)系式．

[例4]如果a，b為定值時(shí)，關(guān)于x的方程2kxa＝2＋xbk，無(wú)論k為何值時(shí)，它

36

的根總是1，求a，b的值．

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題)

解題思路：利用一元一次方程方程的解與系數(shù)之間的關(guān)系求解．

[例5]已知p，q都是質(zhì)數(shù)，并且以x為未知數(shù)的一元一次方程px＋5q＝97的解是1，

求代數(shù)式p2－q的值．

(北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題)

解題思路：用代解法可得到p，q的關(guān)系式，進(jìn)而綜合運(yùn)用整數(shù)相關(guān)知識(shí)分析．

[例6](1)在日歷中(如圖①)，任意圈出一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)，設(shè)中間的一個(gè)為a，則

用含a的代數(shù)式表示這三個(gè)數(shù)(從小到大排列)分別是______．

(2)現(xiàn)將連續(xù)自然數(shù)1至2004按圖中的方式排成一個(gè)長(zhǎng)方形陣列，用一個(gè)正方形框出16

個(gè)數(shù)(如圖②)．

①圖中框出的這16個(gè)數(shù)的和是______；

②在右圖中，要使一個(gè)正方形框出的16個(gè)數(shù)之和等于2000，2004，是否可能？若不可

能，試說(shuō)明理由；若有可能，請(qǐng)求出該正方形框出的16個(gè)數(shù)中的最小數(shù)和最大數(shù)．

1234567

891011121314

日一二三四五六15161718192021

22232425262728

12345

29303132333435

678910111236373839404142

13141516171819……

……

20212223242526199619971999200020012002

27282930

20032004

圖①圖②

(湖北省黃岡市中考試題)

解題思路：(1)等差數(shù)列，相鄰兩數(shù)相差7．(2)①經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)方框里的每

兩個(gè)關(guān)于中心對(duì)稱的數(shù)之和都等于44．如31與13，11與33，17與27都成中心對(duì)稱的．于

是易算出這16個(gè)數(shù)之和．②設(shè)框出的16個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)為a，用a表示出16個(gè)數(shù)之

和，若算出的a為自然數(shù)，則成立；不為自然數(shù)，則不可能．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．若關(guān)于x的方程(k－2)x|k－1|＋5k＝0是一元一次方程，則k＝______；若關(guān)于x的方

程(k＋2)x2＋4kx－5k＝0是一元一次方程，則方程的解x＝______．

2．方程x－3[x－1(x－3)]＝3(x－3)的解是______．

447167

(廣西賽區(qū)選拔賽試題)

3．若有理數(shù)x，y滿足(x＋y－2)2＋|x＋2y|＝0，則x2＋y3＝______．

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

4．若關(guān)于x的方程a(2x＋b)＝12x＋5有無(wú)數(shù)個(gè)解，則a＝______，b＝______．

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

5．已知關(guān)于x的方程9x－3＝kx＝14有整數(shù)解，那么滿足條件的所有整數(shù)k＝______．

(“五羊杯”競(jìng)賽試題)

6．下列判斷中正確的是()．

A．方程2x－3＝1與方程x(2x－3)＝x同解

B．方程2x－3＝1與方程x(2x－3)＝x沒(méi)有相同的解

C．方程x(2x－3)＝x的解都是方程2x－3＝1的解

D．方程2x－3＝1的解都是方程x(2x－3)＝x的解

7．方程x＋x＋…＋x＝1995的解是()．

122319951996

A．1995B．1996C．1997D．1998

8．若關(guān)于x的方程2xb＝0的解是非負(fù)數(shù)，則b的取值范圍是()．

x1

A．b＞0B．b≥0C．b≠2D．b≥0且b≠2

(黑龍江省競(jìng)賽試題)

9．關(guān)于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有無(wú)窮多個(gè)解，則()．

A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)－b＝0C．a(chǎn)b＝0D．a(chǎn)＝0

b

10．已知關(guān)于x的一次方程(3a＋8b)x＋7＝0無(wú)解，則ab是()．

A．正數(shù)B．非正數(shù)C．負(fù)數(shù)D．非負(fù)數(shù)

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

11．若關(guān)于x的方程kx－12＝3x＋3k有整數(shù)解，且k為整數(shù)，求符合條件的k值．

(北京市“迎春杯”訓(xùn)練題)

|a|

12．已知關(guān)于x的方程x＋a＝x－1(x－6)，當(dāng)a取何值時(shí)，(1)方程無(wú)解？(2)方程

326

有無(wú)窮多解？

(重慶市競(jìng)賽試題)

B級(jí)

1．已知方程2(x＋1)＝3(x－1)的解為a＋2，則方程2[2(x＋3)－3(x－a)]＝3a的解為

______．

2．已知關(guān)于x的方程ax＝bx3的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，則代數(shù)式b－a

23ab

的值是______．

3．若k為整數(shù)，則使得方程(k－1999)x＝2001－2000x的解也是整數(shù)的k值有______個(gè)．

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

4．如果1＋1＋1＋…＋1＝2003，那么n＝______．

2612n(n1)2004

(江蘇省競(jìng)賽試題)

5．用※表示一種運(yùn)算，它的含義是A※B＝1＋x，如果2※1＝5，

AB(A1)(B1)3

那么3※4＝______．

(“希望杯”競(jìng)賽試題)

6．如圖所示的兩架天平保持平衡，且每塊巧克力的質(zhì)量相等，每個(gè)果凍的質(zhì)量也相等，

則一塊巧克力的質(zhì)量是______克．

巧克力果凍50g砝碼

第6題圖

(河北省中考試題)

7．有四個(gè)關(guān)于x的方程

①x－2＝－1②(x－2)＋(x－1)＝－1＋(x－1)

③x＝0④x－2＋1＝－1＋1

x1x1

其中同解的兩個(gè)方程是()．

A．①與②B．①與③C．①與④D．②與④

8．已知a是不為0的整數(shù)，并且關(guān)于x的方程ax＝2a3－3a2－5a＋4有整數(shù)解，則a

的值共有()．

A．1個(gè)B．3個(gè)C．6個(gè)D．9個(gè)

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

9．(1)當(dāng)a取符合na＋3≠0的任意數(shù)時(shí)，式子ma2的值都是一個(gè)定值，其中m－n

na3

＝6，求m，n的值．

(北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題)

(2)已知無(wú)論x取什么值，式子ax3必為同一定值，求ab的值．

bx5b

(“華羅庚杯”香港中學(xué)競(jìng)賽試題)

10．甲隊(duì)原有96人，現(xiàn)調(diào)出16人到乙隊(duì)，調(diào)出后，甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的k(k是不等

于1的正整數(shù))倍還多6人，問(wèn)乙隊(duì)原有多少人？

(上海市競(jìng)賽試題)

11．下圖的數(shù)陣是由77個(gè)偶數(shù)排成：

2468101214

16182022242628

30323436384042

……

142144146148150152154

第11題圖

用一平行四邊形框出四個(gè)數(shù)(如圖中示例)．

(1)小穎說(shuō)四個(gè)數(shù)的和是436，你能求出這四個(gè)數(shù)嗎？

(2)小明說(shuō)四個(gè)數(shù)的和是326，你能求出這四個(gè)數(shù)嗎？

專題08還原與對(duì)消

----方程的解與解方程

272272a2272a

例1提示：兩方程的解分別為x＝a和x＝，由題意知a＝，得

28721721

27222727

a＝.從而可以得到x＝a＝×＝.

877828

例2A提示：當(dāng)a＝0時(shí)，各題結(jié)論都不正確.

例3提示：原方程化為0x＝6a－12

（1）當(dāng)6a－12＝0，即a＝2時(shí)，原方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.

（2）當(dāng)6a－12≠0，即a≠2時(shí)，原方程無(wú)解．

例4原方程整理可得：(4x＋b)k＝12＋x－a．

∵無(wú)論k為何值時(shí)，它的根總是1．

∴x＝1且k的系數(shù)為0．

∴4＋b＝0，13－2a＝0．

13

∴a，b4．

2

例5提示：把x＝1代入方程px＋5q＝97，得p＋5q＝97，

故p與5q之中必有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)

（1）若p＝2，則5q＝95，q＝19，p2q15；

（2）若5q是偶數(shù)，則q＝2，p＝87，而87不是質(zhì)數(shù)，與題設(shè)矛盾，舍去；

因此p2q15．

例5（1）a－7，a，a＋7；

（2）①44×8＝352；a＋a＋a＋

a

②設(shè)框出的16個(gè)數(shù)中最小的一123

個(gè)數(shù)為a，則這16個(gè)數(shù)組成的正方形a＋7a＋8a＋9a＋10

方框如右圖所示，因?yàn)榭蛑忻績(jī)蓚€(gè)關(guān)a＋14a＋15a＋16a＋17

于正方形的中心對(duì)稱的數(shù)之和都等于a＋21a＋22a＋23a＋24

2a＋24，所以這16個(gè)數(shù)之和為8×（2a

＋24）＝16a＋192．

當(dāng)16a＋192＝2000時(shí)，a＝113；

當(dāng)16a＋192＝2004時(shí)，a＝113.25．

∵a為自然數(shù)，∴a＝113.25不合題意，則框出的16個(gè)數(shù)之和不可能等于2004，由

長(zhǎng)方形陣列的排列可知，a只能在1，2，3，4列，則a被7整除的余數(shù)只能是1，2，

3，4．因?yàn)?13＝16×7＋1，所以，這16個(gè)數(shù)之和等于2000是可能的．這時(shí)，方框

漲最小的數(shù)是113，最大的數(shù)是113＋24＝137．

A級(jí)

55

1．0；2．x＝03．84．6；

46

17

5．10；26；8；－8提示：x，9k能被17整除，則9k1，或9k17

9k

11111

6．D7．B提示：原方程化為x11995

22319951996

8．D9．A10．B

3k1221

11．原方程的解為x3，

k3k3

顯然k－3＝±1，±3，±7，±21，

即k＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．

12．提示：原方程化為1ax21a

（1）當(dāng)a＝－1時(shí)，方程無(wú)解；

（2）當(dāng)a＝1時(shí)，方程有無(wú)窮多解．

B級(jí)

7b3

1．10.52．提示：當(dāng)x＝2時(shí)，代入得．

12a4

2001

3．16提示：x為整數(shù)，2001＝1×3×23×29，故k可取±1，±3，±23，±29，±3×23，

k1

±3×29，±23×29，±22001共16個(gè)值．

111111111

4．2003提示：

2612nn112233445nn1

11111111200311

＝11