初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專(zhuān)題18 簡(jiǎn)單的不定方程、方程組

專(zhuān)題18簡(jiǎn)單的不定方程、方程組

閱讀與思考

如果方程(組)中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，那么解往往有無(wú)窮多個(gè)，不能唯一確定，這樣的

方程(組)稱(chēng)為不定方程(組)．

對(duì)于不定方程(組)，我們常常限定只求整數(shù)解，甚至只求正整數(shù)解．加上這類(lèi)限制后，解可能唯一

確定，或只有有限個(gè)，或無(wú)解．這類(lèi)問(wèn)題有以下兩種基本類(lèi)型：

1．判定不定方程(組)有無(wú)整數(shù)解或解的個(gè)數(shù)；

2．如果不定方程(組)有整數(shù)解，求出其全部整數(shù)解．

二元一次不定方程是最簡(jiǎn)單的不定方程，一些不定方程(組)常常轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程求其整數(shù)

解．

解不定方程(組)，沒(méi)有固定的方法可循，需具體問(wèn)題具體分析，經(jīng)常用到整數(shù)的整除、奇數(shù)偶數(shù)、

因數(shù)分解、不等式分析、窮舉、分離整數(shù)、配方等知識(shí)與方法．根據(jù)方程(組)的特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)變形，并

靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)與方法是解不定方程(組)的基本思路．

例題與求解

【例1】滿足19982m219972n2(0＜m＜n＜1998)的整數(shù)對(duì)(m，n)共有_______對(duì)．

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：由方程特點(diǎn)，聯(lián)想到平方差公式，利用因數(shù)分解來(lái)解答．

【例2】電影票有10元，15元，20元三種票價(jià)，班長(zhǎng)用500元買(mǎi)了30張電影票，其中票價(jià)為20元的

比票價(jià)為10元的多()．

A．20張B．15張C．10張D．5張

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

解題思路：設(shè)購(gòu)買(mǎi)10元，15元，20元的電影票分別為x，y，z張．根據(jù)題意列方程組，整體求

出的z－x值．

【例3】某人家中的電話號(hào)碼是八位數(shù)，將前四位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得14405，將前

三位數(shù)組成的數(shù)與后五位數(shù)組成的數(shù)相加得16970，求此人家中的電話號(hào)碼．

(湖北省武漢市競(jìng)賽試題)

解題思路：探索可否將條件用一個(gè)式子表示，從問(wèn)題轉(zhuǎn)換入手．

【例4】一個(gè)盒子里裝有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4?；?粒地取出，最終盒內(nèi)都剩一

粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?

(重慶市競(jìng)賽試題)

解題思路：無(wú)論怎樣取，盒子里的棋子數(shù)不變。恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解．

【例5】甲組同學(xué)每人有28個(gè)核桃，乙組同學(xué)每人有30個(gè)核桃，丙組同學(xué)每

人有31個(gè)核桃，三組的核桃總數(shù)是365個(gè)．問(wèn)：三個(gè)小組共有多少名同學(xué)?

(海峽兩岸友誼賽試題)

解題思路：根據(jù)題意，列出三元一次不定方程，從運(yùn)用放縮法求取值范圍入手．

【例6】某中學(xué)全體師生租乘同類(lèi)型客車(chē)若干輛外出春游，如果每輛車(chē)坐22人，就會(huì)余下1人；如果開(kāi)

走一輛空車(chē)，那么所有師生剛好平均分乘余下的汽車(chē)．

問(wèn)：原先租多少輛客車(chē)和學(xué)校師生共多少人?(已知每輛車(chē)的容量不多于32人)

解題思路：設(shè)原先租客車(chē)x輛，開(kāi)走一輛空車(chē)后，每輛車(chē)乘坐k人，根據(jù)題意列出方程求解，注意

排除不符合題設(shè)條件的解．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

5

1．若a24b2a4b0，則ab＝__________．

4

2x23y26z2

2．已知4x3y6z0，x2y7z0(xyz≠0)，則的值等于________．

x25y27z2

3．1998年某人的年齡恰等于他出生的公元年數(shù)的數(shù)字和，那么他的年齡是_________歲．

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

4．已知a，b，c為整數(shù)，且ab2006，ca2005．若a＜b，則abc的最大值為_(kāi)____．

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

5．x，y都是質(zhì)數(shù)，則方程xy1999共有()．

A．1組解B．2組解C．3組解D．4組解

(北京市競(jìng)賽試題)

6．如圖，在高速公路上從3千米處開(kāi)始，每隔

4千米設(shè)一個(gè)速度限制標(biāo)志，而且從10千米處開(kāi)

始．每隔9千米設(shè)一個(gè)測(cè)速照相標(biāo)志，則剛好在

19千米處同時(shí)設(shè)置這兩種標(biāo)志，問(wèn)下一個(gè)同時(shí)設(shè)

置這兩種標(biāo)志的地點(diǎn)的千米數(shù)

是()．

A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米

7．給出下列判斷：

x3t

①不定方程2x3y0的整數(shù)解可表示為(t為整數(shù))．

y2t

②不定方程2x4y5無(wú)整數(shù)解．

③不定方程2x3y1無(wú)整數(shù)解．

其中正確的判斷是()．

A．①②B．②③C．①③D．①②③

8．小英在郵局買(mǎi)了10元的郵票，其中面值0.10元的郵票不少于2枚，面值O.20元的郵票不少于5枚，

面值0.50元的郵票不少于3枚，面值2元的郵票不少于1枚，則小英最少買(mǎi)了()枚郵票．

A．17B．18C．19D．20

(“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題)

9．小孩將玻璃彈子裝進(jìn)兩種盒子，每個(gè)大盒子裝12顆，每個(gè)小盒子裝5顆，若彈子共有99顆，所用

大小盒子多于10個(gè)，問(wèn)這兩種盒子各有多少個(gè)?

10．中國(guó)百雞問(wèn)題：雞翁一，值錢(qián)五，雞母一，值錢(qián)三，雞雛三，值錢(qián)一，百錢(qián)買(mǎi)百雞．問(wèn)雞翁、雞母、

雞雛各幾何?

(出自中國(guó)數(shù)學(xué)家張丘建的著作《算經(jīng)》)

11．已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬都是整數(shù)，且周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等，求長(zhǎng)方形的面積．

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

5x4y7

12．已知k是滿足1910k2010的整數(shù)，并且使二元一次方程組有整數(shù)解．問(wèn)：這樣

4x5yk

的整數(shù)k有多少個(gè)？

（“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）

B級(jí)

2

1．如果a，b，c滿足a22b22c22ab2bc6c90，那么abc＝__________．

(“祖沖之杯”邀請(qǐng)?jiān)囶})

2．已知x，y為正偶數(shù)，且x2yxy296，則x2y2＝_________．

3．一個(gè)四位數(shù)與它的四個(gè)數(shù)字之和等于1991．這個(gè)四位數(shù)是__________．

(重慶市競(jìng)賽試題)

4．城市數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽共設(shè)金、銀、銅三種獎(jiǎng)牌，組委會(huì)把這些獎(jiǎng)牌分別裝在五個(gè)盒中，每個(gè)盒中只裝一

種獎(jiǎng)牌．每個(gè)盒中裝獎(jiǎng)牌枚數(shù)依次是3，6，9，14，18．現(xiàn)在知道其中銀牌只有一盒，而且銅牌枚數(shù)是

金牌枚數(shù)的2倍．則有金牌_____枚，銀牌______枚，銅牌_____枚．

5．若正整數(shù)x，y滿足x272y2，則這樣的正整數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)是()．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

6．有甲、乙、丙3種商品，單價(jià)均為整數(shù)，某人若購(gòu)甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若購(gòu)甲4件、

乙10件、丙l件共需33元，則此人購(gòu)甲、乙、丙各1件共需()元．

A．6元B．8元C．9元D．10元

xyz0

7．在方程組中，，，是不相等的整數(shù)，那么此方程組的解的組數(shù)為()．

333xyz

xyz36

A．6B．3C．多于6D．少于3

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

8．一個(gè)兩位數(shù)中間插入一個(gè)一位數(shù)(包括0)，就變成一個(gè)三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)一位數(shù)后變

成的三位數(shù)是原來(lái)兩位數(shù)的9倍，這樣的兩位數(shù)有()個(gè)．

A．1B．4C．10D．超過(guò)10

9．李林在銀行兌換了一張面額為l00元以內(nèi)的人民幣支票，兌換員不小心將支票上的元與角、分?jǐn)?shù)字看

倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按著錯(cuò)的數(shù)字支付，李林將其款花去3．50元之后，

發(fā)現(xiàn)其余款恰為支