極限與連續(xù)知識(shí)

極限與連續(xù)知識(shí)日期：}演講人：目錄極限概念及性質(zhì)函數(shù)連續(xù)性及判斷方法極限計(jì)算方法與技巧微分學(xué)基本概念與導(dǎo)數(shù)計(jì)算微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用不定積分與定積分概念及計(jì)算極限概念及性質(zhì)01“無(wú)限靠近而永遠(yuǎn)不能到達(dá)”，描述函數(shù)在某一點(diǎn)的變化趨勢(shì)。極限定義使用“l(fā)im”符號(hào)，如lim(x→∞)f(x)=A，表示x趨近于無(wú)窮大時(shí)，f(x)的極限為A。極限表示方法分別表示從數(shù)軸的左側(cè)和右側(cè)趨近于某一點(diǎn)時(shí)的極限值。極限的左右極限極限定義與表示方法極限存在條件與性質(zhì)極限存在的必要條件函數(shù)在該點(diǎn)的左右極限都存在且相等。極限的唯一性若函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該極限值唯一。極限的局部保號(hào)性若函數(shù)在某點(diǎn)的極限為A，則在該點(diǎn)附近的函數(shù)值無(wú)限趨近于A。極限的運(yùn)算性質(zhì)線性運(yùn)算、積的極限、商的極限等。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量在自變量趨近于某點(diǎn)的過(guò)程中，其絕對(duì)值趨近于零的變量。無(wú)窮小量在自變量趨近于某點(diǎn)的過(guò)程中，其絕對(duì)值趨近于無(wú)窮的變量。有限個(gè)無(wú)窮小量之和仍為無(wú)窮小量，無(wú)窮小量乘以有限量仍為無(wú)窮小量。無(wú)窮大量無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量，反之亦然。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系01020403無(wú)窮小量的性質(zhì)01020304lim(f(x)*g(x))=lim(f(x))*lim(g(x))，要求兩個(gè)極限都存在。極限運(yùn)算法則積的極限法則若lim(g(x))=u，且f(u)在u處連續(xù)，則lim(f(g(x)))=f(lim(g(x)))。復(fù)合函數(shù)的極限法則若lim(g(x))≠0，則lim(f(x)/g(x))=lim(f(x))/lim(g(x))。商的極限法則lim(a*f(x)+b*g(x))=a*lim(f(x))+b*lim(g(x))，其中a、b為常數(shù)。線性運(yùn)算法則函數(shù)連續(xù)性及判斷方法02設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?的某一鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量x在x?處取得增量Δx（Δx可正可負(fù)但絕對(duì)值很小），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x?+Δx)與f(x?)的差（即Δy=f(x?+Δx)-f(x?)）的極限為0，即limΔx→0Δy=0，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處連續(xù)。連續(xù)函數(shù)定義連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)某點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)具有極限值且極限值等于函數(shù)值；連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)的區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)具有介值性和最大值最小值性質(zhì)。連續(xù)函數(shù)性質(zhì)連續(xù)函數(shù)定義與性質(zhì)第一類間斷點(diǎn)（包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)）和第二類間斷點(diǎn)（包括無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)）。間斷點(diǎn)類型根據(jù)函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限情況來(lái)判斷。若左右極限存在且相等，則為可去間斷點(diǎn)或跳躍間斷點(diǎn)；若左右極限至少有一個(gè)不存在，則為第二類間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)判斷依據(jù)間斷點(diǎn)類型及判斷依據(jù)初等函數(shù)連續(xù)性分析連續(xù)性分析這些初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，但在某些特定點(diǎn)（如分母為零的點(diǎn)、對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量小于等于零的點(diǎn)等）可能不連續(xù)。因此，在分析初等函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，需要特別注意這些特殊點(diǎn)。初等函數(shù)類型多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及其反函數(shù)等。介值定理若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)值c，都存在一個(gè)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c。最大值最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則該函數(shù)在[a,b]上必能取得最大值和最小值。這一性質(zhì)在求解函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)非常重要。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)極限計(jì)算方法與技巧03極限四則運(yùn)算法則應(yīng)用若lim(f(x)+g(x))存在，則等于limf(x)與limg(x)的和。極限加法運(yùn)算法則若lim(f(x)-g(x))存在，則等于limf(x)減去limg(x)。若lim(f(x)/g(x))存在且limg(x)≠0，則等于limf(x)除以limg(x)。極限減法運(yùn)算法則若lim(f(x)*g(x))存在，則等于limf(x)乘以limg(x)。極限乘法運(yùn)算法則01020403極限除法運(yùn)算法則若函數(shù)f(x)、g(x)和h(x)在x趨近于a時(shí)滿足g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=L，則limf(x)=L。夾逼準(zhǔn)則單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。單調(diào)有界原理夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界原理運(yùn)用洛必達(dá)法則求解不定式極限洛必達(dá)法則適用于“0/0”或“∞/∞”型的不定式極限。通過(guò)對(duì)分子分母同時(shí)求導(dǎo)，將原極限轉(zhuǎn)化為新的極限形式，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。洛必達(dá)法則可以多次使用，直到得到可以確定極限的形式。在求極限時(shí)，可以利用泰勒公式將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式形式，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。泰勒公式的展開(kāi)精度可以根據(jù)需要調(diào)整，以滿足不同的精度要求。泰勒公式可以將函數(shù)在某點(diǎn)展開(kāi)為多項(xiàng)式，從而用多項(xiàng)式來(lái)近似原函數(shù)。泰勒公式在極限計(jì)算中應(yīng)用微分學(xué)基本概念與導(dǎo)數(shù)計(jì)算04微分學(xué)的核心研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，探究函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率及其應(yīng)用。微分學(xué)的意義為研究函數(shù)的性態(tài)提供有力工具，如判斷單調(diào)性、極值、曲線的凹凸性等。微分學(xué)基本思想及意義函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，即函數(shù)值隨自變量變化的瞬時(shí)速率。導(dǎo)數(shù)定義曲線在某一點(diǎn)的切線斜率，反映了曲線在該點(diǎn)的彎曲程度。幾何意義分別表示函數(shù)在某點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)的變化率，相等時(shí)函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)定義與幾何意義010203常數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)若函數(shù)為常數(shù)c，則其導(dǎo)數(shù)為0。冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)(x^n)'=nx^(n-1)，特別地，對(duì)于(x)'=1，(x^0)'=0（x≠0）。指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)(a^x)'=a^x*lna，（e^x)'=e^x。對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)(log_ax)'=1/(x*lna)，（lnx)'=1/x。三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=1/(cosx)^2等?；境醯群瘮?shù)導(dǎo)數(shù)公式表0102030405參數(shù)方程求導(dǎo)若函數(shù)由參數(shù)方程給出，如x=t^2，y=t^3，則可通過(guò)求參數(shù)t的導(dǎo)數(shù)來(lái)得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則鏈?zhǔn)椒▌t，即(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。隱函數(shù)求導(dǎo)方法利用隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，通過(guò)對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)來(lái)求解未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)方法微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用05如果R上的函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在至少一個(gè)c屬于(a,b)，使得f'(c)=0。羅爾定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上[a,b]連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f'(c)等于f(b)與f(a)的差除以b與a的差，即f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。拉格朗日中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理內(nèi)容VS如果函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，且g(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都不為零，則至少存在一點(diǎn)c屬于(a,b)，使得f'(c)/g'(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。推廣形式對(duì)于多個(gè)函數(shù)，可以將其轉(zhuǎn)化為柯西中值定理的形式，通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)證明。柯西中值定理柯西中值定理及其推廣形式利用羅爾定理證明如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，且兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，則可以通過(guò)羅爾定理找到一點(diǎn)使得導(dǎo)數(shù)為零，進(jìn)而利用這一點(diǎn)證明不等式。利用中值定理證明不等式問(wèn)題利用拉格朗日中值定理證明通過(guò)拉格朗日中值定理，可以將函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與整個(gè)區(qū)間的平均變化率聯(lián)系起來(lái)，從而證明不等式。利用柯西中值定理證明通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為柯西中值定理的形式，進(jìn)而證明不等式。利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與其一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有關(guān)。當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值中應(yīng)用函數(shù)的極值點(diǎn)可以通過(guò)求一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)來(lái)獲得。同時(shí)，還需要檢查二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)確定是極大值還是極小值。在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常需要求函數(shù)的最大值或最小值，這時(shí)可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)并令其為零來(lái)找到可能的極值點(diǎn)，然后進(jìn)一步判斷是否為最大值或最小值。不定積分與定積分概念及計(jì)算06不定積分定義與性質(zhì)回顧不定積分定義在微積分中，一個(gè)函數(shù)f的不定積分，或原函數(shù)，或反導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)導(dǎo)數(shù)等于f的函數(shù)F，即F′=f。不定積分性質(zhì)包括線性性質(zhì)、積分常數(shù)性質(zhì)、積分區(qū)間可加性等，這些性質(zhì)在求解不定積分時(shí)具有重要作用。不定積分與微分關(guān)系不定積分是微分的逆運(yùn)算，通過(guò)不定積分可以求解函數(shù)的原函數(shù)。換元積分法通過(guò)變量替換簡(jiǎn)化積分形式，包括湊微分法和整體換元法。湊微分法將復(fù)雜的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的形式，便于積分。整體換元法將復(fù)雜的被積函數(shù)看作一個(gè)整體，進(jìn)行變量替換。分部積分法將復(fù)雜的被積函數(shù)拆分為兩部分進(jìn)行積分，包括乘積法則和分部積分公式。乘積法則對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的乘積進(jìn)行積分，可以先求其中一個(gè)函數(shù)的積分，再求另一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)。分部積分公式將復(fù)雜的被積函數(shù)拆分為兩部分進(jìn)行積分，適用于不同類型的函數(shù)。換元積分法和分部積分法技巧010203040506定積分定義及其幾何意義定積分是積分的一種，是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上積分和的極限。定積分定義定積分表示函數(shù)在區(qū)間[a,b]上與x軸圍成的面積，其中x軸上方的面積為正，下方的面積為負(fù)。定積分是一個(gè)具體的數(shù)值，而不定積分是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，它們之間通過(guò)微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）相聯(lián)系。定積分幾何意義包括線性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、保號(hào)性等，這些性質(zhì)在求解定積分時(shí)具有重要作用。定積分性質(zhì)01020403定積分與不定積分關(guān)系牛頓-萊布尼茨公式應(yīng)用公式應(yīng)