2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息.2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上.一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.在等差數(shù)列中，若，，則公差等于（）A.2 B.3 C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的公差計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得.故選:C2.在等比數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】由，∴．故選：D3.已知，則＝（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則驗(yàn)算即可.【詳解】由題意.故選：C.4.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A. B.C D.【正確答案】A【分析】由初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo).【詳解】，A正確；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.故選：A5.已知數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為2等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，結(jié)合題意，可得答案.【詳解】由題意得，即，則．故選：A．6.已知拋物線上一點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求出拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率，即可得出該切線的傾斜角.【詳解】拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，故切線的傾斜角為．故選：B.7.已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A. B. C.2 D.【正確答案】B【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)得出切線斜率，再結(jié)合直線垂直得出斜率關(guān)系列式求參.【詳解】因?yàn)榍€，所以所以在點(diǎn)處的切線斜率為，直線斜率為，又因?yàn)閮芍本€垂直，所以，所以.故選：B.8.已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，而，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】依題意可得，利用累乘法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，，，，，累乘可得，所以，又，所以，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也成立，所以.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的0分.9.已知數(shù)列{}中，，，下列說(shuō)法正確的是（）A.若{}是等比數(shù)列，則=-8或8 B.若{}是等比數(shù)列，則或-16C.若{}是等差數(shù)列，則=17 D.若{}是等差數(shù)列，則公差為【正確答案】BCD【分析】分類(lèi)討論根據(jù)等差等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)即可進(jìn)行判斷.【詳解】由已知，當(dāng)數(shù)列{}為等差數(shù)列時(shí)：，解得，故D正確，解得，故C正確.當(dāng)數(shù)列{}為等比數(shù)列時(shí)：，所以，解得，故A錯(cuò)誤.，故B正確.故選：BCD10.若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則下列說(shuō)法正確的是A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列【正確答案】AC【分析】根據(jù)題意，先得到，再由，推出數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和，且，所以，因此，當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故C正確；因此，故A正確；又，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?shù)列不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AC.本題主要考查由遞推公式判斷等比數(shù)列，以及等比數(shù)列基本量的運(yùn)算，熟記等比數(shù)列的概念，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.11.下列命題正確的有（）A.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則B.已知函數(shù)，若，則C.D.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則【正確答案】BD【分析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)的概念可判斷選項(xiàng)，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)然后計(jì)算可判斷選項(xiàng)，直接用除法的求導(dǎo)法則可判斷選項(xiàng)，對(duì)于選項(xiàng)直接求導(dǎo)然后代數(shù)解方程即可.【詳解】對(duì)于因?yàn)楹瘮?shù)在上可導(dǎo)，且，所以，故錯(cuò)誤.對(duì)于因?yàn)?，若則，即，故正確.對(duì)于因?yàn)椋叔e(cuò)誤.對(duì)于因?yàn)?故，故，正確.故選:三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數(shù)列滿足，，則公比q=__________．【正確答案】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式由條件列方程，解方程求q.【詳解】∵數(shù)列為等比數(shù)列，公比為q，，，∴，∴，故答案為.13.已知函數(shù)，則______．【正確答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，再代入，從而求得，進(jìn)而得到，由此計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，則，解得：，所以，則.故答案為.14.已知數(shù)列滿足.且，若，則______.【正確答案】【分析】利用構(gòu)造法與迭代法求得，從而利用并項(xiàng)求和法即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，則，所以，故，則，所以，則的各項(xiàng)分別為，所以.故四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通項(xiàng)an；(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值．【正確答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4【詳解】（Ⅰ）設(shè){an}的公差為d，由已知條件，，解出a1＝3，d＝－2．所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2時(shí)，Sn取到最大值4．16.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是的等比中項(xiàng)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用基本量，結(jié)合題意，列出方程組，求得以及公差，即可求得兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，利用裂項(xiàng)求和法，即可求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)槭堑牡缺戎许?xiàng)，故，即，整理得：，又，故可得；又，即，故，，解得，，；故，.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，故，故.故數(shù)列的前項(xiàng)和.17.已知函數(shù)的圖象在原點(diǎn)處的切線的斜率為2.（1）求的值；（2）若，求曲線的過(guò)點(diǎn)的切線方程.【正確答案】（1）或1（2）或【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解的值即可；（2）結(jié)合（1）可得，設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用點(diǎn)斜式方程求出切線方程，最后利用過(guò)點(diǎn)求出的值，即可得解.小問(wèn)1詳解】由已知得，根據(jù)題意得，解得或1；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋杂桑?）可得，所以，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，得，解得或，所以切線方程為或.18.已知曲線.（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.【正確答案】（1）（2）和.【分析】（1）“在”某點(diǎn)處的切線方程，求導(dǎo)，代入點(diǎn)斜式即可求得；（2）“過(guò)”某點(diǎn)處的切線方程，設(shè)切點(diǎn)，結(jié)合切點(diǎn)在曲線上，切點(diǎn)在切線上，聯(lián)立方程組即可求得.小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）知切線的斜率為，故切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以或，故過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有兩條，其方程分別是和，即和.19.在①；②；③這三個(gè)條件中，請(qǐng)選擇一個(gè)合適的條件，補(bǔ)充在下題橫線上（只要寫(xiě)序號(hào)），并解答該題．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，有______．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）條件①不符合題意.如果選條件②，則可根據(jù)及條件②，得到，從而可判斷是等差數(shù)列，求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，最后得到的通項(xiàng)公式.如果選條件③，可直接得到與的關(guān)系，進(jìn)而可得到的通項(xiàng)公式.（2）由已知條件，可求得的通項(xiàng)公式，從而得到的表達(dá)式，即可證明.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于條件