高中數(shù)學(xué)試題：立幾解幾解答練習(xí)

高二數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)

立體幾何綜合練習(xí)高二()班姓名

1.如圖，在三棱柱ABC—A4G中，平面_L平面ABC,AB=BC=2,

ZACB=30,ZCtCB=60,BC,l^C,E為AC的中點(diǎn),

(1)求證：A。1?平面GEB；

(2)求直線CG與平面ABC所成角的余弦值.

2.三棱錐產(chǎn)一ABC中，。是8C的中點(diǎn)，APAB為等邊三角形,A4BC為等腰直角三角形,

/?

AB=AC=4,且二面角P—的余弦值為2士.

3

(I)求證：平面A8C_L平面PBC；

(II)若點(diǎn)E是線段AP上一動點(diǎn)，點(diǎn)E為線段A8的四等分點(diǎn)(靠近8點(diǎn))，求直線EF

與平面PAO所成角的余弦值的最小值.

3.已知AA8C為等腰直角三角形，AB=AC=2五,民尸分別為4氏4。的中點(diǎn)，D為BC

的中點(diǎn)，。為AO的中點(diǎn)，將AAE/沿EF折起到/\A'E/的位置，使二面角4一七/一8

為。(0＜。＜乃).AA

(I)求證：平面A6C_L平面ACE

當(dāng)。=時，求直線與平面廠所成角的正弦值.

(II)120°ODA'C■O

8

D'C

4.在如圖所示幾何體中，平面平面ABCO,四邊形4BCD為等腰梯形，四邊形。CEE

為菱形.己知A5//C0,NA8C=6O,CD=|A/?=1.

(1)線段AC上是否存在一點(diǎn)N,使得AE//平面ECW?證明你的結(jié)論；

(2)若線段FC在平面ABCD上的投影長度為求直線AC與平面ADF所成角的正弦值.

2

解析幾何綜合練習(xí)高二()班姓名

1.如圖，已知拋物線V=x,點(diǎn)A(l,1),8(4,-2),拋物線上的點(diǎn)P(x,y)(y>l),直線的

與x軸相交于點(diǎn)Q,記△P4B,△QAB的面積分別是加，S2.

(1)若求點(diǎn)P的縱坐標(biāo);

(2)求E-5s2的最小值.

2.已知拋物線。：彳2=2刀(〃>()),且拋物線。在點(diǎn)處的切線斜率為;.直線/與

拋物線交于不同的兩點(diǎn)A6,且直線AP垂直于直線

(1)求證：直線/過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)直線3P交y軸與點(diǎn)M,直線A尸交x軸與點(diǎn)N,求黑的最大值.

22BA

3.已知橢圓C:=+==l(a>〃>0)的焦距為2,且過點(diǎn)Q(~-,左).

ab~22

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(H)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為直線/:無=2上的一動點(diǎn),

V2

若APQ4面積S為衛(wèi)一，求直線/'的方程.

2

4.已知橢圓C:「+/=l(a>b>0)的離心率為母，且經(jīng)過點(diǎn)(3,1).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P(6,0)的直線/交橢圓于川兩點(diǎn)，。是x軸上的點(diǎn)，若AABQ是以至為斜邊的

等腰直角三角形，求直線/的方程.

28.【解析】（1）因?yàn)锳B=BC=2,E為AC中點(diǎn)，所以ACL6E（2分）

又因?yàn)槠矫鍭ACG，平面A8C,而A&CGC面ABC=AC,

所以BE上面AACG……（5分）

所以BE_LAC,又因?yàn)锽G_LAC

所以4C_L平面GEB；……（7分）

（2）因?yàn)槠矫鍭ACC，平面ABC

所以直線CG與平面A8C所成角為NGC4……（9分）

因?yàn)镹84C=30,AB=3C=2,E為AC中點(diǎn)

所以EC=%，EB=1

因?yàn)镃G=2,N￡C8=60所以BC=2,……（11分）

因?yàn)?EJ.面A4C￡,所以BELEC,EC=6

在ACCE中，根據(jù)余弦定理可知，

/?

cosZCCA=——（15分）

3

另解：以點(diǎn)E為中心，EC為x軸，所為y軸，……（9分）

因?yàn)镹84C=30,A8=8C=2,石為AC中點(diǎn)

所以EC=e,E8=l

因?yàn)镃R=2,NGCB=60所以3C=2,……（11分）

因?yàn)锽E_L面A4CG，所以BELEC,EC=g

____C巧2/7A

設(shè)點(diǎn)C（V3,0,0）,G（x,0,y）則|CG|=2,|G￡|=1,所以G—,0,—

I33,

262指）

則cq-----，u,----,面ABC的法向量為“=（0,0,1）則

33

sina=cos<CC.,n>=—,所以cosa=^

（15分）

33

29.

19:（1）取A8中點(diǎn)G,,易得NPGD即為二面角P-AB-D的平面角

\PDf=\PGf+\GDf-2\PG\\GD\^-=2yl2,

PD1DG..........................................................................2分

又ABI平面PGD,AB1PD...........................................4分

P。，平面ABC,PDu平面PBC...................................5分

平面ABC1平面PBC......................................................6分

（2）過F作AD的垂線，垂足為H,過H作AP的垂線垂足為0

NFO”即為所求.............................12分

口口_3&376

rrl=-----.nU=------14分

24

：.cosZFOH=——.....15分

3

B

在AACE中,由中位線定理可得ON||AE........（4分）

）：0Nu平面FDN,AEtt平面FDN

：.AE||平面FDN

在線段AC上存在點(diǎn)M使得AEII平面FDM且N是AC的中點(diǎn).（6分）

<2）

解法「

DEIICF

在平面ABCD上的投影長度為:

平面。AEL平面ABC。交于4。

作E。1AD.Rl￡O_L平面48C。

則。。=；,且點(diǎn)0為線段AD的中點(diǎn)

以。為原點(diǎn)，0E方向?yàn)閦軸,過。平行DC方向?yàn)?/p>

z相，過0以垂直y-0-z平面方向?yàn)閤軸，x粕

在平面A8C。內(nèi).

可得4停,-±0）,C（_、,：,0）,;E（0,0,y）

二4C=（一曰,：,0）,04=0,一；,0）,.........（9分）

DF=DE+EF=DE+DC=（^-,-；,y）+（0,1,0）=（Y，;,y）.........（11分）

_叵X_1_Q

設(shè)平面ADF的法向量為記=（x,y,z）,則［箱上二°,得

^-DF=0凈+白+也=0

解得一個法向量為五=（1,75,-2）........（13分）

若直線AC與平面40F所成角為。，JJiJsin8=|cos（n,j4C>|=.......（15分）

2v2Xv'34

*二,

VDEIICF

DE在平面A8CD上的投影長度為:

??,平面DAEJ_平面A8CD交于4。

作E。1AD.則E。_L平面4BCD

則。。=乙，且點(diǎn)。為線段AD的中點(diǎn)

2

-,.OD=i.......（7分）

設(shè)點(diǎn)C到平面FDM的距離為h

"Vc-FDA=Vp-ADC?

hS^FDA=|EO|Symc，........（8分）

SADC=印EO=Y

取A8的中點(diǎn)M.連接CM,取CM的中點(diǎn)N,連接AN,DM

???EFIICD.且N為CM的中點(diǎn)

：.FN_L平面/IBC。

V7近

vAN=—,DN=FN=—

4F=乎DF=y

DF2+AD2=AC即△ADF為直角三角形

S.FDA=Y.............（12分）

??.h=^^=4S=匹........（14分）

$4FDA4

4

設(shè)直線AC與平面FOM所成角為仇則sin8=^=9……（15分）

21.解：

（1）因?yàn)?"=匕1=?二1=’,

”x-1/-Iy+\

j+2y+2=1

”x-4/-4y-2t

由小_LBP,得/.....-=-1

y+1y-2

即y2_y_]=0,得y=!1^l

(2)設(shè)直線伸：y-l=Mx-l),貝由y>l知0"<L

2

聯(lián)立■'1"""，消去X得62一y+]_%=(),則力=1~-

y2=xk

所以|AP|=Ji+Wx--i|=

k~

|44+2+l&|_3|)t+l|_3(4+1)

點(diǎn)3到直線"的距離4=

\lk2+1>Jk2+1\jk2+1

所以￡-5邑=加布-||聞4=3

=;(%+獷,…_3『加+])

,k々2戶)■喉H

3(-Ik2-6Jt+n

=萬[PJ

故當(dāng)k=g時，S「5s2有最小值-24.

方法2：設(shè)則砥p=5，所以直線A。：y-l=￡(x-l),貝IJQ(T,O).

又直線至：x+y-2=0,AB=3y/2.

|r2+r-2|

則點(diǎn)P到直線AB的距離為4=

|-r-2|t+2

點(diǎn)。到直線AB的距離為W=

血-&

所以S|_5s2=g|AB|(4_54)=372<t2+t-2

故當(dāng)f=2時，S|-5$2有最小值-24.

21.(15分)(Dy=U，y'=-^x.

當(dāng)x=l時，=：,.'.p=2

p2r

.?.拗物線的方程為/=4y……」分)

2

設(shè)A(2jt[2),fi(2t2,t2)

'：AP1BP.

:?l<BP'kAP=尚—f''~^=-1,解得￡也+“h+3+斗=0(*).........(4分)

/1[-I-1i4

j7里旦_也包

乂AB=2

2

.?.直線A8方程為：y-t1=^(x-2t^2y=(tj+t2)x-2t,t2........(6分)

將(*)式代入A8方程得(Q+t2)(x+l)+y-2y=0

令x+1=0,y-2y=0解得直線AB過定點(diǎn)(-1,9)（8分）

（2）設(shè)直線8M方程為：y-：=k（x-l）,不妨設(shè)A>0

聯(lián)立P'"7=-"，得/-4kr+4k-1=0,A=16/c2-16fc+4>0

Ix2=4y

利用韋達(dá)定理得益+孫=43,小=4k-1

由于AP1BP,同理可得4=-g-l.......（10分）

又,：涵=彳+1，T”=0

|叫|研=J1+表&I）?、，ET（%-知1）=￥（2+3（&-2）=

\MP\\NP\=J1+表（|孫-41）?、環(huán)I、-孫I）=三巴……（12分）

.上也=Q+kZ）（2kr*Tx±=42kT）（k+2）=16（-三+三+2）=-322）2+50V50

MP\NP\k21+k2k2\k2kJ\k4/一

???黑普的最大值為56.......（15分）

,1

?橢圓C2停用，二/+1/=、..........................

2分

.................................................................4分

橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+必=i-..............................6分

（H）設(shè).儂而，則切線方程為華+必=1，即丁=7-3維.........

8分

幺zo”0

與x軸交于加,印品,.-=洛六.q邛,

即上士._%.=立，.?「二飛一區(qū).=土立,..............................

”分

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：V172

解得：x=],y=-一hN