波利亞-怎樣解題-數(shù)學(xué)

第一部分在教室中

目的

1.幫助學(xué)生

教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生。這個(gè)任務(wù)并不很簡(jiǎn)單，它需要時(shí)間、實(shí)

踐、熱忱以及健全合理的原則。

學(xué)生應(yīng)當(dāng)有盡可能多的獨(dú)立工作經(jīng)驗(yàn)。但是如果讓他獨(dú)自面對(duì)問(wèn)題而得不到任

何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒(méi)有進(jìn)步。但若教師對(duì)他幫助過(guò)多，那么學(xué)生

卻又無(wú)事可干，教師對(duì)學(xué)生的幫助應(yīng)當(dāng)不多不少，恰使學(xué)生有一份合理的工作。

如果學(xué)生不太能夠獨(dú)立工作，那末教師也至少應(yīng)當(dāng)使他感覺(jué)自己是在獨(dú)立工

作。為了做到這一點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)考慮周到地、不顯眼地幫助學(xué)生。

不過(guò)，對(duì)學(xué)生的幫助最好是順乎自然。教師對(duì)學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了解

學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)產(chǎn)生的問(wèn)

題，或者指出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)想出來(lái)的步驟。

2.問(wèn)題、建議、思維活動(dòng)在打算對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效、不顯眼而又自然的幫助時(shí)，教

師不免一而再，再

而三地提出一些相同的問(wèn)題，指出一些相同的步驟。這樣，在大量的問(wèn)題中，我

們總是問(wèn):未知數(shù)是什么？我們可以變換提法，以各種不同的方式提問(wèn)同一個(gè)問(wèn)題：

求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？這類(lèi)問(wèn)題的目的是把學(xué)生的注意力

集中到未知數(shù)上。有時(shí)，我們用一條建議：看著未知數(shù)，來(lái)更為自然地達(dá)到同

一效果。問(wèn)題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動(dòng)。

從作者看來(lái)，在與學(xué)生討論的問(wèn)題中，收集一些典型的有用問(wèn)題和建議，并

加以分類(lèi)是有價(jià)值的。前面這張表就包含了這類(lèi)經(jīng)過(guò)仔細(xì)挑選與安排的問(wèn)題和

建議；它們對(duì)于那些能獨(dú)立解題的人也同樣有用。讀者充分熟悉這張表并且看

出在建議之后所應(yīng)采取的行動(dòng)之后，他會(huì)感到這張表中所間接列舉的是對(duì)解題

很有用的典型思維活動(dòng)。這些思維活動(dòng)在表中的次序是按其發(fā)生的可能性大小

排列的。

3.普遍性表中所提問(wèn)題與建議的重要特點(diǎn)之一是普遍性，例如：未知數(shù)是什么？

已

知數(shù)是什么?條件是什么?這些問(wèn)題都是普遍適用的，對(duì)于所有各類(lèi)問(wèn)題，我們提

出這些問(wèn)題都會(huì)取得良好效果。它們的用途不限于任何題目。我們的問(wèn)題可以

是代數(shù)的或幾何的，數(shù)學(xué)的或非數(shù)學(xué)的，理論的或?qū)嶋H的，一個(gè)嚴(yán)肅的問(wèn)題或

僅僅是個(gè)謎語(yǔ)。這沒(méi)什么差別，上述問(wèn)題都是有意義的，而且有助于我們解題。

事實(shí)上，還存在一個(gè)限制，不過(guò)這與論題無(wú)關(guān)。表中某些問(wèn)題與建議，只能

用于“求解題”而不能用于“求證題”。如果我們的問(wèn)題屬于后者，則必須采

用別的提問(wèn)方法，見(jiàn)第三部分“求解題，求證題”這一段。

4.常識(shí)

我們這張表中的問(wèn)題與建議是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它們

也是自然的、簡(jiǎn)單的、顯而易見(jiàn)的并且來(lái)自于普通常識(shí)。例如這條建議：看著

未知數(shù)!試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或類(lèi)似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題這條建議不管

怎樣總是勸告你去做你想做的事，而對(duì)于你認(rèn)真要解決的問(wèn)題并未提出具體的

勸告。你是不是肚子餓了？如果你希望搞點(diǎn)吃的，你就會(huì)想起你所熟悉的搞到食物

的一些辦法。你是不是有一個(gè)幾何作圖題?如果你想作一個(gè)三角形,你也會(huì)想起你

所熟悉的一些作三角形的辦法你是否有一個(gè)任意的問(wèn)題?你若希望找出某個(gè)未

知數(shù)，你就會(huì)想起找出這樣一個(gè)未知數(shù)或你所熟悉的類(lèi)似未知數(shù)的一些辦法。

如果你這樣做了，那你的路子也是對(duì)頭的；這個(gè)建議是個(gè)好建議，它向你提出

一個(gè)常能成功的程序。

我們表中的所有問(wèn)題與建議都是自然的、簡(jiǎn)單的、顯而易見(jiàn)的，而且只不過(guò)

是普通常識(shí)；但是這張表把常識(shí)概括地加以敘述。這張表所提出的處理辦法對(duì)于

那些認(rèn)真對(duì)待其問(wèn)題并有某些常識(shí)的人來(lái)說(shuō)是很自然的。然而按正確道路行動(dòng)的

人往往不注意用明確的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)其行動(dòng)而且他可能根本不會(huì)這樣做；我們這張

表卻嘗試去表達(dá)這些。

5.教師與學(xué)生，模仿與實(shí)踐當(dāng)教師向?qū)W生提出表中的問(wèn)題或建議時(shí)，他可能有兩

個(gè)目的：第一，幫助

學(xué)生解決手頭的問(wèn)題；第二，培養(yǎng)學(xué)生將來(lái)能夠獨(dú)立解題的能力。

經(jīng)驗(yàn)證明，適當(dāng)使用我們表中的問(wèn)題與建議，常能對(duì)學(xué)生有所裨益。此表有

兩個(gè)特點(diǎn)：常識(shí)性與普遍性。由于此表來(lái)源于普通常識(shí)，所以顯得很自然，學(xué)

生自己也會(huì)提出這類(lèi)問(wèn)題。由于此表具有普遍性，所以它們對(duì)學(xué)生的幫助并非

強(qiáng)加于人；它們只不過(guò)指出了一般的方向，而留給學(xué)生去做的還很多。

上述兩個(gè)目的是密切相關(guān)的。如果學(xué)生在解決手邊的問(wèn)題中獲得成功，他就

提高了一些解題的能力。這時(shí)，我們不應(yīng)該忘記我們所提問(wèn)題具有普遍性而且

可適用于許多情況。如果同一個(gè)問(wèn)題反復(fù)地對(duì)學(xué)生有所幫助，那么他就會(huì)注意

到這個(gè)問(wèn)題，于是在類(lèi)似的情況下，他自己就會(huì)提出這個(gè)問(wèn)題。通過(guò)反復(fù)地提

出這個(gè)問(wèn)題，他總會(huì)有一次成功地誘導(dǎo)出正確的念頭。通過(guò)這樣一次成功，他

便發(fā)現(xiàn)了利用這個(gè)問(wèn)題的正確途徑，于是，他真正地領(lǐng)會(huì)了它。

學(xué)生可能對(duì)我們表中的一些問(wèn)題領(lǐng)會(huì)得很好，以致他最終能夠在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)

刻向自己提出正確的問(wèn)題，并進(jìn)行相應(yīng)的自然而活躍的思維活動(dòng)。這樣，學(xué)生就

無(wú)疑從我們的表中得到了盡可能多的收獲。為了得到盡可能好的結(jié)果，教師可

以做些什么事呢？

解題，譬如，就好象游泳一樣，是一種實(shí)際技能。當(dāng)你學(xué)習(xí)游泳時(shí)，你模仿

其他人的手足動(dòng)作使頭部保持在水面上并最后通過(guò)實(shí)踐（實(shí)地練習(xí)游泳）來(lái)學(xué)會(huì)

游泳。當(dāng)試圖解題時(shí)，你也必須觀察并模仿其它人在解題時(shí)的所作所為，并且

最后通過(guò)實(shí)踐來(lái)學(xué)會(huì)解題。

希望提高學(xué)生解題能力的教師,必須培養(yǎng)學(xué)生的興趣，然后給他們提供大量

的機(jī)會(huì)去模仿與實(shí)踐。如果教師想要在他的學(xué)生中發(fā)展相應(yīng)于我們表中的問(wèn)題

與建議的思維活動(dòng)，那么他就應(yīng)該盡可能地經(jīng)常而自然地向?qū)W生提出這些問(wèn)題

和建議。此外，當(dāng)教師在全班面前解題時(shí)，他應(yīng)當(dāng)使其思路更吸引人一些，并

且應(yīng)當(dāng)向自己提出那些在幫助學(xué)生時(shí)所使用的相同問(wèn)題。由于這樣的指導(dǎo)，學(xué)

生將終于找到使用表中這些問(wèn)題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學(xué)

到比任何具體數(shù)學(xué)知識(shí)更為重要的東西。

主要部分，主要問(wèn)題

6.四個(gè)階段

在求解過(guò)程中，我們很可能再三地改變我們的觀點(diǎn),或者改變考慮問(wèn)題的途

徑。我們應(yīng)該不斷地變更我們的出發(fā)點(diǎn)。當(dāng)我們開(kāi)始著手解題時(shí)，我們對(duì)問(wèn)題

的概念可能很不完整；當(dāng)我們有些進(jìn)展以后，我們的看法就不同了；而當(dāng)我們

幾乎已經(jīng)得到解答的時(shí)候，看法就會(huì)更不相同。

為了把我們表中的問(wèn)題與建議進(jìn)行適當(dāng)分組,我們把工作分為四個(gè)階段。首

先,我們必須了解問(wèn)題;我們必須清楚地看到要求的是什么?其次，我們必須了解

各個(gè)項(xiàng)之間有怎樣的聯(lián)系？未知數(shù)和數(shù)據(jù)之間有什么關(guān)系？為了得到解題的思

路，應(yīng)該制定一個(gè)計(jì)劃。第三，實(shí)現(xiàn)我們的計(jì)劃。第四，我們回顧所完成的解

答，對(duì)它進(jìn)行檢查和討論。

上述每一階段都有其重要性?？赡軙?huì)有這樣的情況:一個(gè)學(xué)生想出了一個(gè)異

常好的念頭，于是跳過(guò)所有的預(yù)備步驟，解答就脫口而出了。如此幸運(yùn)的念頭

當(dāng)然是求之不得的，但是也可能發(fā)生很不如愿和很不走運(yùn)的事：即，學(xué)生通過(guò)

上述四階段中的任何一個(gè)階段都沒(méi)有想出好念頭。最糟糕的情況是：學(xué)生并沒(méi)

有理解問(wèn)題就進(jìn)行演算或作圖。一般說(shuō)來(lái)，在尚未看到主要聯(lián)系或者尚未作出

某種計(jì)劃的情況下，去處理細(xì)節(jié)是毫無(wú)用處的。如果學(xué)生在實(shí)行其計(jì)劃的過(guò)程

中檢查每一步，就可以避免許多錯(cuò)誤。如果學(xué)生不去重新檢查或重新考慮已完

成的解答，則可能失去某些最好的效果。

7、弄清問(wèn)題

回答一個(gè)你尚未弄清的問(wèn)題是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的。在

校內(nèi)外，這種愚蠢和可悲的事情卻經(jīng)常發(fā)生，但教師應(yīng)力求防止在他的班級(jí)里發(fā)

生這樣的事。學(xué)生應(yīng)當(dāng)弄清問(wèn)題，然而他不僅應(yīng)當(dāng)弄清它，而且還渴望解出它。

如果學(xué)生對(duì)問(wèn)題沒(méi)弄清或不感興趣，這并不是他的過(guò)錯(cuò)，問(wèn)題應(yīng)當(dāng)精選，所選的

題目不太難但也不要太容易，應(yīng)順乎自然而且趣味盎然，并且有時(shí)在敘述方式上

也應(yīng)當(dāng)自然而有趣。

首先，必須了解問(wèn)題的文字?jǐn)⑹?。教師在某種程度上可以檢查這一點(diǎn)，他可

以要求學(xué)生重新敘述這題目，而學(xué)生應(yīng)能流利地重新敘述這個(gè)問(wèn)題。學(xué)生還應(yīng)當(dāng)

能夠指出問(wèn)題的主要部分，即未知數(shù)，已知數(shù)據(jù)，條件。所以老師提問(wèn)時(shí)，不要錯(cuò)

過(guò)這樣的問(wèn)題：未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么?條件是什么？

學(xué)生應(yīng)該仔細(xì)地、重復(fù)地并且從各個(gè)方面來(lái)考慮問(wèn)題的主要部分。如果問(wèn)

題和某一-圖形有關(guān)，那末他應(yīng)該畫(huà)張圖并在上面標(biāo)出未知數(shù)與已知數(shù)據(jù)。如果對(duì)

這些對(duì)象需要給以名稱，他應(yīng)該引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。適當(dāng)?shù)刈⒁膺x擇符號(hào)，他就

會(huì)被迫考慮這些必須選擇符號(hào)的對(duì)象。在此預(yù)備階段中，假定我們并不期望有

一個(gè)明確的回答，而只不過(guò)想有一個(gè)臨時(shí)性的回答或一個(gè)猜測(cè)，那么另外還有

一個(gè)問(wèn)題可能是有用的，即：滿足條件是否可能呢？

（在本書(shū)第二部分中，把“弄清問(wèn)題”分成兩個(gè)階段：“熟悉問(wèn)題”和“深

人理解問(wèn)題”）0

8、例子

讓我們說(shuō)明上節(jié)中的某幾點(diǎn)內(nèi)容。我們選下列簡(jiǎn)單問(wèn)題：已知長(zhǎng)方體的

長(zhǎng)、寬、高，求其對(duì)角線長(zhǎng)度。

為了對(duì)此問(wèn)題作有益的討論，學(xué)生必須熟悉畢達(dá)哥拉斯定理及其在平面幾

何中的某些應(yīng)用。他們對(duì)立體幾何可能只有很少的系統(tǒng)知識(shí)。教師這時(shí)可以依賴

學(xué)生對(duì)空間關(guān)系的樸素知識(shí)。

教師可以通過(guò)使問(wèn)題具體化而使之有趣。如教室就是個(gè)長(zhǎng)方體，其尺寸可以

測(cè)量，也可以估計(jì)，要求學(xué)生不作測(cè)量，間接地求出教室的對(duì)角線長(zhǎng)度。教師

指出教室的長(zhǎng)、寬、高，用手勢(shì)說(shuō)明什么是對(duì)角線，通過(guò)不斷地和教室相聯(lián)系

而使他畫(huà)在黑板上的圖變得更加形象。

以下是老師與學(xué)生間的對(duì)話：

“未知數(shù)是什么？”“長(zhǎng)方體

對(duì)角線的長(zhǎng)度?！薄耙阎獢?shù)是

什么？”“長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、

-pT，）

FRJO

“引入適當(dāng)?shù)姆?hào)，用哪個(gè)字母表示未知數(shù)？”

"x"

“長(zhǎng)、寬、高應(yīng)選哪些字母？”“a,

b,c”“聯(lián)系a,b,c與x的條件是

什么？”

“x是長(zhǎng)方體的對(duì)角線，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為a,b,c”“這是個(gè)合理的問(wèn)

題嗎?我意思是說(shuō)，條件是否充分，足以確定未知數(shù)嗎？”“是的，是充分的。如

果我們知道a,b,c,我們就知道平行六面體。如

果平行六面體被確定，則對(duì)角線也被確定了。”

9.擬定計(jì)劃

當(dāng)我們知道，或至少大體上知道，為了求解未知數(shù)，必須完成哪些計(jì)算、要

作哪些圖的時(shí)候，我們就有了一個(gè)計(jì)劃。從弄清問(wèn)題到想出一個(gè)計(jì)劃，其過(guò)程

可能是漫長(zhǎng)而曲折的。事實(shí)上，求解一個(gè)問(wèn)題的主要成績(jī)是構(gòu)想出一個(gè)解題計(jì)

劃的思路。這個(gè)思路可能是逐漸形成的。或者，在明顯失敗的嘗試和一度猶豫

不決之后，突然閃出了一個(gè)“好念頭”。老師為學(xué)生所能做的最大的好事是通

過(guò)比較自然的幫助，促使他自己想出一個(gè)好念頭。我們下面就要討論的問(wèn)題與

建議正是要誘發(fā)這樣一種好念頭。

為了弄清學(xué)生的心理活動(dòng)，老師應(yīng)當(dāng)回想他自己的經(jīng)驗(yàn)，回顧他自己在解

題時(shí)碰到的困難與取得成功的經(jīng)驗(yàn)。

我們當(dāng)然知道，如果我們對(duì)該論題知識(shí)貧乏，是不容易產(chǎn)生好念頭的。如果

我們完全沒(méi)有知識(shí)，則根本不可能產(chǎn)生好念頭。一個(gè)好念頭的基礎(chǔ)是過(guò)去的經(jīng)

驗(yàn)和已有的知識(shí)。僅僅靠記憶不足以產(chǎn)生好念頭。但若不重新收集一些有關(guān)事

實(shí)，則也不會(huì)出現(xiàn)好念頭。只有材料還不足以蓋房子，但是不收集必需的材料

也蓋不了房子。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所必需的材料是我們?cè)缫勋@得的數(shù)學(xué)知識(shí)的某些

有關(guān)內(nèi)容，如以前解決的問(wèn)題，以前證明過(guò)的定理。因此，以下列問(wèn)題開(kāi)始工

作常常是合適的：你知道一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題嗎？

困難就在于：通常有相當(dāng)多的問(wèn)題與我們現(xiàn)在手上的問(wèn)題有關(guān)，即，與它有

某種共同之處我們?cè)鯓犹舫銎渲幸粋€(gè)或幾個(gè)確實(shí)有用的問(wèn)題呢?我們建議把力

量放在主要的共同之處上看著未知數(shù)!試想起一個(gè)具有相同或相似未知數(shù)的熟

悉的問(wèn)題來(lái)。

如果我們成功地回想起一個(gè)與當(dāng)前問(wèn)題密切相關(guān)的早已解決的問(wèn)題，那是

很幸運(yùn)的。我們應(yīng)當(dāng)爭(zhēng)取這樣的運(yùn)氣；通過(guò)探索我們是可以得到它的。這里

有個(gè)問(wèn)題與你的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決，你能利用它嗎？

上述問(wèn)題,如能很好地理解和認(rèn)真地加以考慮,常常有助于激發(fā)起一連串正

確的想法；但它們并不總是有用的，它們并非魔法。如果這些問(wèn)題不行，我們

必須尋找某些其他的適當(dāng)接觸點(diǎn)，并且探索問(wèn)題的各個(gè)方面；我們不得不變化、

變換、修改該問(wèn)題。你能否重述這個(gè)問(wèn)題?我們表中的某些問(wèn)題提示了改變問(wèn)題

的專(zhuān)門(mén)方法，例如普遍化、特殊化、應(yīng)用類(lèi)比、舍去一部分條件等等；具體細(xì)

節(jié)是重要的，但我們現(xiàn)在不能深入討論。改變問(wèn)題可能導(dǎo)致提出某種適當(dāng)?shù)妮o

助問(wèn)題：如果你不能解決所提出的問(wèn)題，則應(yīng)首先嘗試去解決某些與此有關(guān)的

問(wèn)題。

嘗試去應(yīng)用各種已知的問(wèn)題或定理，考慮各種修改,對(duì)各種輔助問(wèn)題進(jìn)行試

驗(yàn)，我們可能離開(kāi)原來(lái)的問(wèn)題太遠(yuǎn)，甚至最后有失掉它的危險(xiǎn)。但是還有一個(gè)

很好的問(wèn)題可以把我們帶回原處你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了

整個(gè)條件？

10.例子

我們回到第8節(jié)中的例子。

“你是否知道一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題？”

……“看著未知數(shù)，你是否知道一個(gè)具有相同未知數(shù)的問(wèn)

題？”“好，未知數(shù)是什么？”

“平行六面體的對(duì)角線。”“你是否知道任何具有相同未

知數(shù)的問(wèn)題？”“不，我們還沒(méi)有任何關(guān)于平行六面體對(duì)

角線的問(wèn)題”“你是否知道任何具有相似未知數(shù)的問(wèn)

題？”

“你看，對(duì)角線是個(gè)線段，就是直線的一段。你從來(lái)沒(méi)有解決過(guò)一個(gè)未知數(shù)

是直線長(zhǎng)度的問(wèn)題？”

“當(dāng)然，我們?cè)?jīng)解決過(guò)這樣的問(wèn)題，例如找出直角三角形的一個(gè)邊。”“好

??！這里有一個(gè)知你的問(wèn)題有關(guān)的問(wèn)題，且早已解決，你能利用它

嗎？”

“你真走運(yùn)，你想起了一個(gè)與你當(dāng)前問(wèn)題有關(guān)的問(wèn)題，而且這個(gè)問(wèn)題你以

前已經(jīng)解決了。你愿意利用它嗎？為了能利用它，你能否引進(jìn)某個(gè)輔助元素？”

“看這里，你所想起的是一個(gè)關(guān)于三角形的問(wèn)題。圖中有三角形嗎？”

我們希望這最后的提示已明白得足以誘發(fā)出解題的思路（即引入一個(gè)在圖

1中用陰影畫(huà)出的直角三角形）。這個(gè)引入的直角三角形的斜邊就是我們所要求

的對(duì)角線。但是教師應(yīng)當(dāng)對(duì)下述情況有所準(zhǔn)備:即使這樣明白的提示也不能使學(xué)

生開(kāi)竅，那么他應(yīng)當(dāng)動(dòng)用所有越來(lái)越明顯的提示。

“你是否想在圖1中有個(gè)三角形？”

“在圖中，你想有哪種三角形？”

“你現(xiàn)在還不能求出這對(duì)角線；但你說(shuō)過(guò)你能求出三角形的一個(gè)邊。那么

現(xiàn)在你該怎么辦呢？”“如果對(duì)角線是三角形的一個(gè)邊，你

能找出它嗎？”

經(jīng)過(guò)或多或少的幫助后，學(xué)生終于成功地引進(jìn)了決定性的輔助元素，即圖中

陰影三角形，在鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)入實(shí)際計(jì)算之前，教師應(yīng)確信其學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解

已有足夠的深度。

“我想，畫(huà)出那個(gè)三角形是個(gè)好主意，你現(xiàn)在有了個(gè)三角形，但是你是否

有未知數(shù)？”“未知數(shù)是三角形的斜邊，我們可用畢達(dá)哥拉斯定理去計(jì)算

它”“如果兩邊為已知，你會(huì)計(jì)算。但它們是已知的嗎？”

“一個(gè)邊已給定，是C。另一個(gè)邊，我想也不難求出。是的，另一邊是另

一個(gè)直角三角形的斜邊。”“很好!現(xiàn)在我看

出你有個(gè)計(jì)劃了?！?/p>

11.實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

想出一個(gè)計(jì)劃，產(chǎn)生一個(gè)求解的念頭是不容易的。要成功需要有許多條件，如已

有的知識(shí)、良好的思維習(xí)慣、目標(biāo)集中，還要有好運(yùn)氣。但實(shí)現(xiàn)計(jì)劃則容易得多，

我們所需要的主要是耐心。

計(jì)劃僅給出一個(gè)一般性的大綱，我們必須充實(shí)細(xì)節(jié)并耐心地檢查每一個(gè)細(xì)

節(jié)，直到每一點(diǎn)都完全清楚了，沒(méi)有任何可能隱藏錯(cuò)誤的含糊之處為止。

如果學(xué)生真的擬定出一個(gè)計(jì)劃,則教師就比較清閑了?，F(xiàn)在的主要危險(xiǎn)是學(xué)

生可能會(huì)忘記他的計(jì)劃。因?yàn)槟切耐饨缃邮苡?jì)劃的和根據(jù)教師的權(quán)威來(lái)采納

某個(gè)計(jì)劃的學(xué)生彳艮容易發(fā)生這種現(xiàn)象;但若是學(xué)生自己搞出來(lái)的計(jì)劃（即便經(jīng)過(guò)

某種幫助）并且學(xué)生滿意地看出了最終的思路，則他就不那么容易忘記。教口必須

堅(jiān)持讓學(xué)生檢查每一步驟。

根據(jù)“直觀”或“形式”上的論證，我們可以使自己相信每一步驟的正確

性。我們可以集中力量在有問(wèn)題的疑點(diǎn)上，直到完全搞清楚，毫不懷疑每一步驟

都是正確的為止；或者我們可以根據(jù)形式推理的法則推導(dǎo)出有問(wèn)題的這一點(diǎn)（在

許多重要的場(chǎng)合，直接觀察與形式證明二者間的區(qū)別是足夠明顯的；更進(jìn)一步的

討論讓我們留給哲學(xué)家們?nèi)ミM(jìn)行吧!）

主要之點(diǎn)是:學(xué)生應(yīng)當(dāng)真正地相信每一步驟的正確性。在某些情況老師可以

強(qiáng)調(diào)“看出來(lái)”與“證明”二者之間的差別而提出：你能清楚地看出這一步驟

是正確的嗎？同時(shí)你也能證明這一步驟是正確的嗎？

12.例子

我們繼續(xù)第10節(jié)末尾留下的工作。學(xué)生最后已經(jīng)得到了解題的思路。他看出

未知數(shù)x是直角三角形的斜邊，而給定的高度c是邊長(zhǎng)之一，另一邊則是六面體

的一個(gè)面的對(duì)角線。很可能這剛學(xué)生被催促引入一個(gè)適當(dāng)?shù)姆?hào)。他應(yīng)當(dāng)選擇y

表示另一邊，即面上的對(duì)角線，其兩邊為a和b。學(xué)生現(xiàn)在可能看得更清楚：解

題的思路就是應(yīng)該引進(jìn)一個(gè)輔助未知數(shù)y0最后，陸續(xù)對(duì)這兩個(gè)直角三角形進(jìn)行

考慮之后，他得到

22

x2=y+c

y2=a?+b2于是消去輔助未知數(shù)y,從而有

222

x2=a+b+c

x=y/a2+b2+c2

如果學(xué)生正確地進(jìn)行上述細(xì)節(jié)運(yùn)算，老師沒(méi)有理由去打斷他，除非必要時(shí)

提醒他應(yīng)當(dāng)檢查每一步。這樣，教師可以問(wèn):

“你能清楚地看出具有三邊X,y,c的三角形是直角三角形嗎？”

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生可能老老實(shí)實(shí)回答：“是”。但是如果老師不滿足于

學(xué)生的直觀猜測(cè)，他應(yīng)該繼續(xù)提問(wèn)：

“但是你能證明這個(gè)三角形是個(gè)直角三角形嗎？”除非整個(gè)班級(jí)對(duì)于立體幾

何已經(jīng)有了良好的起點(diǎn)，否則教師不應(yīng)當(dāng)提出這

個(gè)問(wèn)題。即使如此，也仍然存在某些危險(xiǎn)性，即對(duì)這個(gè)偶然提出問(wèn)題的回答可能

成為大多數(shù)學(xué)生的主要困難。

13.回顧

即使是相當(dāng)好的學(xué)生，當(dāng)他得到問(wèn)題的解答，并且很干凈利落地寫(xiě)下論證后，

就會(huì)合上書(shū)本，找點(diǎn)別的事來(lái)干干。這樣做，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一個(gè)重要而有教

益的方面。通過(guò)回顧所完成的解答，通過(guò)重新考慮與重新檢查這個(gè)結(jié)果和得出這一

結(jié)果的路子學(xué)生們可以鞏固他們的知識(shí)和發(fā)展他們解題的能力。一個(gè)好的教師應(yīng)該

懂得并且傳授給學(xué)生下述看法：沒(méi)有任何問(wèn)題是可以解決得十全十美的?？偸Ｏ滦?/p>

工作要做。經(jīng)過(guò)充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，

我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平。

現(xiàn)在學(xué)生已經(jīng)完成了他的計(jì)劃。他已經(jīng)寫(xiě)出了答案，檢查了每一步。這樣，他似

乎有充分理由相信他的解答是正確的了。然而，出現(xiàn)錯(cuò)誤總還是可能的，特別當(dāng)論

證冗長(zhǎng)而復(fù)雜的時(shí)候更是如此。所以要驗(yàn)證。特別是，如果有某種快速而直觀的辦

法來(lái)檢驗(yàn)結(jié)果或者檢驗(yàn)論證，決不要忽略。你能檢驗(yàn)這結(jié)果嗎？你能檢驗(yàn)這個(gè)論證

嗎？

為了確信某個(gè)東西的存在或其質(zhì)量的好壞，我們總喜歡去看看它，摸摸它。我

們總是通過(guò)兩種不同的感官來(lái)感知它。同樣，我們也寧可通過(guò)兩種不同的證明使

我們對(duì)結(jié)果確信無(wú)疑。因此要問(wèn)：你能用不同方法來(lái)導(dǎo)出這結(jié)果嗎？當(dāng)然，我們

寧愿要簡(jiǎn)短而直觀的論證，而不要冗長(zhǎng)而煩瑣的，所以要問(wèn)：你能一下子看出它

嗎？

教師的首要職責(zé)之一是不要給學(xué)生以下述錯(cuò)覺(jué)：數(shù)學(xué)題目之間很少有聯(lián)系，和

任何其他事物則完全沒(méi)有什么聯(lián)系。當(dāng)我們回顧問(wèn)題解答的時(shí)候，我們自然有機(jī)會(huì)

來(lái)考察一個(gè)問(wèn)題與其它事物的聯(lián)系。如果學(xué)生已經(jīng)作出了真誠(chéng)的努力并且意識(shí)到自

己完成得不錯(cuò)那末他們將發(fā)現(xiàn)對(duì)解答加以回顧確實(shí)饒有趣味。這樣，他們就熱切地

想知道用真誠(chéng)的努力還可干些什么別的，以及下次他如何能干得同樣好。教師應(yīng)該

鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)想一些情況，在那些情況下，他能再一次利用所使用的辦法，或者應(yīng)用

所得到的結(jié)果。你能把這結(jié)果或這方法用于某個(gè)其它問(wèn)題嗎？

14.例子

在第12節(jié)，學(xué)生最后得到了解答：如果長(zhǎng)方體自同一角引出的三個(gè)邊為a,

b,c,那末對(duì)角線為

\/a2+b2+c2

你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？教師不能指望從缺乏經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生那里得到這個(gè)問(wèn)題

的良好回答。但是學(xué)生應(yīng)該很早就獲得下述經(jīng)驗(yàn):用字母表達(dá)的問(wèn)題比純粹數(shù)字

題好。對(duì)于用字母表示的題，其結(jié)果很容易進(jìn)行幾次檢驗(yàn)，而用數(shù)字表示的題

則不然。我們的例子雖然很簡(jiǎn)單，也足以證明這點(diǎn)。教師可以對(duì)結(jié)果提出好幾

個(gè)問(wèn)題，對(duì)這些問(wèn)題，學(xué)生可以很容易地回答“是"；但如回答“不是”，這

將表明結(jié)果中存在嚴(yán)重的缺點(diǎn)。

“你是否使用了所有的數(shù)據(jù)?是否所有數(shù)據(jù)a,b,c都在你的對(duì)角線公式中

出現(xiàn)?”

“長(zhǎng)、寬、高在我們的問(wèn)題中起的作用是一樣的，我們的問(wèn)題對(duì)a,b,c來(lái)

說(shuō)是對(duì)稱的。你所得的公式對(duì)a,b,c對(duì)稱嗎？當(dāng)a,b,c互換時(shí)公式是否保持不

變？”

“我們的問(wèn)題是一個(gè)立體幾何問(wèn)題給定尺寸a,b,c,求平行六面體的對(duì)角

線。我們的問(wèn)題與平面幾何的問(wèn)題類(lèi)似：給定尺寸a、b,求矩形的對(duì)角線，這

里立體幾何問(wèn)題的結(jié)果是否與平面幾何的結(jié)果類(lèi)似？”

“如果高c減小，并且最后等于零，這時(shí)平行六面體變成平行四邊形。在你

的公式中，令c=0,是否得到矩形對(duì)角線的正確公式？”

“如果高c增加，則對(duì)角線也增加。你的公式是否表明這點(diǎn)？”“如果平行

六面體的三個(gè)量度a,b,c按同一比例增加，則對(duì)角線也按同

一比例增加I。在你的公式中，如將a,b,c分別代以12a,12b,12c,則對(duì)角線

也將乘以12,是否這樣？”

“如果a,b,c的單位是尺，則你的公式給出的對(duì)角線的單位也是尺；如果

將所有單位改為寸，則公式應(yīng)保持正確，是否如此？”

（后兩個(gè)問(wèn)題基本上是等價(jià)的。參見(jiàn)“量綱檢驗(yàn)”一節(jié)）

上述一些問(wèn)題有幾個(gè)好處。首先，公式通過(guò)這么多的檢驗(yàn)，這一事實(shí)不能不

使一個(gè)聰明的學(xué)生產(chǎn)生深刻的印象。學(xué)生以前就相信公式是正確的，因?yàn)楣?/p>

是他仔細(xì)推導(dǎo)出來(lái)的。但是現(xiàn)在經(jīng)過(guò)這么多檢驗(yàn)，他就更深信無(wú)疑了，這種信

心的增加來(lái)源于一種“實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)”。正是由于上述問(wèn)題，公式的細(xì)節(jié)獲得了

新的意義，而且和不同的事實(shí)聯(lián)系起來(lái)了。這樣，公式就更容易記住，學(xué)生的

知識(shí)得以鞏固。最后，上述問(wèn)題很容易轉(zhuǎn)到類(lèi)似的題目上。對(duì)于類(lèi)似題目獲得

一些經(jīng)驗(yàn)以后，一個(gè)聰明的學(xué)生就能覺(jué)察出所包含的普遍概念：即，利用所有

有關(guān)數(shù)據(jù)，改變數(shù)據(jù)，對(duì)稱，類(lèi)比。如果他養(yǎng)成了把注意力集中在這些地方的

習(xí)慣，他解題的能力肯定會(huì)提高。

你能檢驗(yàn)這個(gè)論證嗎？在困難而重要的場(chǎng)合，可能需要逐步地重新檢驗(yàn)論

證。但通常，重新檢查一下令人惱火之點(diǎn)就夠了。在本例，可以建議討論以前提

過(guò)的問(wèn)題：你能證明具有三邊X,y,c的三角形是直角三角形嗎（見(jiàn)第12節(jié)末

尾處）?

你能把這結(jié)果或方法用于其它問(wèn)題嗎?在受到一些鼓勵(lì)并且經(jīng)過(guò)一兩個(gè)示

范例子以后，學(xué)生們很容易找到應(yīng)用，這些應(yīng)用實(shí)質(zhì)上就是把問(wèn)題的抽象數(shù)學(xué)元

素賦予具體的解釋。當(dāng)教師在進(jìn)行討論的教室里，把教室當(dāng)作問(wèn)題中的長(zhǎng)方體，

他自己就使用了這樣一種具體的解釋。一個(gè)笨拙的學(xué)生可能會(huì)提議計(jì)算食堂的

對(duì)角線，而不是教室的對(duì)角線來(lái)作為一種應(yīng)用。如果學(xué)生們自己提不出來(lái)更有

想象力的內(nèi)容，那么教師本人可以提出一個(gè)稍許不同的問(wèn)題，例如：“給定長(zhǎng)

方體的長(zhǎng)、寬、高，求中心到一角的距離”。

學(xué)生可以利用剛才解決的問(wèn)題的結(jié)果，因?yàn)樗缶嚯x是對(duì)角線的一半?；蛘?/p>

他們也可以利用引入適當(dāng)?shù)闹苯侨切蔚姆椒ǎê笠环N辦法對(duì)于本例來(lái)說(shuō)是那

么顯而易見(jiàn)的，并且多少有點(diǎn)笨拙）。

在這個(gè)應(yīng)用例子之后，教師可以討論長(zhǎng)方體四個(gè)對(duì)角線和六個(gè)棱錐體的結(jié)

構(gòu)，這六個(gè)棱錐體的底是長(zhǎng)方體的六個(gè)面、公共頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的中心、而側(cè)棱是

長(zhǎng)方體對(duì)角線的一半。當(dāng)學(xué)生的幾何想象力被充分激發(fā)以后，教師應(yīng)當(dāng)回到他

的問(wèn)題上來(lái)你能把結(jié)果或方法用于某個(gè)其他問(wèn)題嗎?現(xiàn)在學(xué)生有機(jī)會(huì)找到更有

趣的具體應(yīng)用了，例如，下面就是一個(gè)：“在一個(gè)長(zhǎng)21碼、寬16碼的建筑物的

長(zhǎng)方形平屋頂?shù)闹行囊⒁粋€(gè)高8碼的旗桿。為了支撐這根旗桿，我們需要四根

等長(zhǎng)的拉線。規(guī)定四根拉線要離旗桿頂點(diǎn)為2碼處的同一點(diǎn)開(kāi)始，而另一端是建

筑物頂部的四個(gè)角。問(wèn)每根拉線有多長(zhǎng)?”

學(xué)生可以采用上面已詳細(xì)求解過(guò)的問(wèn)題中所用方法，即在一個(gè)垂直平面上

引入一個(gè)直角三角形而在水平平面上引入另一個(gè)三角形?；蛘咚麄円部梢岳?/p>

上面的結(jié)果：設(shè)想有一個(gè)長(zhǎng)方體，其對(duì)角線x就是四根纜繩之一而它的邊是

a=10.5,b=8,c=6

直接應(yīng)用公式可求出x=14.5o

更多的例子可見(jiàn)“你能利用這個(gè)結(jié)果嗎？"那一節(jié)。

15.不同的方法我們對(duì)前面8、10、12、14幾節(jié)所考慮的問(wèn)題繼續(xù)討論一下。主要

的工作，

即提出計(jì)戈1J,已在第10節(jié)加以敘述。讓我們觀察教師用不同的方式來(lái)進(jìn)行。從與

第10節(jié)相同之點(diǎn)出發(fā)，以后可以沿著稍許不同的路線提出下列各問(wèn)題：

“你是否知道任何與此有關(guān)的問(wèn)題？”

“你是否知道一個(gè)類(lèi)比的問(wèn)題？”

“你看，所提的問(wèn)題是關(guān)于空間的圖形，它與長(zhǎng)方體的對(duì)角線有關(guān)。關(guān)于

平面中的類(lèi)比問(wèn)題可能是什么？它應(yīng)該與長(zhǎng)方形的對(duì)角線有關(guān)”。

“平行四邊形”。

即便非常遲鈍和平凡、并且以前沒(méi)有能力推測(cè)任何事物的學(xué)生，最后也會(huì)被

迫對(duì)解題的思路至少作出微小的貢獻(xiàn)。此外，如果學(xué)生確實(shí)比較遲鈍，為了使

學(xué)生有所準(zhǔn)備，教師應(yīng)該事先討論平行四邊形的類(lèi)比問(wèn)題，否則不能一下子就

端出現(xiàn)在的這個(gè)長(zhǎng)方體問(wèn)題。然后，教師可以繼續(xù)提問(wèn)如下：

“這里有一個(gè)與你有關(guān)且已解決了的問(wèn)題，你能利用它嗎？”

“為了有可能利用它，你是否應(yīng)當(dāng)引入某個(gè)輔助元素?”

最后教師可以成功地向?qū)W生提出他所希望的概念。這就是把給定長(zhǎng)方體的對(duì)

角線想象為必須引入圖中的一個(gè)合適的平行四邊形的對(duì)角線（這個(gè)平行四邊形是

通過(guò)長(zhǎng)方體和兩個(gè)對(duì)邊的平面的截面）。此概念本質(zhì)上和前面（第10節(jié)）相同，但

方法卻不一樣。在第10節(jié)是通過(guò)未知數(shù)來(lái)觸及到學(xué)生的可用的知識(shí)的；我們回想

起一個(gè)以前已解決的問(wèn)題是因?yàn)槠湮粗獢?shù)和當(dāng)前提出的問(wèn)題中的未知數(shù)相同。而

在本節(jié)，是用類(lèi)比的方法使學(xué)生觸及到解題的概念。

16.教師提問(wèn)的方法在第8,10,12,14,15各節(jié)所闡述的提問(wèn)方法主要是先從

表中一般化的

問(wèn)題和建議開(kāi)始，在需要時(shí)，逐步轉(zhuǎn)向更特殊更具體的問(wèn)題和建議，直到在學(xué)生

的頭腦中能引出一個(gè)回答為止。如果你必須幫助學(xué)生開(kāi)拓某種思路，如果可能

的話，從表中一個(gè)一般化的問(wèn)題或建議重新開(kāi)始提問(wèn)，并在必要時(shí)再一次回到

某個(gè)更特殊的問(wèn)題，如此等等。

當(dāng)然，這張表僅僅是這種類(lèi)型的第一張表，看來(lái)對(duì)大多數(shù)簡(jiǎn)單情況是夠用

了。但無(wú)疑它還應(yīng)該改進(jìn)。重要的是，我們開(kāi)始提的問(wèn)題與建議應(yīng)該簡(jiǎn)單、自然

和一般化，同時(shí)表應(yīng)當(dāng)短。

建議必須簡(jiǎn)單而自然，否則就會(huì)太唐突。如果我們想培養(yǎng)學(xué)生的能力而不是

特殊技巧的話，那么建議必須一般化，

不僅可用于目前的問(wèn)題，而且可用于各類(lèi)問(wèn)題。

表必須簡(jiǎn)短，使得在不同情況下，能夠不矯揉造作地重復(fù)提問(wèn)，從而有機(jī)

會(huì)最終能為學(xué)生所掌握，并對(duì)培養(yǎng)思維習(xí)慣作出貢獻(xiàn)。

為了培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立工作能力，必需逐步改為提出特殊的建議。這種提問(wèn)的

方法不是一成不變的，幸好如此，因?yàn)樵谶@類(lèi)事情中，任何一

成不變的、機(jī)械的、陳舊的程序必然很糟糕。我們?cè)试S有一定的靈活性，它允許

采用各種辦法（見(jiàn)第15節(jié)），它可以而且應(yīng)該這樣來(lái)實(shí)施，使得教師所提的問(wèn)題

可以由學(xué)生自己提出來(lái)。

如果有讀者希望在他的班上試一試這里所提出的方法，他當(dāng)然應(yīng)該小心地

進(jìn)行,他應(yīng)該仔細(xì)地研究第8節(jié)的例子和后面笫1849,20節(jié)中的例子。他應(yīng)當(dāng)仔

細(xì)地準(zhǔn)備他打算討論的例子，同時(shí)也考慮到各種不同的方法。他開(kāi)始時(shí)應(yīng)作少

量試驗(yàn)，并逐漸摸索出他應(yīng)如何掌握這個(gè)方法，學(xué)生如何學(xué)習(xí)這個(gè)方法并且需

要多少時(shí)間。

17.好問(wèn)題與壞問(wèn)題如果能很好地理解上節(jié)所提出的提問(wèn)方法，則通過(guò)比較可以

有助于判斷某

些建議的好壞，這些建議是為了幫助學(xué)生而可能提出來(lái)的。

回到原來(lái)在第10節(jié)開(kāi)始時(shí)的情況，那時(shí)提問(wèn)下列問(wèn)題：你知道一個(gè)與此有

關(guān)的問(wèn)題嗎?我們從幫助學(xué)生的最好意愿出發(fā),不問(wèn)這個(gè)問(wèn)題，而改為提問(wèn)：你能

應(yīng)用畢達(dá)哥拉斯定理嗎？

我們的動(dòng)機(jī)可能是極好的，但是這種提問(wèn)卻大概是最壞的。我們必須認(rèn)識(shí)是

在什么情況下提出這個(gè)問(wèn)題的；然后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有一大堆反對(duì)意見(jiàn)反對(duì)這種類(lèi)

型的“幫助”。

(1)如果學(xué)生已接近于問(wèn)題的解決，他可能理解問(wèn)題的建議;但是如果他不是

這樣，他十分可能完全看不到問(wèn)題的著眼點(diǎn)，因而在最需要幫助之處卻得不到

幫助。

(2)這建議的針對(duì)性太強(qiáng)了，即使學(xué)生能利用它解決當(dāng)前的問(wèn)題，對(duì)于將

來(lái)的問(wèn)題來(lái)說(shuō)并沒(méi)有學(xué)到什么。這種提問(wèn)不是很有啟發(fā)性的。

(3)即使學(xué)生理解這建議，他們也極少能理解教師怎么會(huì)想到提出這樣一個(gè)

問(wèn)題，而學(xué)生他自己又怎樣能想出這樣一個(gè)問(wèn)題呢?它看起來(lái)很不自然很令人詫

異，就好象變戲法耍魔術(shù)一樣。它實(shí)在沒(méi)有什么啟發(fā)性。

對(duì)第10、15節(jié)中所描述的過(guò)程就提不出上述任何反對(duì)意見(jiàn)了。

更多的例子

18.一個(gè)作圖題

在給定三角形中作一正方形。正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的底邊上，另二

個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另兩邊上。

“未知的是什么？”

“一個(gè)正方形”“已

如數(shù)據(jù)是什么？”

“一個(gè)給定的三角形，其它沒(méi)有。”

“條件是什么？”

“正方形的四個(gè)角在三角形的邊線上，兩個(gè)在底上，其余兩邊每邊上有一

個(gè)?！?/p>

“是否可能滿足條件？”“我想如

此，但不太有把握。”

“看起來(lái)，你解此題并不太容易。如果你不能解決所提問(wèn)題，首先嘗試去

解決某個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能滿足部分條件嗎？”“你說(shuō)部分條件

是什么意思？”“你看，條件與正方形的所有頂點(diǎn)有關(guān)，這里有

幾個(gè)頂點(diǎn)？”“四個(gè)?！?/p>

“所謂部分條件涉及的頂點(diǎn)數(shù)應(yīng)當(dāng)少于四個(gè)。請(qǐng)僅僅保持部分條件而舍去其

余部分。什么樣的部分條件容易滿足？”

“兩頂點(diǎn)在三角形邊線上，甚至三個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊線上的正方形，是

容易畫(huà)出來(lái)的！”

“畫(huà)張圖！”

學(xué)生畫(huà)出圖2。

“你僅僅保留了部分條件，同時(shí)你舍去了其余條件?，F(xiàn)在未知的確定到了什

么程度？”

“如果正方形只有三個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊線上，那么它是不確定的。”“好！

畫(huà)張圖?！?/p>

學(xué)生畫(huà)出圖3。

“正象你所說(shuō)的,保持部分條件不能確定正方形、它會(huì)怎樣變化呢？”

“你的正方形的三個(gè)角在三角形的邊線上，但第四個(gè)角還不在它應(yīng)該在的

地方。正象你說(shuō)的，你的正方形是不確定的，它能變化；第四個(gè)角也是這樣，它

怎樣變化？”

“如果你希望的，你可以用實(shí)驗(yàn)的辦法試試看。按照?qǐng)D中已有的兩個(gè)正方形

的相同辦法，去畫(huà)出更多的三個(gè)角在邊線上的正方形。畫(huà)出小的正方形與大的

正方形。第四角的軌跡看起來(lái)象是什么?它將怎樣變化？

教師已把學(xué)生帶到非常接近于解答的地方。如果學(xué)生能猜到第四個(gè)角的軌跡

是一條直線，他就得到這個(gè)主意了。

19.一個(gè)證明題

在不同平面上的兩個(gè)角，其中一個(gè)角的每一邊平行于另一角的對(duì)應(yīng)邊且方

向相同。證明這兩個(gè)角相等。

我們要證的是立體幾何的一個(gè)基本定理。這個(gè)問(wèn)題可以提給那些熟悉平面幾

何以及立體幾何中下列少數(shù)事實(shí)的學(xué)生，這少數(shù)事實(shí)構(gòu)成了歐幾里得原理中當(dāng)前

這個(gè)定理的預(yù)備知識(shí)我們不但把直接引自我們表中的問(wèn)題與建議劃上線，

而且把那些與它們相對(duì)應(yīng)的問(wèn)題與建議也劃上線。例如I,“求證題”是和“求解

題”相對(duì)應(yīng)的（在“求解題，求證題”標(biāo)題下的第5,6小節(jié)中，我們?cè)傧到y(tǒng)地討

論這種對(duì)應(yīng)關(guān)系）。

“前提是什么？”“兩角在不同的平面上，其中一個(gè)的每一邊平行于另一角的

對(duì)應(yīng)邊，且方

向相同。”“結(jié)論是

什么？”“兩角相

等?！?/p>

“畫(huà)張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。”

學(xué)生畫(huà)出圖4中的線，并在教師的或多或少的幫助下，標(biāo)出圖4中的字母。

“前提是什么?請(qǐng)用你的符號(hào)表達(dá)出來(lái)?！薄癆,B,C和A',B',C'不在同一

平面上，且AB〃A'B',AC〃A'C'°AB的

方向與A'B'的方向相同，而AC的方向與A'C'的方向相同?！?/p>

圖4

“結(jié)論是什么？”

“看著結(jié)論！嘗試想起一個(gè)具有相同或相似結(jié)淪的熟悉的定理?！?/p>

“如果兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)角相等?！?/p>

“很好！現(xiàn)在有一個(gè)與你的問(wèn)題有關(guān)的定理，且早已證明。你能否利用

它？”

“我想如此，不過(guò)我還不清楚怎么辦?！薄盀榱丝赡芾?/p>

用它，你是否應(yīng)該引入某個(gè)輔助元素？”

????????????

“好，你提得非常好的那個(gè)定理是關(guān)于三角形的，是關(guān)于一對(duì)全等三角形

的。在你的圖中有沒(méi)有三角形？”“沒(méi)有，但我能引進(jìn)一些。讓我連接B與C,B'

與C',這樣就有了兩個(gè)三角

形，ABC和A'B'C'?！薄白龅煤茫沁@些三

角形有什么用？”“去證明結(jié)論；

NBAC二NB'A'C'"

“好，如果你希望汪明這點(diǎn)，你需要兩個(gè)什么樣的三角形？”

“全等三角形。噢，對(duì)了，我可以選擇B,C,B',C',使得

AB=A'B',AC=A'C'”“好極了！現(xiàn)

在你希望證明什么？”“我希望證明

兩個(gè)三角形全等，

△ABC=AA'B'C'

如果我能證明這點(diǎn)，則立即可得結(jié)論NBAC=/B'A'C'。”“妙!你有了一個(gè)新

目標(biāo)，這目標(biāo)是一個(gè)新結(jié)論?？粗@結(jié)論！并且嘗試

想起一個(gè)具有相同或相似結(jié)論的熟悉的定理。”

“當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)三角形的三條邊分別等于另一個(gè)三角形的三條邊時(shí)，這兩

個(gè)三角形全等?！?/p>

圖5

“做得好。本來(lái)你有可能會(huì)選出一條較差的定理的。現(xiàn)在這里有了一條與

你的問(wèn)題有關(guān)的定理，且早已證明，你能否利用它？”

“如果我知道BC=B'C',我能利用它。”

“對(duì)!那么你的目標(biāo)是什么？”“證明

BC=B'C'。"

“試回憶起一個(gè)具有相同或相似結(jié)論的熟悉的定理?！薄笆堑?，我知道一個(gè)

定理，它最后結(jié)束的句子是：'……則兩線相等'，

但它并不合適。”“為了能夠利用它，你是否應(yīng)該引入某個(gè)

輔助元素？”

“你看，在圖中BC與B'C'間并無(wú)聯(lián)系，你怎么能證明BC=B'C'?"

????????????

“你利用了前提嗎?前提是什么？”“我們假定AB〃A'B',AC〃A'C'。是的，

當(dāng)然我們必須利用這點(diǎn)?！薄澳闶欠窭昧苏麄€(gè)前提?你說(shuō)AB〃A'B'這是你

所知道的關(guān)于這些線段的

全部情況嗎？”“不，根據(jù)作圖，AB還等于A'B'。它們彼此平行并且相等。AC和

A'C'也是

這樣。”“兩個(gè)等長(zhǎng)的平行線——這是很有趣的圖形。你以前見(jiàn)過(guò)嗎？”

“當(dāng)然見(jiàn)過(guò)!對(duì)!平行四邊形!讓我聯(lián)結(jié)A與A',B與B',C與C'?！?/p>

“這主意不太壞?，F(xiàn)在你的圖中有幾個(gè)平行四邊形?”

“兩個(gè)。不，三個(gè)。不，兩個(gè)。我意思是說(shuō)，其中有兩個(gè)，你可以立刻證明

它們是平行四邊形。還有第三個(gè)看來(lái)是個(gè)平行四邊形。我希望我能證明它是。這樣

證明就結(jié)束了！”

我們可能從這個(gè)學(xué)生前面的回答已經(jīng)推測(cè)到他很聰明。但是等他作出上述

最后一個(gè)回答以后，我們對(duì)此就深信不疑了。

這個(gè)學(xué)生能夠猜出數(shù)學(xué)結(jié)果并且能夠清楚地區(qū)分證明與猜測(cè)。他也知道猜

測(cè)可以多多少少似乎是可信的。確實(shí)，他真的從數(shù)學(xué)課上得到了教益；他在解題

方面有了某種實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，他可以看出并且摸索出一個(gè)好的解題思路。

20.一個(gè)速率問(wèn)題

水以速率r流進(jìn)錐形容器。容器具有正圓錐形狀,底是水平的，頂點(diǎn)在下方,

底的半徑是a,高為bo當(dāng)水深為y時(shí)，求水表面上升的速率。最后，假定a=4尺,

b=3尺，r=2立方尺/分，y=l尺，求未知數(shù)的數(shù)值。

圖6

我們假定學(xué)生知道最簡(jiǎn)單的微分法和變化率的概念。

“已知數(shù)是什么？”“圓錐底的半徑a=4尺，圓錐的高b=3尺，水流入容器的速

率r=2立方尺/分，

在某一時(shí)刻的水深y=l尺。"

“對(duì)，從問(wèn)題的敘述方式看來(lái)，是建議你先忽略具體數(shù)值而用字母求解，把

未知數(shù)用a,b,r,y表示出來(lái)，而僅在最終得到未知數(shù)的字母表達(dá)式以后再代

入具體數(shù)值。我愿意按照這條建議做?，F(xiàn)在未知數(shù)是什么？”

“當(dāng)水深為y時(shí)，水面升起的速率?！薄八鞘裁?你

能用其他術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)嗎？”“水深增加的速率?！薄八?/p>

什么?你能否再重新敘述得更不同些?”“水深的變化

率?！薄皩?duì)，y的變化率。但什么是變化率?回到定義

去?！薄昂瘮?shù)的變化率是導(dǎo)數(shù)?！?/p>

“正確?，F(xiàn)在y是函數(shù)嗎?如前所述，我們不管y的具體數(shù)值。你能否想象y

是變化的？”“是的，水深y隨著時(shí)間而

增加?！薄斑@樣，y是什么的函數(shù)？”

“時(shí)間t的?！?/p>

“好，引入適當(dāng)?shù)挠浱?hào)。用數(shù)學(xué)符號(hào)，你將怎樣寫(xiě)'y的變化率'？”“dy/dt”

“好，這就是你的未知數(shù)。你必須用a,b,r,y來(lái)表示它。順便說(shuō)一下，

數(shù)據(jù)中有一個(gè)是‘速率'，哪一個(gè)?”“r是水

流進(jìn)容器的速率?！薄八鞘裁?你能用別

的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)它嗎？”“r是容器中水的體積

的變化率?！?/p>

“它是什么?你能否再重新敘述得更不同些?你將怎樣用適當(dāng)?shù)挠浱?hào)來(lái)寫(xiě)

它？”

“r=dV/dt”“V

是什么？”

“在時(shí)間t,容器中水的體積”“好，這樣你必須用a,b,dV/dt,y,

來(lái)表示dy/dt,你將怎樣做？”

????????????

“如果你不能解決所提問(wèn)題，首先嘗試去解決某個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。如果你

到現(xiàn)在還看不出dy/dt與數(shù)據(jù)間的聯(lián)系嘗試去引入某種能作為中間過(guò)渡踏腳石

的更簡(jiǎn)單的聯(lián)系?！?/p>

“你看不出還有別的聯(lián)系嗎?例如y與V是否彼此獨(dú)立？”“不，當(dāng)y增加，

V一定也增加。”“那么說(shuō)，是有聯(lián)系了，這聯(lián)系是什么？”“好，V是錐

體的體積，y是錐體的高。但我現(xiàn)在還不知道底的半徑?！薄安贿^(guò)，你可

以考慮它。叫它什么，譬如設(shè)它為x吧！”

2

“v二ey”

3°

“正確，關(guān)于X又知道些什么？它是否與y獨(dú)立？”“不，當(dāng)水深y增加，自

由表面的半徑x也增加?！薄斑@么說(shuō)，它們之間是有聯(lián)系的。但這聯(lián)系是什

么？”“當(dāng)然是相似三角形。x：y=a：b”“你看，又多了個(gè)聯(lián)系，我不愿錯(cuò)

過(guò)從它那兒得到的好處。別忘了，你希

望知道的是y與V之間的聯(lián)系?！?/p>

“現(xiàn)在我有x=ay/b

.3b2

“很好，這看來(lái)像個(gè)踏腳點(diǎn)。難道不是嗎?但你別忠了你的目標(biāo)。未知數(shù)是

什么？”“噢，是

dy/dt”。

“你必須找出dy/dt,dV/dt與其他數(shù)量間的聯(lián)系。但這里有的卻是y,V和其

他數(shù)量間的聯(lián)系。你該怎么辦？”

“當(dāng)然是微分！

村二㈤,就是它。”

y

dth2dt

“妙!那么從已經(jīng)給出的數(shù)值能得出什么結(jié)果呢？”

“若a=4,b=3,dV/dt二廠2,y=l,則

2=4x16x1②?！币?/p>

9dt

dy/dt=O.358尺/分。

第二部分怎樣解題——一段對(duì)話

1.熟悉問(wèn)題

我應(yīng)該從哪兒開(kāi)始?從問(wèn)題的敘述開(kāi)始。

我能做什么?觀察揣摩整個(gè)問(wèn)題，盡量使其清晰而鮮明。暫時(shí)先拋開(kāi)細(xì)節(jié)。這

樣做，我能得到什么好處?你會(huì)明白問(wèn)題，使自己熟悉問(wèn)題，并把問(wèn)題

的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對(duì)待問(wèn)題也會(huì)調(diào)動(dòng)起你的記憶力，做好

準(zhǔn)備去重新聯(lián)想與問(wèn)題有關(guān)的各點(diǎn)。

2.深入理解問(wèn)題

我應(yīng)該從哪兒開(kāi)始?還是從問(wèn)題的敘述開(kāi)始當(dāng)你對(duì)問(wèn)題的敘述已如此清楚

并已深深地印入腦海，以致你即使暫時(shí)不去看它，你也不怕把它完全忘掉時(shí)，你

就可以開(kāi)始下面的工作了。

我能做什么?先把問(wèn)題的主要部分剖析出來(lái)。因?yàn)榍疤崤c結(jié)論是“求證題”的

主要部分。未知、已知與條件是“求解題”的主要部分。再把問(wèn)題中的主要部分都

弄一遍，并且要逐個(gè)地考慮，輪流地考慮，而且在各種組合中來(lái)考慮，同時(shí)把每個(gè)

細(xì)節(jié)與其它細(xì)節(jié)聯(lián)系起來(lái)，把每個(gè)細(xì)節(jié)與整個(gè)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。

這么做，我能得到什么好處?你會(huì)準(zhǔn)備好并弄清楚以后可能起作用的細(xì)節(jié)。

3.探索有益的念頭

應(yīng)該從哪兒開(kāi)始?從考慮問(wèn)題的主要部分開(kāi)始。當(dāng)主要部分能很清楚地排

列出來(lái),想得明明白白（這應(yīng)歸功于你前面的工作）并且也記得住時(shí),這時(shí)開(kāi)始做

下一步。

怎樣進(jìn)行?從各個(gè)方面來(lái)考慮你的問(wèn)題，找出與你現(xiàn)有知識(shí)有關(guān)之處。

從各個(gè)方面考慮你的問(wèn)題。分別突出各個(gè)部分，考察各個(gè)細(xì)節(jié)，用不同方法

反復(fù)審查同一細(xì)節(jié)。把細(xì)節(jié)用不同方式組合起來(lái)，從不同角度考慮它。試著在

每一細(xì)節(jié)中發(fā)現(xiàn)某些新意義，嘗試在整個(gè)問(wèn)題中得出某些新解釋。

從你現(xiàn)有知識(shí)中找出與問(wèn)題有關(guān)之處。試想過(guò)去在類(lèi)似的情況下有什么曾

幫過(guò)你的忙。在你所考察的內(nèi)容中，設(shè)法找出熟悉的東西來(lái)，在你所熟悉的東西

中，努力找出有用的東西來(lái)。

能找出什么?一個(gè)有用的念頭，也許是個(gè)決定性的念頭，它能使你一限看

出解決問(wèn)題的途徑。

念頭有什么用？它會(huì)給你指出整個(gè)或部分解題途徑，它或多或少地清楚地

向你建議該怎么做。念頭多多少少還是完整的。如果你有一個(gè)念頭，你就夠幸運(yùn)

的了。

碰上一個(gè)不完整的念頭怎么辦?應(yīng)該加以考慮。如果它看來(lái)有好處，就應(yīng)該

多考慮一會(huì)兒。如果它看來(lái)是可靠的，你應(yīng)當(dāng)確定它能引導(dǎo)你走多遠(yuǎn)，并重新

考慮一下形勢(shì)。由于這個(gè)有益的念頭，情況已經(jīng)變化了。你要從各個(gè)方面來(lái)考

慮新形勢(shì)并找出它與你現(xiàn)有知識(shí)之間的聯(lián)系。

再次這樣做，還能得到什么好處?如果你走運(yùn)的話，你或許能找到另一個(gè)

念頭。也許下一個(gè)念頭會(huì)引導(dǎo)你去解決問(wèn)題。也許在下一個(gè)念頭以后，你還需

要幾個(gè)有益的念頭。也許有些念頭會(huì)把你引入歧途。無(wú)論如何，你應(yīng)當(dāng)感謝所有

的新念頭，感謝那些次要的念頭，感謝那些模糊的念頭，也感謝那些使模糊念

頭得以糾正的補(bǔ)充性念頭。即使你暫時(shí)還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么有價(jià)值的新念頭，但如

果你對(duì)問(wèn)題的概念更完全了，或者更連貫、更和諧或者更平衡了，那你也應(yīng)當(dāng)

表示感謝。

4.實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

應(yīng)該從哪兒開(kāi)始?從引導(dǎo)到解決問(wèn)題的思路開(kāi)始。當(dāng)你感到你已抓住主要的

聯(lián)系，并且自信能提供可能需要的次要細(xì)節(jié)時(shí)，就開(kāi)始。

怎幺做?你對(duì)問(wèn)題應(yīng)抓得很有把握。詳細(xì)地進(jìn)行你以前認(rèn)為可行的全部代數(shù)

或幾何運(yùn)算。用形式推理或直接觀察檢查每一步驟的正確性，或者，如果你能夠

的話,兩種方法都用。如果你的問(wèn)題很復(fù)雜，你可以分成‘大”步驟和“小”步驟，每

一大步驟又由幾個(gè)小步驟組成。首先檢查大步驟，以后再檢驗(yàn)小步驟。

這樣做，我能有什么好處?這樣提出的解，每個(gè)步驟無(wú)疑都是正確的。

5.回顧

應(yīng)該從哪兒開(kāi)始?從解答開(kāi)始，它的每一個(gè)細(xì)節(jié)都應(yīng)該是完整而正確的，

怎么做?從各個(gè)方面考慮這個(gè)解，找出與你已有知識(shí)之間的聯(lián)系。

考慮解的細(xì)節(jié)，并嘗試使它們盡可能地簡(jiǎn)單；研究解答中較冗長(zhǎng)的部分，使

它們更短些；試著一眼就看出整個(gè)解。試著去改進(jìn)解的各部分，嘗試去改進(jìn)整個(gè)

解，使它直觀，使它盡量自然地適合于你已有的知識(shí)。總結(jié)你解題的方法，嘗試看

出它的要點(diǎn)，并且嘗試把它用于其他問(wèn)題。總結(jié)所得結(jié)果并試著把它用于其他的

問(wèn)題。

這樣做，我能有什么好處?你可能找出一個(gè)新的更好的解，你可能發(fā)現(xiàn)新的

有趣的事實(shí)。無(wú)論如何，如果你用這方式養(yǎng)成研究與總結(jié)你的解的習(xí)慣，你將

獲得某些井然有序的，便于應(yīng)用的知識(shí)，并且你將會(huì)提高你解題的能力。

第三部分探索法小詞典

1.類(lèi)比

類(lèi)比就是一種相似。相似的對(duì)象在某個(gè)方面彼此一致，類(lèi)比的對(duì)象則其相

應(yīng)部分在臬些關(guān)系上相似：

(1)長(zhǎng)方形可與長(zhǎng)方體類(lèi)比。事實(shí)上，長(zhǎng)方形各邊之間的關(guān)系與長(zhǎng)方體各面之間

的關(guān)系相似：

長(zhǎng)方形的每一邊恰與另一邊平行，而與其余的邊垂直。

長(zhǎng)方體的每一面恰與另一面平行，而與其余的面垂直。

讓我們把邊稱為長(zhǎng)方形的邊界元素，而面稱為長(zhǎng)方體的邊界元素，則前述

兩個(gè)命題可合而為一并可同等地應(yīng)用于這兩個(gè)圖形：

每一邊界元素恰與另一邊界元素平行，而與其余的邊界元素垂直。

這樣，我們就將所比較的兩個(gè)系統(tǒng)的對(duì)象（即長(zhǎng)方形的邊與長(zhǎng)方體的面）的

某些共同關(guān)系表達(dá)出來(lái)了。這兩個(gè)系統(tǒng)的類(lèi)比存在于關(guān)系的共性之中。

（2）在我們的思維、日常談話、一般結(jié)論以及藝術(shù)表演方法和最高科學(xué)成就

中無(wú)不充滿了類(lèi)比。類(lèi)比可在不同的水平使用。人們常常使用含糊不清的，夸

大的，不完全的或沒(méi)有完全弄清楚的類(lèi)比，但類(lèi)比也可以達(dá)到數(shù)學(xué)精確性的水

平。所有各種類(lèi)比在發(fā)現(xiàn)解答方面都可能起作用，所以我們不應(yīng)當(dāng)忽略任何一

種。

（3）在求解一個(gè)問(wèn)題時(shí)，如果能成功地發(fā)現(xiàn)一個(gè)此較簡(jiǎn)單的類(lèi)比問(wèn)題，我們會(huì)

認(rèn)為自己運(yùn)氣不錯(cuò)。在第十五節(jié)，我們?cè)瓉?lái)的問(wèn)題是長(zhǎng)方體的對(duì)角線，它的較

簡(jiǎn)單的類(lèi)比問(wèn)題就是長(zhǎng)方形的對(duì)角線，這個(gè)類(lèi)比問(wèn)題引導(dǎo)我們到達(dá)原問(wèn)題的解

答。我們將討論這種類(lèi)型的另一個(gè)例子。我們需要求解下列問(wèn)題：

求均勻四面體的重心。

若不具備積分與物理知識(shí)，這問(wèn)題是很困難的。在阿基米德與伽里略的時(shí)

代，它是一個(gè)嚴(yán)肅的科學(xué)問(wèn)題。因此，如果我們希望用盡可能少的預(yù)備知識(shí)來(lái)解

決它，我們就應(yīng)該尋求一個(gè)較為簡(jiǎn)單的類(lèi)比問(wèn)題。在平面上的對(duì)應(yīng)問(wèn)題很自然

地就是下面的問(wèn)題：

求一均勻三角形的重心。

現(xiàn)在，我們有了兩個(gè)問(wèn)題而不是一個(gè)問(wèn)題。但兩個(gè)問(wèn)題比起一個(gè)問(wèn)題來(lái)可能

還更容易回答——假定這兩個(gè)問(wèn)題能巧妙地聯(lián)系起來(lái)的話。

（4）現(xiàn)在我們暫時(shí)把原來(lái)四面體的問(wèn)題放在--邊，而把注意力集中在有關(guān)

三角形這一比較簡(jiǎn)單的類(lèi)比問(wèn)題上。為了求解這個(gè)問(wèn)題，我們必須了解一些關(guān)于

重心的知識(shí)。下列原理似乎是可信的而且提出它來(lái)也很自然：

若一物質(zhì)系統(tǒng)S由幾部分組成，每一部分的重心都位于同一平面上，則該

平面也必包含此整個(gè)系統(tǒng)S的重心。

對(duì)于三角形情況來(lái)說(shuō)，這一原理給出我們所需要的一切。首先，它指出三角

形的重心位于三角形的平面上。于是，我們可以把三角形看成由平行于三角形某

邊（圖7中邊AB）的許多個(gè)小條條（薄條條無(wú)限窄的平行四邊形）所組成每一個(gè)小

條條（平行四邊形）的重心顯然是它的中心而所有這些中心位于連線CM上，C為

與AB邊相對(duì)的頂點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)（見(jiàn)圖7）。

4"B

圖7

通過(guò)三角形中線CM的任何平面包含有三角形中所有平行小條條的重心。由

此得出結(jié)論：整個(gè)三角形的重心就在這一中線上。但是，根據(jù)同一理由它也必須

在其他二條中線上，所以它必須是所有三根中線的公共交點(diǎn)。

我們現(xiàn)在希望用純幾何方法（與任何力學(xué)上的假設(shè)無(wú)關(guān)）來(lái)證明三根中線

交于同一點(diǎn)。

（5）在弄懂了三角形的例子之后，四面體的情況就相當(dāng)容易了。因?yàn)槲覀儸F(xiàn)

在已經(jīng)