初中競賽培訓(xùn)集+全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳解

初中競賽專題培訓(xùn)集+全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳解

初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)第一講：因式分解(一)

多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，(3)原式=(a'-2ab+b')+(-2bc+2ca)+c2

它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的=(a-b)2+2c(a-b)+c2

有力工具.因式分解方法利活，技巧性強，學(xué)習(xí)這些方法與技=(a-b+c)2.

巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的本小題可以稍加變形，直接使用公式(5),解法如下：

解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨特的作用.初原式=a?+(-b)z+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分=(a-b+c)2

解法和十字相乘法.本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(4)原式=3田&)+6的47)

因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹.=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

1.運用公式法=(a2-b2)(a5+b5)

在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向=(a+b)(a-b)(a+b)(a'-a^b+a^^ab'+b1)

使用，即為因式分解中常用的公式，例如：=(a+b)B(a-b}(a4-aab+aBb8-aba+b4)

(l)a2-b-(a+b)(a-b)；例2分解因式：a'+b'+c，3abe.

(2)a3±2ab+b3=(a±b)J；本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6).

(3)a'+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；分析我們已經(jīng)知道公式

(4)a*-b=(a-b)(a2+ab+bz).(a+b)3=as+3a2b+3ab*+b3

下面再補充幾個常用的公式：的正確性，現(xiàn)將此公式變形為

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2：a3+b-(a+b)J-3ab(a+b).

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；這個◎式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo).

(7)a"?b'=(a?b)("、/'%+小干斗…+abn2+bi)其中n為正整數(shù):解原式=(a+b)'3ab：a+b)+c13abc

(8)a-'-b^(a+b)(a"'-a"2b+anV--+abE2-bn'),其中n為偶數(shù)：=[(a+b)3+/]-3ab(a+b+c)

(9)a"+bn=(a+b)(an*-an2b+anVabB2+bn,),其中n為奇數(shù).=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c']-3ab(a+b+c)

運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，艱據(jù)字母、=(a+b+c)(az+b2+c2-ab-bc-ca).

系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.說明公式(6)是一個應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有

例1分解因式：用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為

⑴以石/乂堀勺一以、"“；as+b3+c3-3abc

(2)x3-8y3-zJ-6xyz；

=-(a+b+c)(2a24-2b2+2c3-2ab-2bc-2ca)

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

=；(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)a+(c-a)a].

(4)a7-afb2+a2b5-br.

解⑴原式=-2婷歹(小以飛盧”顯然，當(dāng)a+b+c=O時，RiJa3+b3+cJ=3abc；當(dāng)a+b+c>0時，則

=-2xn,yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]a'+b'+c'-3abe20,即a'+b:'+c'23abc,而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c

=-2xn-'yn(x2n-y2)2時，等號成立.

=-2xn-'yn(xn-y)2(xn+y)2.如果令x=a310,y=b3>0?z=cs>0>則有

⑵原式=x、(-2y)3+(-z)3-3X(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).

等號成立的充要條件是x=y=z.這也是一個常用的結(jié)論.=(x-l)(X2+X-8).

例3分解因式：x,B+xu+x,s+-+x2+x+l.解法4添加兩項-x?+x2.

分析這個多項式的特點是：有16項，從最高次項十開始，原式=x，9x+8

x的次數(shù)順次遞減至0,由此想到應(yīng)用公式a-b來分解..=x3-x2+x2-9x+8

解因為=x2(x-l)+(x-8)(x-1)

x,s-l=(x-l)(x,5+xN+x,3+—x2+x+l),=(x-l)(x2+x-8).

所以說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要

+x"+x”+…+?2+x+1)X16-1

原式二---------------------------=E拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特

|>8+l)(x4+l)(xa+l)(x+l)(x-1)點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中

rn

■(x8+l)(x4+^(x2+l)(x+1).技巧性最強的一種.

說明在本題的分解過程中，用到先乘以(X-1),再除以(X-D例5分解因式：

的技巧，這一技巧在等式變形中很常用.(l)x*+x6+x3-3；

2.拆項、添項法⑵(nM)(n〃l)+4mn；

因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運算.時，整(3)(x+l)*+(x?-l)y+(x-l)'：

理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅符號相反的(4)aJb-ab'+a'+b2+1.

同類項相互抵消為零.在對某些多項式分解因式時，需要恢復(fù)解(1)將?3拆成

那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項原式=x'+x"+x/-l?l

或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為=(x9-l)+(x6-l)+(x3-l)

拆項，后者稱為添項.拆項、添項的目的是使多項式能用分組=(xJ-l)(x6+x3+E+(xJ-l)(x3+l)+(x3-l)

分解法進(jìn)，亍因式分解.=(x,-l)(x6+2x3-3)

例4分解因式：x:,-9x+8.=(x-l)(x，x+l)：x+2x'+3).

分析本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾(2)將4mn拆成2mn+2mn.

種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧.原式=加2-1)(n2-l)+2nn+2mn

解法1將常數(shù)項8拆成?1+9.=m2n'-m2-n2+l+2mn+2mn

原式=x：'-9x-l+9=(mW+2mn+l)-(m'-Zmn+n2)

=(sJ-l)-9x+9=(mn+l)2-(m-n)2

=(x-l)(x2+x+l)-9(x-l)=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).

(3)將(x」)2拆成2々?1)2?々/)2.

=(x-l)(x2+x-8).

解法2將一次項-9x拆成-x-8x.原式=(X+D'+2(X2T)2.(X2?1)2+(X?1)'

22422

原式=x'-x-8x+8=[(X4-1)^2(X+1)(X-1)+(X-1)]-(X-1)

=(x3-x)+(-8x+8)=[(X4-1)2+(X-E2]2-(X2-1)2

=x(x+l)(x-l)-8(x-l)=(2X2+2)2-(X2-1)-=(3X-+1)(X2+3).

=(x-l)(x2+x-8).(4)添加兩項+ab?ab.

解法3將三次項x“拆成9x,-8x3.j^=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

原式=9/-8x，9x+8=(aJb-ab3)+(az-ab)+(ab+bz+1)

2

=(9X3-9X)+(-8XJ+8)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)

=9x(x+l)(x-l)-8(x-l)(x2+x+l)=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1)

=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(X2+6X+8)(X2+5X+8)

=(a2-ab+l)(b2+ab+l).=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).

說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式給構(gòu)較復(fù)雜，說明由木題可知，月?lián)Q元法分解因式時，不必將原式中的元

所以不易想到添加+ab-ab,而且添加項后分成的三項組又無公都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變

因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式.這元和新變元可以一起變形，換無法的本質(zhì)是簡化多項式.

道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學(xué)們需例9分解因式：6x'+7x'-36x2-7x+6.

多做練習(xí)，積累經(jīng)驗.解法1原式=6(x'+l)+7x(xZ-l)-36x2

3.換元法=6[(x4-2x2+l)+2x2]+7x(x2-l)-36x2

換元法背的是將一個較豆雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個=6[(x2-l：2+2x1+7x(xM)-36x?

整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過=6(X2-1)2+7X(X2-1)-24X2

程簡明清晰.=[2(x2-l>3x][3(x2-l)+8x]

例6分解因式：(x2+x+l)(X2+X+2)-12.=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

分析符原式展開，是關(guān)于x的四次多項式，分解因式較困=(2x+l)(x-2)(3x-l)(x+3).

難.我們不妨將x”+x看作一個整體，并用字母y來昔代，于是說明本解法實際上是將x'T看作一個整體，但并沒有設(shè)立新

原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項式的因式分解問題了.元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來

解設(shè)/+x=y,則代替整體.

原式=(y+l)(y+2)-12=y2+3y-10解法2

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)原式=x'(6x'+7x-36二+，■)

=(x-l)(x+2)(x2+x+5).

+7卜+36

■x住q

說明本題也可將犬+x+l看作一個整體，比如今L+x+l=u,

令乂」=狽此+4=1+2,于是

一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試.xx

例7分解因式：原式=x?[6(A2)+7t-36]

222

(X2+3X+2)(4X2+8X+3)-90.=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)

分析先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合.=x2[2(x-l/x)-3][3(x-l/x)+8]

?

解原式=(x+l)(x+2)(2x+l)(2x+3)-90=(2x-3x-2)(3x^8x-3)

=[(x+l)(2x+3)][(x+2)(2x+l)]-90=(2x+l)(x-2)(3x-l)(x+3).

J222

=(2x?+5x+3)(2x/+5x+2)-90.例10分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y).

令y=2x"+5x+2,則分析本題含有兩個字母，且當(dāng)互換這兩個字母的位置時，多

原式=丫^y+l)-90=y2+y-90項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式.對于較難分解

=(y+10)(y-9)的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y,v=xy,用換元法分解因式.

解原式=[(x+y)2?xyH4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,xy=v,則

=(2X2+5X+12)(2X2+5X-7)

原式=、22

=(2X2+5X+12)(2X+7)(X-1).(uv)-4V(U-2V)

說明對多項式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?。的基礎(chǔ).=u'-6u2v+9v2

2z

例8分解因式：=(u-3v)

z

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.=(x+2xy+y--3xy)*

222

解設(shè)M+4x+8=y,則=(x-xy+y).

原式=/+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

練習(xí)一3.分解因式：

222

1.分解因式：(1)(2X-3X+1)-22X433X-1;

(1)x2n+xn-gy、：；

(2)x,0-x5-2；

(2)X'+7X3+14X2+7X+1；

⑶x4-2x2y2-4xy3+4x3y+y2(4x2+—y3);

4

(3)(x+y)3+2xy(l-x-y)-l；

(4)(x5+x'+x3+x2+x+l)2-xs.

2.分解因式：

(DxMxM；(2)x*-llxV+y2；

(4)(x+3)(X2-1)(X+5；-20.

(3)XJ+9X2+26X+24；(4)x'-12x+323.

初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)第二講：因式分解(二)

1.雙十字相乘法這就是所謂的雙十字相乘法.

分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分

次六項式(ax'bxy+cy'dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法解的步驟是：

分解因式.(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy\得到一個十字相乘圖(有

例如，分解因式2x2-7xy-22y?-5x+35y-3.我們將上式按x降兩列)：

累排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第

2x2-(5+7y)x-(22y-35y+3),三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey,第一、第三

可以看作是關(guān)于x的二次三項式.列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.

對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于y的二次三項式，也可以用十字例1分解因式：

相乘法，分解為(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4：

(3)xy+yJ+x-y-2；

解(1)

即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項式分解

原式=(x-5y+2)(x+2y-D.

(2)

所以，原式=[x+(2y-3)][2x+(-lly+1)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法.如果把這兩原式=(x+y+l)(x-y+4).

個步驟中的十字相乘圖合并在?起，可得到下圖：(3)原式中缺/項，可把這?項的系數(shù)看成。來分解.

它表示的是下面三個關(guān)系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x*-7xy-22y2；

(x~3)(2x+l)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-lly+1)=-22y2+35y-3.

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).

原式=(x-2)a-2x+2).

說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是

2.求根法-4的約數(shù),反之不成立,即7的約數(shù)不一定是多項式的根.因

我們把形如a^+aNx"、…+a*+&(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項式進(jìn)行驗證.

為關(guān)于x的一元多項式，并用f(x),g(x),…等記號表示，例3分解因式：9x,-3x3+7X2_3X_2.

如分析因為9的約數(shù)芍土1,±3,±9；-2的約數(shù)有土1,±

f(x)=xz-3x+2,g(x)=xG+x2+6,2,所以原式的有理根只可能是士1,±2,±攝±，±|,

當(dāng)x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式

經(jīng)檢驗，只有［和:是原式的根,所以原式有因式x+g和X-名.又因

f(x)

為：

f(l)=l2-3X1+2=0；

(x+&-|)=|(3x+l)(3x-2)

f(-2)=：-2)J3X(-2)+2=12.

若f(a)=O,則稱a為多項式f(x)的一個根.-1(9X2-3X-2),

定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0

所以，原式有因式9X2-3X-2.

成立，.則多項式f(x)有一個因式x-a.

解9x4-3xs+7x2-3x-2

根據(jù)因式定理.，找出一元多項式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求

=9X<-3X5-2X'+9X2-3X-2

多項式f(x)的根.對于任意多項式f(x),要求出它的根是沒

=x'(9x'-3x-2)+9x'-3x-2

有一般方法的，然而當(dāng)多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整

=(9x--3x-2)(x2+l)

系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根.

=(3x+l)(3x-2)(x2+l)

若既約分?jǐn)?shù)a是整系數(shù)多項式說明若整系數(shù)多項式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因

p

n式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式

定理2f(x)-aox+++…+、“x+aK

的根，則必有P是加的約數(shù)，q是備的約數(shù).特別地，當(dāng)切=1212

X--X--

時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為&的約數(shù).39

我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因可以化為9xi3x-2,這樣可以簡化分解過程.

式，從而對多項式進(jìn)行因式分解.總之，對一元高次多項式f(x),如果能找到一個一次因式

(x-a),那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)

例2分解因式：X3-4X2+6X-4.

分析這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進(jìn)行分

的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：±1,±2,±4,只有解了.

f(2)=23-4X22+6X2-4=0.3.待定系數(shù)法

即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1,原式必有因式x-2.待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，

解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.

原式=(xJ-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成

=X2(X-2)-2X(X-2)+2(X-2)某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可

=(x-2)(x2-2x+2).以用一些字母來表示待定的系數(shù).由于該多項式等于這幾個

解法2用多項式除法，將原式除以(X-2),因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)該

相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定

x2_2x+2

x-2/X3-4X2+6X-4系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式

(X3_2J

分解的方法叫作待定系數(shù)法.

2

-2X+6X例4分解因式：x'+3xy+2y'+4x+5y+3.

-2X2+4X

分析由于

-2x-4-

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),

2x-4

0

所以

若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m練習(xí)二

和x+y+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n,使問1.用雙十字相乘法分解因式：

題得到解決.(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；

解i殳

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y-m)(x+y+n)

=xz+3xy+2yz+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

比較兩力對應(yīng)項的系數(shù)，則有(3)3x2-llxy+6y2-xz-4yz-2z2.

m+n=4,

?m+2n=5,

mn=3.

解之得m=3,n=l.所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1).2.用求根法分解因式:

說明本題也可用雙十字相乘法，請同學(xué)們自一懶一下.(1)XJ+X2-10X-6；(2)x,+3x-3x--12x-4：

例5分解因式：x-2x-27xz-44x+7.

分析本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的求根

法，若原式有有理根，則只可能是±1,±7(7的約數(shù))，經(jīng)

檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]

有一次因式.如果原式能分解，只能分解為(x?+ax+b)(x，cx+d)(3)4x4+4x-9x-x+2.

的形式.

解設(shè)

原式=(r+ax+b)(x2+cx+d)

=x'+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,

所以有3.用待定系數(shù)法分解因式:

a+c=-2,(1)2x2+3xy~9y2+14x-3y+20：(2)x,+5xJ+15x-9.

b+d+ac=-27,

ad+bc=-44,

bd=7.

由bd=7,先考慮b=Ld=7有

a+c=-2,

ac=-35,

I7a+c=R4,

a=-7

c=5.

所以{

原式=(/-7X+1)(X2+5X+7).

說明由于因式分解的唯一性，所以對b=T,d=-7等可以不

加以考慮.本題如果b=l,d=7代入方程組后，無法確定a,

c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定

系數(shù)為止.

本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式.但利用

待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式.由此可見，待定系數(shù)

法在因式分解中也有用武之地.

初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)第三講實數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用

實數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ).在初中弋?dāng)?shù)中沒有數(shù)與無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù).例如，應(yīng)為無理但

系統(tǒng)地介紹實數(shù)理論，是因為它涉及到極限的概念.這一概念我-4=避一個有理數(shù)；下是無理數(shù)，9=1是有數(shù)，理數(shù)，也就

對中學(xué)生而言，有一定難度.但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒有實數(shù)

是說，無理數(shù)對四則運算是不封閉的，但它有如下性質(zhì).

的概念及其簡單的運算知識，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去

性質(zhì)2設(shè)a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則

了.例如，即使是?元二次方程，只有有理數(shù)的知識也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)

（l）a+b,a-b是無理數(shù)；

不夠用的.因此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及運

用這些知識解決有關(guān)問題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)（2）當(dāng)a/0時，a*b,；是無理數(shù).

b

習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的.本講主要介

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即

紹實數(shù)的一些基本知識及其應(yīng)用.

，郁艮小數(shù)｝用里數(shù)

實數(shù)'小數(shù)）"小勃/循環(huán)力供

形如：:（n/O）的數(shù)叫有理數(shù)，其中m,n為整數(shù).這種定義可燈艮小數(shù)（不循環(huán)小數(shù)一無理數(shù)

用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理數(shù)的和、

在實數(shù)集內(nèi)，沒有最小的實數(shù)，也沒有最大的實數(shù).任意兩

差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對加、減、乘、除（零

個實數(shù)，可以比較大小.全體實數(shù)和數(shù)軸上的所有點是一一對

不能做除數(shù)）是封閉的.

應(yīng)的.在實數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為零）運算，其

性質(zhì)1任何一個有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)（整數(shù)可以看作小

結(jié)果仍是實數(shù)（即實數(shù)時四則運算的封閉性）.任一實數(shù)都可以

數(shù)點后面為零的小數(shù)）或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然.

開奇次方，其結(jié)果仍是實數(shù)；只有當(dāng)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)時，才

例1證明循環(huán)山段2.61545454-=2.61次是有理數(shù).能開偶次方，其結(jié)果仍是實數(shù).

分析要說明?個數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫成兩個整例2

數(shù)比的形式.

求證kb山走有理數(shù).

證設(shè)

x=2.6154,①分析

兩邊同乘以100得要證明所給的數(shù)能表示成四(m,n為整數(shù)，n^O)的形式，關(guān)鍵

n

100x=261.54=261.5454.②是要證明]1:12經(jīng)25是完全平方數(shù).

②-①得

證

99x=261.54-2.61=258.93,

11-132^5

25893(n-1)個n個

所以

X=9900-11-4XKT1+22-2X10+5

8-1)個n個

10”】-1210n-l

------------X]Qn+1+2X——X10+5

既然X能寫成兩個整數(shù)比的形式，從而也就證明了2614是有理數(shù).99

n

無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).有理數(shù)對四則運算是封閉的，而=-ICT1+2X10+1-20+45)

無理=1(10^+10X10n+25)=1(10n+5)2

所以整理得：a+J^=Ab+A、月.

由例4知

a=Ah.1=A.

即2=卜這與己知aab矛盾.所以原假設(shè)空冷是有理數(shù)錯誤，故

b+M

詈軍是無理數(shù).

例3注明正是無理數(shù).

說明本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)

分析要證明一個實數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的

論.解這樣的問題時，可以先找到一個立足點，如本例以獸W為，

事.由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實數(shù)集，且二者是矛盾的b+V3有

兩個對立面，所以，判定一個實數(shù)是無理數(shù)時，常常采用反證理數(shù)作為立足點，以其作為推理的基礎(chǔ).

法.例6已知a,b是兩個任意有理數(shù)，且aVb,求證：a與b

證用反證法.之間存在著無窮多個有理數(shù)（即有理數(shù)集具有稠密性）.

假設(shè)點不是無理數(shù)，所以應(yīng)必為有理數(shù).設(shè)我=分析只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明.

證因為aVb,所以2a<a+bV2b,所以

史（p,q是互質(zhì)的自然數(shù)），兩邊平方有

qa<^<b,

p?=2q\①2

所以P一定是偶數(shù).設(shè)P=2m（m是自然數(shù)），代入①得設(shè)a】■誓，a1顯然是有理數(shù)（因為a,b為有理數(shù)）.因為a】<b,

4nT=2q2,q~=2m~.