湖南省常德市2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題 含解析

年常德市高三年級(jí)模擬考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解.【詳解】由，解得，即，而，所以.故選：B2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】的否定為.故選：C3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系及等比數(shù)列的通項(xiàng)求出的通項(xiàng)，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，第1頁(yè)/共18頁(yè)再逐一判斷即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列從第二項(xiàng)開始是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，所以，故ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.4.已知復(fù)數(shù)滿足：，則（）A.1B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)求解得出，進(jìn)而得出模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足：，則，即得，所以則.故選：A.5.下列不等式正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第2頁(yè)/共18頁(yè)【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，而，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故D正確.故選：D.6.從1234567這7個(gè)數(shù)任選3）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用排列計(jì)數(shù)問題求出試驗(yàn)及事件基本事件數(shù)，再求出古典概率.【詳解】從給定的7個(gè)數(shù)中任取3個(gè)的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，的的有18個(gè)基本事件，所以得到的數(shù)列為等差數(shù)列的概率為.故選：A7.已知，則（）第3頁(yè)/共18頁(yè)A.B.7C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用條件求出，然后可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，由和差化積公式可得，因?yàn)椋?，由，可得，所?故選：C8.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn).若，且，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義及勾股定理列式求出離心率.【詳解】設(shè)，由，得，，由橢圓定義得，由，得，則，解得，，令橢圓的半焦距為c，由，得，解得，第4頁(yè)/共18頁(yè)所以橢圓的離心率為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)樣本空間，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的，已知事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件A與B為互斥事件B.事件兩兩獨(dú)立C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件的定義和條件概率公式即可解答.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以事件與不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，交集為，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，故D正確故選：BD.10.已知連續(xù)函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說(shuō)法正確的是（）第5頁(yè)/共18頁(yè)A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)存極小值點(diǎn)D.“”是“”的充要條件【答案】ACD【解析】AB單調(diào)性判斷C；利用充要條件的意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值判斷D.【詳解】由定義域在上的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得，，對(duì)于A，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于B，取函數(shù)，顯然符合題意，函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)椋?，函?shù)是偶函數(shù)，令，因函數(shù)，在上都是增函數(shù)，則在上也是增函數(shù)，因是偶函數(shù)，故在上是減函數(shù)，因此是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，依題意，，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故有；而當(dāng)時(shí)，取，得，則，所以“”是“”的充要條件，D正確.故選：ACD第6頁(yè)/共18頁(yè)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，空間中的點(diǎn)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則的最大值為C.若，則平面截該正方體的截面面積的最小值為D.若，則平面與平面夾角的正切值的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用空間向量的模建立方程求出最小值判斷B；作出截面并求出最小面積判斷C；利用面面角的向量求法求解判斷D.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，即點(diǎn)，對(duì)于A，，則點(diǎn)，，，，因此，A正確；第7頁(yè)/共18頁(yè)對(duì)于B，，則，即，令，則，其中銳角由確定，則當(dāng)時(shí)，的最大值為，B正確；對(duì)于C，，在邊上，且，因平面平面，設(shè)平面平面，而平面平面，則，同理，因此是平面截該正方體的截面，點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，設(shè)平面的法向量，則，令，得；又，因，則，令平面的法向量，則，第8頁(yè)/共18頁(yè)令，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，因，此時(shí)最小，，，因此平面與平面夾角的正切值的最小值為，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)離心率公式和雙曲線的的關(guān)系進(jìn)行求解【詳解】由題知：，雙曲線的漸近線方程為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線的求法，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)13.若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上單調(diào)性及對(duì)應(yīng)函數(shù)值集合，再由給定最值情況求出范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，第9頁(yè)/共18頁(yè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在時(shí)的取值集合為，當(dāng)時(shí)，，沒有最小值，由函數(shù)在R上有最小值，得在上單調(diào)遞減，且，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：14.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)和1的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】求出相位的取值范圍，再由零點(diǎn)及對(duì)稱軸情況列出不等式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)和1條對(duì)稱軸，，得或，解得或，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某景區(qū)經(jīng)過(guò)提質(zhì)改造后統(tǒng)計(jì)連續(xù)5天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù)（單位：千人）如下：3月53月63月73月83月9日期日日日日日第x天12345參觀人數(shù)y2.22.63.15.26.9第10頁(yè)/共18頁(yè)（1）建立關(guān)于的回歸直線方程，預(yù)測(cè)第10天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù)；（2、與進(jìn)入景區(qū)選擇相同的門的概率為，出景區(qū)與進(jìn)入景區(qū)選擇不同的門的概率為.假設(shè)游客從東門，西門出入景區(qū)互不影響，求甲，乙兩名游客都從西門出景區(qū)的概率.附：參考數(shù)據(jù)：參考公式：回歸直線方程，其中，.【答案】（1），約為千人；（2）.【解析】1）利用最小二乘法公式求出回歸直線方程，再估計(jì)第10天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù).（2）利用全概率公式分別求出甲，乙從西門出景區(qū)的概率，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式求解.【小問1詳解】依題意，，而，則，，因此，當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于的回歸直線方程為，第10天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù)約為千人.【小問2詳解】記“甲從西門進(jìn)入景區(qū)”為事件“甲從西門出景區(qū)”為事件“乙從西門出景區(qū)”為事件，，，由全概率公式得，同理，第11頁(yè)/共18頁(yè)所以甲，乙兩名游客都從西門出景區(qū)的概率.16.是正方形，平面為.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】1）利用線面垂直的性質(zhì)、判定及面面垂直的判定推理得證.（2）利用（1）的信息確定二面角的平面角，再作出線面角，利用幾何法求出正弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，由平面，平面，得，由四邊形是正方形，得，而平面，因此平面，又平面,所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，平面，而，則平面，又平面，于是，為二面角的平面角，則，令正方形的棱長(zhǎng)為4，而，則，取中點(diǎn)，連接，則，由（1）知平面平面，又平面平面，平面，則平面，第12頁(yè)/共18頁(yè)是直線與平面所成的角，而，，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.如圖，在中，分別是上的點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，已知，且.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）2【解析】1）在中，利用余弦定理求解；（2上取點(diǎn)作，由三角形全等可得可得，則，運(yùn)算得解.【小問1詳解】在中，，，，，第13頁(yè)/共18頁(yè).【小問2詳解】如圖，在上取點(diǎn)，使得，又，，，則，所以，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，所以.18.已知函數(shù)在處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（3）對(duì)于函數(shù)，規(guī)定：，叫做函數(shù)的階導(dǎo)數(shù).若對(duì)任意整數(shù)的最小值.【答案】（1）答案見詳解（2）（3）3【解析】1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)建，可知對(duì)任意恒成立，注意到，可得，，并代入檢驗(yàn)充分性；第14頁(yè)/共18頁(yè)（3）可設(shè)，根據(jù)求導(dǎo)法則結(jié)合數(shù)列知識(shí)可得，，分析可知對(duì)任意恒成立，結(jié)合二次函數(shù)運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】由題意可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，則，若函數(shù)在處的切線與直線垂直，則，解得，所以，令，則，解得或；令，則，解得；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】構(gòu)建，則，由題意可知：對(duì)任意恒成立，且，則，解得，若，則，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即對(duì)任意恒成立，且對(duì)任意恒成立，可知對(duì)任意恒成立，所以符合題意；綜上所述：.【小問3詳解】由（1）可知：，第15頁(yè)/共18頁(yè)根據(jù)求導(dǎo)法則可設(shè)，其中，則，則可知數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，則，對(duì)于，則，當(dāng)時(shí)，，且符合上式，所以，則，若對(duì)任意恒成立，則對(duì)任意恒成立，且的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，解得，所以滿足條件的正整數(shù)的最小值為3.19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，且分別與相交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)）.（?。┤?，求面積；（ⅱ）證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）（2）；證明見解析.【解析】1）根據(jù)焦半徑公式結(jié)合題設(shè)條件可得關(guān)于的方程組，求出解后可得拋物線方程；第16頁(yè)/共18頁(yè)（2，再根據(jù)，得出k，