2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)19任意角和蝗制及任意角的三角函數(shù)理含解析新人教版

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)19隨意角和弧度制及隨意角的三角函數(shù)一、選擇題1．將－300°化為弧度為(B)A．－eq\f(4,3)πB．－eq\f(5,3)πC．－eq\f(7,6)πD．－eq\f(7,4)π解析：－300×eq\f(π,180)＝－eq\f(5,3)π.2．taneq\f(8π,3)的值為(D)A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3)D．－eq\r(3)解析：taneq\f(8π,3)＝tan(2π＋eq\f(2π,3))＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3).3．已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是(C)A．2 B．sin2C.eq\f(2,sin1) D．2sin1解析：r＝eq\f(1,sin1)，l＝θ·r＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1)，故選C.4．已知點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為(C)A.eq\f(5π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(5π,3)解析：因?yàn)辄c(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，所以依據(jù)三角函數(shù)的定義可知tanθ＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，又θ∈[0,2π)，可得θ＝eq\f(11π,6).5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)，則cosα的值為(D)A.eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)解析：因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)yA＝eq\f(4,5)，且點(diǎn)A在其次象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－eq\f(3,5)，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－eq\f(3,5).6．(2024·福州一模)設(shè)α是其次象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝(D)A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：因?yàn)棣潦瞧浯蜗笙藿?，所以cosα＝eq\f(1,5)x<0，即x<0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).7．點(diǎn)P(cosα，tanα)在其次象限是角α的終邊在第三象限的(C)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若點(diǎn)P(cosα，tanα)在其次象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,tanα>0，))可得α的終邊在第三象限；反之，若角α的終邊在第三象限，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,tanα>0，))即點(diǎn)P(cosα，tanα)在其次象限，故選項(xiàng)C正確．8．已知A(xA，yA)是單位圓(圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O)上隨意一點(diǎn)，將射線OA繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交單位圓于點(diǎn)B(xB，yB)，則xA－yB的取值范圍是(C)A．[－2,2] B．[－eq\r(2)，eq\r(2)]C．[－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))解析：設(shè)x軸正方向逆時(shí)針到射線OA的角為α，依據(jù)三角函數(shù)的定義得xA＝cosα，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cosα－sin(α＋30°)＝－eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．二、填空題9．－2017°角是其次象限角，與－2017°角終邊相同的最小正角是143°，最大負(fù)角是－217°.解析：因?yàn)椋?017°＝－6×360°＋143°，所以－2017°角的終邊與143°角的終邊相同．所以－2017°角是其次象限角，與－2017°角終邊相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故與－2017°角終邊相同的最大負(fù)角是－217°.10．設(shè)角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，則角eq\f(α,2)是第四象限角．解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，則kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，故eq\f(α,2)是其次或第四象限角．由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)知sineq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)只能是第四象限角．11．一扇形是從一個(gè)圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的eq\f(2,3)，面積等于圓面積的eq\f(5,27)，則扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比為eq\f(5,18).解析：設(shè)圓的半徑為r，則扇形的半徑為eq\f(2r,3)，記扇形的圓心角為α，則扇形與圓面積之比為eq\f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq\f(5,27)，∴α＝eq\f(5π,6).∴扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比為eq\f(l,c)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2,3)r,2πr)＝eq\f(5,18).12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．若sinα＝eq\f(1,3)，則sinβ＝eq\f(1,3).解析：解法1：當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí)，取角α終邊上一點(diǎn)P1(2eq\r(2)，1)，其關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(－2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時(shí)sinβ＝eq\f(1,3)；當(dāng)角α的終邊在其次象限時(shí)，取角α終邊上一點(diǎn)P2(－2eq\r(2)，1)，其關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時(shí)sinβ＝eq\f(1,3).綜合可得sinβ＝eq\f(1,3).解法2：令角α與角β均在區(qū)間(0，π)內(nèi)，故角α與角β互補(bǔ)，得sinβ＝sinα＝eq\f(1,3).解法3：由已知可得，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,3)(k∈Z)．13．已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，則角α的最小正值為(D)A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(5π,3)D.eq\f(11π,6)解析：由題意知點(diǎn)P在第四象限，依據(jù)三角函數(shù)的定義得cosα＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，故α＝2kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，所以α的最小正值為eq\f(11π,6).14．(2024·武漢模擬)已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸正半軸，終邊與圓心在原點(diǎn)的單位圓交于點(diǎn)A(m，eq\r(3)m)，則sin2α＝eq\f(\r(3),2).解析：由題意得|OA|2＝m2＋3m2＝1，故m2＝eq\f(1,4).由隨意角三角函數(shù)定義知cosα＝m，sinα＝eq\r(3)m，由此sin2α＝2sinαcosα＝2eq\r(3)m2＝eq\f(\r(3),2).eq\a\vs4\al(尖子生小題庫(kù)——供重點(diǎn)班學(xué)生運(yùn)用，一般班學(xué)生慎用)15．已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是(D)A．若α，β是第一象限的角，則cosα>cosβB．若α，β是其次象限的角，則tanα>tanβC．若α，β是第三象限的角，則cosα>cosβD．若α，β是第四象限的角，則tanα>tanβ解析：由三角函數(shù)線可知選D.16．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，則|a－b|＝(B)A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5)D．1解析：解法1：由正切定義tanα＝eq\f(y,x)，則tanα＝eq\f(a,1)＝eq\f(b,2)，即a＝tanα，b＝2tanα.又cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(2,3)，得tan2α＝eq\f(1,5)，tanα＝±eq\f(\r(5),5).∴|b－a|＝|2