233點(diǎn)到直線的距離公式教學(xué)設(shè)計(jì)-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

教學(xué)設(shè)計(jì)課題2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式課型新授課R章/單元復(fù)習(xí)課□專(zhuān)題復(fù)習(xí)課□習(xí)題/試卷講評(píng)課□學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)課□其他□教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線的距離公式。在前面已經(jīng)研究了兩點(diǎn)間的距離公式、直線方程、兩直線的位置關(guān)系，同時(shí)也介紹了“以數(shù)論形，以形輔數(shù)”的數(shù)學(xué)思想方法．“點(diǎn)到直線的距離”是從初中平面幾何的定性作圖，過(guò)渡到了解析幾何的定量計(jì)算；《點(diǎn)到直線的距離》的研究，又為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用．本課時(shí)內(nèi)容是在建立了直線的方程，研究了兩點(diǎn)間距離公式基礎(chǔ)上展開(kāi)的，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)與直線方程得到點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法有坐標(biāo)法、向量法等多種不同的方法，這些方法是解析幾何研究問(wèn)題時(shí)常用的方法，能夠充分體現(xiàn)解析幾何研究問(wèn)題的途徑。兩條平行直線間的距離是點(diǎn)到直線的距離的自然推廣，這些公式在后續(xù)學(xué)習(xí)，如判斷直線與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容中發(fā)揮重要作用.學(xué)習(xí)者分析學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)點(diǎn)距離、線線位置關(guān)系，初步掌握了“用代數(shù)的方法研究曲的性質(zhì)”這一研究解析幾何問(wèn)題的重要方法，并且學(xué)習(xí)了函數(shù)、三角函數(shù)、向量、不等式相關(guān)知識(shí)，這就為學(xué)生利用已學(xué)過(guò)的知識(shí)探討點(diǎn)到直線的距離公式做好了鋪墊。在能力上二的學(xué)生心思、思維日漸成熟，初步具備了運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，但數(shù)形結(jié)合的只和思維的深刻性及運(yùn)算的推理能力還需進(jìn)一步的培養(yǎng)和加強(qiáng)。在情感方面多數(shù)學(xué)生具有及的學(xué)習(xí)態(tài)度，能主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)，但少數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性還需要教師營(yíng)造良好的學(xué)氣氛加以調(diào)動(dòng)。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用向量工具推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式。2.掌握點(diǎn)到直線的距離公式,能應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式解決有關(guān)距離問(wèn)題。3.通過(guò)點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力。4.通過(guò)幾何證明和代數(shù)計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象的能力。學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析；點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．難點(diǎn)：點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).選擇解決問(wèn)題的策略，化繁為簡(jiǎn)的計(jì)算方法;“設(shè)而不求”的解析幾何運(yùn)算策略，方程組的演化。聯(lián)系立體幾何中，求點(diǎn)到面距離的辦法引導(dǎo)出學(xué)生借助向量解決距離問(wèn)題的策略。．學(xué)習(xí)條件支持多媒體學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)過(guò)程學(xué)習(xí)內(nèi)容與教師活動(dòng)（引領(lǐng)性問(wèn)題）學(xué)生任務(wù)或?qū)W習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖或評(píng)價(jià)目標(biāo)環(huán)節(jié)一內(nèi)容1.復(fù)習(xí)回顧：兩點(diǎn)間的距離公式：學(xué)生任務(wù)1.學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)：思考，回答公式設(shè)計(jì)意圖：為我們本節(jié)課的公式推導(dǎo)做鋪墊內(nèi)容2.情景引入問(wèn)題1：在鐵路的附近,有一大型倉(cāng)庫(kù),現(xiàn)要修建一條公路將倉(cāng)庫(kù)和鐵路連接起來(lái).易知,從倉(cāng)庫(kù)垂直于鐵路方向所修的公路最短.將鐵路看作一條直線l,倉(cāng)庫(kù)看作點(diǎn)P.學(xué)生任務(wù)2:獨(dú)立思考，并分析問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題?！驹O(shè)計(jì)意圖】以實(shí)際問(wèn)題為背景來(lái)引課，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣．通過(guò)生活中點(diǎn)到直線距離的問(wèn)題情境，引出在坐標(biāo)系下探究點(diǎn)到直線距離公式的問(wèn)題.環(huán)節(jié)二內(nèi)容3.如圖，已知點(diǎn)，直線，如何求點(diǎn)P到直線l的距離？提問(wèn)，學(xué)生不同的思路，改進(jìn)麻煩和錯(cuò)誤的解法學(xué)生任務(wù)3:問(wèn)題提出，學(xué)生嘗試解決問(wèn)題。點(diǎn)P到直線l的距離，就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足.因此，求出垂足Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，就可以得到點(diǎn)P到直線l的距離.設(shè)，.由，以及直線l的斜率為，可得l的垂線PQ的斜率為，因此，垂線PQ的方程為，即.解方程組，得直線l與PQ的交點(diǎn)坐標(biāo)，即垂足Q的坐標(biāo)為.于是此方法為最常規(guī)的思路來(lái)解決：求直線方程求交點(diǎn)（直接求出x和y的值）兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)公式．幫助學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系舊知，制定解決問(wèn)題的策略，最終探索出點(diǎn)到直線的距離公式，讓學(xué)生感悟運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的方法.環(huán)節(jié)三內(nèi)容4.問(wèn)題1：能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離？問(wèn)題2：如何利用直線l的方程得到與l的方向向量垂直的單位向量n？設(shè)，是直線上的任意兩點(diǎn)，則是直線l的方向向量，把，兩式相減，得.由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可知，向量與向量垂直.向量就是與直線l的方向向量垂直的一個(gè)單位向量學(xué)生任務(wù)4:如圖，點(diǎn)P到直線l的距離，就是向量的模.設(shè)是直線l上的任意一點(diǎn)，n是與直線l的方向向量垂直的單位向量，則是在n上的投影向量，我們?nèi)?，從?因?yàn)辄c(diǎn)在直線l上，所以.所以.代入上式，得.通過(guò)不同方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，體會(huì)算法的多樣性，同時(shí)比較不同推導(dǎo)方法，比較算法的優(yōu)劣，優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)環(huán)節(jié)四內(nèi)容5：典例解析例1求點(diǎn)到直線的距離.例2：已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，求的面積.學(xué)生獨(dú)立解題例1：解：點(diǎn)到直線的距離.例2：解：如圖，設(shè)邊AB上的高為h，則.邊AB上的高就是點(diǎn)到直線AB的距離.邊AB所在直線的方程為，即.點(diǎn)到直線的距離.因此，.在典例分析和練習(xí)中熟悉公式的基本結(jié)構(gòu)，并體會(huì)點(diǎn)到直線距離公式的初步應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)?；顒?dòng)6：練一練1.點(diǎn)到直線的距離等于()A.7B.5C.3D.2已知點(diǎn)到直線的距離為1，則等于()B.C.D.3.已知直線與直線互相垂直，則點(diǎn)到直線的距離為()A.1B.2C.D.4.直線在軸上的截距為1，又點(diǎn)到的距離相等，則的方程為_(kāi)_____.學(xué)生解決問(wèn)題并總結(jié)：1.解：由點(diǎn)到直線的距離公式可得，故選A.2.解：由點(diǎn)到直線的距離公式，得，即.，故選B.3.解：由已知得，，，又，，解得.此時(shí)直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，故選C.4.解：顯然軸時(shí)符合要求，此時(shí)的方程為.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)的斜率為，則的方程為，即.點(diǎn)到的距離相等，，的方程為.符合題意的的方程為或.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)環(huán)節(jié)五活動(dòng)7；課堂小結(jié)——你學(xué)到了那些新知識(shí)呢？學(xué)生歸納：1.我們嘗試了兩種研究點(diǎn)到直線距離的方法。第一，直接找進(jìn)垂足求兩點(diǎn)間距離，優(yōu)點(diǎn)是思路自然，缺點(diǎn)是計(jì)算量大。第二，通過(guò)向量方法，同學(xué)們形成了用向量解決點(diǎn)到直線的距離，方法自然，計(jì)算量也小。是同學(xué)們體會(huì)數(shù)學(xué)方法的靈活性和多角度。體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系。2.點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)與直線上點(diǎn)連線的距離的最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，解題時(shí)要注意把直線方程化為一般式.3.利用點(diǎn)到直線的距離公式可求直線的方程，有時(shí)需結(jié)合圖形，數(shù)形結(jié)合，使問(wèn)題更清晰.通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?；顒?dòng)8：當(dāng)堂檢測(cè)1.點(diǎn)(1,0)到直線x+y1=0的距離是 ()A.2B.22C.1D.2.點(diǎn)(5,3)到直線x+2=0的距離等于 ()A.7B.5C.3D.23.若點(diǎn)(3,m)到直線x+3y4=0的距離等于1,則m等于 ()A.3B.3C.33D.3或4.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,點(diǎn)P(2,2)到直線4x+3y+5=0的距離為.5.在△ABC中,A(0,0),B(3,5),C(4,4),則△ABC的面積為.1.解析:由點(diǎn)到直線的距離公式,得點(diǎn)(1,0)到直線x+y1=0的距離是|-1+0-1|2=22.解析:因?yàn)橹本€x+2=0,即直線x=2為平行于y軸的直線,所以點(diǎn)(5,3)到直線x=2的距離d=|5(2)|=73.解析:根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得d=|3+3m-4|1+(3)2=1,解得m4.解析:由點(diǎn)到直線的距離公式,得d=|4×2+3×2+5|42+5.解析:由兩點(diǎn)間的距離公式,得|AC|由A(0,0),B(3,5),C(4,4),得|AC|=42+4AC邊所在的直線方程為