2024高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.2直線平面平行的判定及其性質(zhì)第2課時(shí)直線與平面平面與平面平行的性質(zhì)講義含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE15第2課時(shí)直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入依據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P58～P61，回答下列問題．(1)假如直線和平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系是怎樣的？若直線a與平面α平行，那么在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有多少條？這些直線的位置關(guān)系如何？提示：平行或異面．在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有多數(shù)條，這些直線相互平行．(2)如何推斷平面和平面平行？假如兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面有什么位置關(guān)系？提示：有兩種方法，一是用定義法，須推斷兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)；二是用平面和平面平行的判定定理，須推斷一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行．假如兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行．2．歸納總結(jié)，核心必記(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行符號(hào)語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行符號(hào)語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言[問題思索](1)若直線a∥平面α，則直線a平行于平面α內(nèi)的隨意一條直線，對(duì)嗎？提示：錯(cuò)誤．若直線a∥平面α，則由線面平行的性質(zhì)定理可知直線a與平面α內(nèi)的一組直線平行．(2)若直線a與平面α不平行，則直線a就與平面α內(nèi)的任始終線都不平行，對(duì)嗎？提示：不對(duì)．若直線a與平面α不平行，則直線a與平面α相交或a?α，當(dāng)a?α?xí)r，α內(nèi)有直線與直線a平行．(3)兩個(gè)平面平行，那么，兩個(gè)平面內(nèi)的全部直線都相互平行嗎？提示：不肯定．它們可能異面．(4)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面嗎？提示：肯定平行．因?yàn)閮蓚€(gè)平面平行，則兩個(gè)平面無公共點(diǎn)，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必和另一個(gè)平面無公共點(diǎn)，因而它們平行．[課前反思]通過以上預(yù)習(xí)，必需駕馭的幾個(gè)學(xué)問點(diǎn)．(1)直線和平面平行的性質(zhì)定理是什么？怎樣應(yīng)用？；(2)平面和平面平行的性質(zhì)定理是什么？怎樣應(yīng)用？.將鉛筆放到與桌面平行的位置，用矩形硬紙片的面緊貼鉛筆，矩形硬紙片的一邊緊貼桌面，如圖所示，思索下列問題．[思索1]鉛筆和硬紙片與桌面的交線是什么位置關(guān)系？提示：平行．[思索2]鉛筆所在直線與桌面內(nèi)的直線都平行嗎？提示：不肯定．[思索3]怎樣相識(shí)直線與平面平行的性質(zhì)定理？名師指津：(1)線面平行的性質(zhì)定理的條件有三個(gè)：①直線a與平面α平行，即a∥α；②平面α、β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在平面β內(nèi)，即a?β.三個(gè)條件缺一不行．(2)定理的作用：①線面平行?線線平行；②畫一條直線與已知直線平行．(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．(4)在應(yīng)用這個(gè)定理時(shí)，要防止出現(xiàn)“一條直線平行于一個(gè)平面，就平行于這個(gè)平面內(nèi)的一切直線”的錯(cuò)誤．講一講1．如圖所示，已知三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為?EFGH，求證：CD∥平面EFGH.[嘗試解答]∵EFGH為平行四邊形，∴EF∥GH.又GH?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD.而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，∴EF∥CD.又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.利用線面平行性質(zhì)定理解題的步驟練一練1．求證：假如一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．解：已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求證：a∥l.證明：如圖，過a作平面γ交α于b.∵a∥α，∴a∥b.過a作平面ε交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.又b?β且c?β，∴b∥β.又平面α過b交β于l，∴b∥l.∵a∥b，∴a∥l.視察下圖，其中平面α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.[思索1]怎樣理解平面與平面平行的性質(zhì)定理？名師指津：(1)面面平行的性質(zhì)定理的條件有三個(gè)：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三個(gè)條件缺一不行．(2)定理的實(shí)質(zhì)是由面面平行得線線平行，其應(yīng)用過程是構(gòu)造與兩個(gè)平行平面都相交的一個(gè)平面，由其結(jié)論可知定理可用來證明線線平行．(3)面面平行的性質(zhì)定理的推證過程應(yīng)用了平行線的定義．[思索2]兩個(gè)平面平行有哪些常見結(jié)論？名師指津：兩個(gè)平面平行的一些常見結(jié)論：(1)假如兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的全部直線都與另一個(gè)平面平行．(2)假如一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，那么它也和另一個(gè)平面相交．(3)夾在兩個(gè)平行平面間的全部平行線段相等．講一講2．如圖，已知平面α∥β，P?α且P?β，過點(diǎn)P的直線m與α、β分別交于A、C，過點(diǎn)P的直線n與α、β分別交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．[嘗試解答]因?yàn)锳C∩BD＝P，所以經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD，因?yàn)棣痢桅?，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD).所以BD＝eq\f(24,5).應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟練一練2．如圖所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱臺(tái)，求證：B1D1∥BD.證明：依據(jù)棱臺(tái)的定義可知，BB1與DD1相交，所以BD與B1D1共面．又因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD.講一講3．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E、E1分別是棱AD，AA1上的點(diǎn)．設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE1∥平面FCC1.[思路點(diǎn)撥]欲證直線EE1∥平面FCC1.可將問題轉(zhuǎn)化為證明含有直線EE1的平面ADD1A1與平面FCC1平行，再依據(jù)面面平行的性質(zhì)證明問題．[嘗試解答]因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AB＝2AF.又因?yàn)锳B＝2CD，所以CD＝AF.因?yàn)锳B∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD為平行四邊形，所以FC∥AD.又FC?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因?yàn)镃C1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1.又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的示意圖2．證明直線與直線平行的方法(1)平面幾何中證明直線平行的方法，猶如位角相等，兩直線平行；三角形中位線的性質(zhì)；平面內(nèi)垂直于同始終線的兩條直線相互平行等；(2)公理4；(3)線面平行的性質(zhì)定理；(4)面面平行的性質(zhì)定理．3．證明直線與平面平行的方法(1)線面平行的判定定理；(2)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線平行于另一個(gè)平面．練一練3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN.求證：MN∥平面AA1B1B.證明：作MP∥BB1交BC于點(diǎn)P，連接NP，∵M(jìn)P∥BB1，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(CP,PB).∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝NB，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)，∴eq\f(CP,PB)＝eq\f(DN,NB)，∴NP∥CD∥AB.∵NP?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵M(jìn)P∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵M(jìn)P?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵M(jìn)N?平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.———————————————[課堂歸納·感悟提升]—————————1．本節(jié)課的重點(diǎn)是理解直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)定理，能利用線面、面面平行的性質(zhì)定理解決空間平行問題．難點(diǎn)是能綜合應(yīng)用線面、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行線線平行、線面平行與面面平行的相互轉(zhuǎn)化．2．本節(jié)課要重點(diǎn)駕馭的規(guī)律方法(1)線面平行、面面平行的性質(zhì)定理解題的步驟，見講1，講2.(2)空間中證明線線、線面、面面平行的方法，見講3.3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是混淆綜合利用線線、線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理解題，如講3.課下實(shí)力提升(十一)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1直線與平面平行的性質(zhì)定理1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是()A．平行B．平行或異面C．平行或相交D．異面或相交解析：選B由題意，CD∥α，則平面α內(nèi)的直線與CD可能平行，也可能異面．2．已知直線m，n和平面α，m∥n，m∥α，過m的平面β與α相交于直線a，則n與a的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．以上均有可能解析：選A由線面平行的性質(zhì)知m∥a，而m∥n，所以n∥a.3．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn)，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于G，H，則GH與AB的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．平行或異面解析：選A由長方體性質(zhì)知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴選A.4．如圖，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求證：CD∥EF.證明：因?yàn)锳B∥α，AB?β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可證AB∥EF，所以CD∥EF.題組2平面與平面平行的性質(zhì)定理5．已知平面α∥平面β，過平面α內(nèi)的一條直線a的平面γ，與平面β相交，交線為直線b，則a，b的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．不確定解析：選A由面面平行的性質(zhì)定理可知選項(xiàng)A正確．6．平面α與圓臺(tái)的上、下底面分別相交于直線m，n，則m，n的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．平行或異面解析：選A因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面相互平行，所以由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知m∥n.7．如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個(gè)平行四邊形，則四邊形ABCD的形態(tài)肯定是________．解析：由平行投影的定義，AA1∥BB1，而ABCD所在平面與平面α平行，則AB∥A1B1，則四邊形ABB1A1為平行四邊形；同理四邊形CC1D1D為平行四邊形．因?yàn)锳1B1C1D1，所以ABCD，從而四邊形ABCD為平行四邊形．答案：平行四邊形8．(2024·南陽高一檢測(cè))如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中點(diǎn)，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求證：N為AC的中點(diǎn)．證明：因?yàn)槠矫鍭B1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四邊形ANC1M為平行四邊形，所以AN∥C1M且AN＝C1M，又C1M＝eq\f(1,2)A1C1，A1C1＝AC，所以AN＝eq\f(1,2)AC，所以N為AC的中點(diǎn)．題組3線線、線面、面面平行的綜合9．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：l∥BC；(2)MN與平面APD是否平行？試證明你的結(jié)論．解：(1)證明：因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．證明如下：取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，可以證得NE∥AM且NE＝AM.可知四邊形AMNE為平行四邊形．所以MN∥AE，又因?yàn)镸N?平面APD，AE?平面APD，所以MN∥平面APD.10．如圖所示，ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB1C1？證明你的結(jié)論．解：當(dāng)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1.證明如下：如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接EF、FD、DE，∵D、E、F分別為CC1、AB、BB1的中點(diǎn)，∴EF∥AB1，∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可證FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE?平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.[實(shí)力提升綜合練]1．(2024·嘉興高一檢測(cè))若平面α∥平面β，直線a?α，點(diǎn)B∈β，則在β內(nèi)過點(diǎn)B的全部直線中()A．不肯定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在多數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一一條與a平行的直線解析：選D因?yàn)閍與B確定一個(gè)平面，該平面與β的交線即為與a平行的直線，只有唯一一條．2．已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于l的直線()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．只有一條，在平面α內(nèi)C．有兩條，不肯定都在平面α內(nèi)D．有多數(shù)條，不肯定都在平面α內(nèi)解析：選B如圖所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直線l與點(diǎn)P確定一個(gè)平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l(xiāng)∥m且m是唯一的．3．(2024·日照高一檢測(cè))過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，假如所得的交線為a、b、c、…，則這些交線的位置關(guān)系為()A．都平行B．都相交且肯定交于同一點(diǎn)C．都相交但不肯定交于同一點(diǎn)D．平行或都相交于同一點(diǎn)解析：選D因?yàn)閘?α，所以l∥α或l∩α＝A，若l∥α，則由線面平行性質(zhì)定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，所以由公理4可知，a∥b∥c…；若l∩α＝A，則A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c∩…＝A，故選D.4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若經(jīng)過D1B的平面分別交AA1和CC1于點(diǎn)E、F，則四邊形D1EBF的形態(tài)是()A．矩形B．菱形C．平行四邊形D．正方形解析：選C因?yàn)檫^D1B的平面和左右兩個(gè)側(cè)面分別交于ED1、BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四邊形D1EBF是平行四邊形．5．(2024·福州高一檢測(cè))如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點(diǎn)E作一個(gè)與平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，則MN＝________AC.解析：因?yàn)槠矫鍹NE∥平面ACB1，平面ABCD∩平面MNE＝MN，平面ABCD∩平面ACB1＝AC，所以MN∥AC.同理可證EM∥AB1，EN∥B1C.因?yàn)镋是B1B的中點(diǎn)，所以M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，所以MN＝eq\f(1,2)AC.答案：eq\f(1,2)6．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．解析：∵EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，∴EF∥AC.又點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，∴點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)