【高中數(shù)學(xué)競賽真題•強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】 專題10 復(fù)數(shù) 真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）解析版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】專題10復(fù)數(shù)真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）一、單選題1．（2019·全國·高三競賽）在復(fù)平面上，滿足的點的軌跡是（

）.A．圓 B．橢圓C．一段圓弧 D．雙曲線【答案】C【詳解】設(shè)、、，對應(yīng)的點為.由，可得.由托勒密逆定理知，的軌跡為外接圓上不含點的那一段.故答案為C2．（2020·北京·高三強基計劃）設(shè)a，b，c，d是方程的4個復(fù)根，則（

）A． B． C． D．前三個答案都不對【答案】A【分析】利用換元法將原方程轉(zhuǎn)化為高次方程，再結(jié)合高次方程的韋達(dá)定理可求代數(shù)式的值.【詳解】法1：設(shè)，則，類似的，定義，則是方程，即的4個復(fù)根，方程左側(cè)中的系數(shù)為，的系數(shù)為根據(jù)韋達(dá)定理，有．法2：題中代數(shù)式也即，因此是關(guān)于x的方程，即的4個復(fù)根，故為方程的4個復(fù)根，從而，原式為．故選：A.3．（2020·北京·高三?？紡娀媱潱┮阎獜?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，O為坐標(biāo)原點．若，則的面積為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可求的面積.【詳解】根據(jù)題意，有，故，故可看出由旋轉(zhuǎn)并伸長為倍后所得，且旋轉(zhuǎn)角的正弦值的絕對值為，故故選：A4．（2020·北京·高三強基計劃）已知復(fù)數(shù)z滿足，則中不同的數(shù)有（

）A．4個 B．6個 C．2019個 D．以上答案都不正確【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式可求，從而可判斷出不同的數(shù)的個數(shù).【詳解】根據(jù)題意，有，于是中有6個不同的數(shù)．故選：B.二、多選題5．（2020·北京·高三?？紡娀媱潱┰O(shè)復(fù)數(shù)z滿足，令，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)差的幾何意義可求的最值【詳解】根據(jù)題意，有，且，于是為以點為圓心，1為半徑的圓上的點到點的距離，其取值范圍是，因此的最小值為，最大值為．故選：AD.6．（2020·北京·高三?？紡娀媱潱┮阎瑒t（

）A．存在實數(shù)解B．共有20個不同的復(fù)數(shù)解C．的復(fù)數(shù)解的模長都等于1D．存在模長大于1的復(fù)數(shù)解【答案】BC【分析】設(shè)，利用換元法可求得，從而可判斷的20個復(fù)數(shù)解的模都是1.【詳解】設(shè)，則，于是，這兩個t的取值都在區(qū)間內(nèi)．故有解，因此有20個不同的復(fù)數(shù)解．當(dāng)時，由于，因此的復(fù)數(shù)解的模長都等于1．綜上所述，選項BC正確．故選：BC.7．（2020·湖北武漢·高三統(tǒng)考強基計劃）設(shè)是非零復(fù)數(shù)，它們的實部和虛部都是非負(fù)實數(shù)，則（

）A．最小值為 B．沒有最小值 C．最大值為2 D．沒有最大值【答案】AD【分析】在復(fù)平面內(nèi)（為坐標(biāo)原點），設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別為，利用復(fù)數(shù)的幾何意義及向量的加法和平面向量數(shù)量積，將進行等價變形，然后結(jié)合已知條件及均值不等式即可判斷的最值情況.【詳解】解：在復(fù)平面內(nèi)（為坐標(biāo)原點），設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別為，因為是非零復(fù)數(shù)，它們的實部和虛部都是非負(fù)實數(shù)，所以，從而有），所以，又由均值不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且（比如）時等號成立.故選：AD.8．（2020·湖北武漢·高三統(tǒng)考強基計劃）設(shè)復(fù)數(shù)的實部和虛部都是整數(shù)，則（

）A．的實部都能被2整除B．的實部都能被3整除C．的實部都能被4整除D．的實部都能被5整除【答案】BD【分析】設(shè)分別計算出代入化簡即可.【詳解】設(shè)則因為可以被2整除，當(dāng)為奇數(shù)時不能被2整除，故排除A.因為，由費馬小定理得能被3整除，故B對.的實部為，當(dāng)為奇數(shù)時也為奇數(shù)，故不能被4整除，C排除.的實部為，由費馬小定理能被5整除，故能被5整除，故D對.故選：BD三、填空題9．（2018·遼寧·高三競賽）設(shè)、b均為實數(shù)，復(fù)數(shù)與的模長相等，且為純虛數(shù)，則+b=_____.【答案】【詳解】由題設(shè)知，且為純虛數(shù)，故.因此或解得或，故.故答案為10．（2019·全國·高三競賽）已知虛數(shù)、滿足，，.則實數(shù)______.【答案】1【詳解】由，知.又由方程解的定義知，、是二次方程的兩個虛根，則有.解方程得.于是，.解得.故答案為111．（2022·廣西·高二統(tǒng)考競賽）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為______．【答案】0或1【詳解】設(shè)i,則i.設(shè)，，，或1，故答案為：0或1.12．（2019·全國·高三競賽）復(fù)平面上動點的軌跡方程為______.【答案】【詳解】注意到，則.故答案為13．（2020·江蘇·高三競賽）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為__________．【答案】3【詳解】解析：由題意可得，則表示復(fù)平面上點到的距離．如圖所示，，由此可得．故的最大值為3．故答案為：3.14．（2019·全國·高三競賽）設(shè)，其中，．則____________．【答案】【詳解】注意到，所以，且.故答案為15．（2019·全國·高三競賽）設(shè)是復(fù)數(shù),關(guān)于的一元二次方程的兩個復(fù)數(shù)根為.若,則_____.【答案】0或或【詳解】因為，所以，.從而，

.代入，得或（當(dāng)時）.當(dāng)時，把代入，得.解得.綜上所述，或.故答案為0或或16．（2021·浙江·高二競賽）設(shè)復(fù)數(shù)的實虛部，所形成的點在橢圓上.若為實數(shù)，則復(fù)數(shù)______.【答案】或.【詳解】由，所以，則，所以或.故答案為：或.17．（2022·福建·高二統(tǒng)考競賽）已知復(fù)數(shù)?在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A?B，且，，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的周長為___________.【答案】【詳解】由，得，所以，所以，，又，所以，，所以△OAB的周長為，故答案為：.18．（2019·全國·高三競賽）已知正實數(shù)滿足，復(fù)數(shù)滿足，若，那么，當(dāng)?shù)妮椊侵髦底钚r，的值為______．【答案】【詳解】由，知,于是，在復(fù)平面上，對應(yīng)的點在以對應(yīng)的點為圓心、3為半徑的圓上,當(dāng)?shù)妮椊侵髦底钚r，與圓相切，而，，則,于是，,而的輻角主值，又，，于是，,因此，.19．（2019·全國·高三競賽）復(fù)數(shù)列滿足，.若，則可以有_________種取值.【答案】【詳解】顯然，對任意的非負(fù)整數(shù)均有.設(shè).則.由，得，即.由，得.因此，滿足條件的共有（個）.故答案為20．（2021·浙江·高三競賽）復(fù)數(shù)，滿足，，則______.【答案】【詳解】如圖所示，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為,由已知得,由余弦定理得向量所成的角為,不妨設(shè),,,,,,,.故答案為：.21．（2021·全國·高三競賽）設(shè)復(fù)數(shù)??滿足，則___________.【答案】2【詳解】解析：.故答案為：2.22．（2021·北京·高三強基計劃）已知復(fù)數(shù)z滿足，則滿足條件的z有_________個．【答案】1【分析】將題設(shè)中的方程化為，再根據(jù)10，11均與111互質(zhì)可得滿足條件的z的個數(shù).【詳解】根據(jù)題意，有，于是，因此，從而，注意到10，11均與111互質(zhì)，因此滿足條件的z只有1個，為．故答案為：1.23．（2021·全國·高三競賽）已知實數(shù)x、y滿足，則__________．【答案】【詳解】解析：令，則原方程組（令）（舍）或．故答案：.四、解答題24．（2018·全國·高三競賽）已知求的值.【答案】0【詳解】令.又,，.則.同理,.故則.所以,且.25．（2019·全國·高三競賽）已知、、是互不相等的復(fù)數(shù)，滿足，.求證：.【答案】見解析【詳解】由已知條件知，復(fù)數(shù)、、兩兩不等，且皆不為0.對題中比例式用合比、分比可得.設(shè)，則，，.但，故（但），有.同理，.因此，.26．（2019·全國·高三競賽）設(shè)．證明：為純虛數(shù)．【答案】見解析【詳解】首先證明：若，則

①令.則是一個次多項式，其首項系數(shù)為.又當(dāng)時，.所以，.由因式定理得.在式①中令.則..命題獲證.27．（2021·全國·高三競賽）設(shè)，復(fù)數(shù).求所有的，使得??依次成等比數(shù)列.【答案】答案見解析【詳解】因為，所以：，整理得：，所以（1）或，時，代入得；時，代入得；（2）若，則有：，故，故的值為或或或，對于的分別為、、、，故所有的為：.28．（2019·全國·高三競賽）設(shè)，其中為質(zhì)數(shù)．對的一個子集，如果中所有元素的和（空集的元素和規(guī)定為）為的倍數(shù)，則稱是的一個“倍子集”．試求的所有倍子集的個數(shù)．【答案】【詳解】當(dāng)時，，此時，有個倍子集：、，所以，.當(dāng)時，為奇質(zhì)數(shù)，令考察的元素和為的所有子集的個數(shù).當(dāng)時，它就是不定方程的正整數(shù)解的個數(shù)，也就是的展開式中的系數(shù)；當(dāng)時，其和為的子集只有空集，子集的個數(shù)為.所以，的所有倍子集的個數(shù)，就是的展開式中那些次數(shù)為的倍數(shù)的項的系數(shù)和，即.設(shè).當(dāng)是的倍數(shù)時，；當(dāng)不是的倍數(shù)時，有.于是，由，得.又，則其中，.注意到當(dāng)時，，所以，是模的完系.而，則是的一個排列.故，.又，而為奇數(shù)，取，得.故，.則比較兩式的右邊得.故，.綜上，29．（2021·全國·高三競賽）設(shè)和為兩組復(fù)數(shù)，滿足：．求證：存在數(shù)組（其中），使得．【答案】證明見解析【詳解】用表示對所有數(shù)組的求和，下面用數(shù)學(xué)歸納證明如下的等式：

①(1)當(dāng)時，①式顯然成立；當(dāng)時，，即①式成立．（2）假設(shè)時，①式成立，則時，我們有，即時①式成立．由（1）（2）可得：．回到原題，由，可得，即，所以存在數(shù)組（其中，使得，即．30．（2021·全國·高三競賽）設(shè)、是無窮復(fù)數(shù)數(shù)列，滿足對任意正整數(shù)n，關(guān)于x的方程的兩個復(fù)根恰為、（當(dāng)兩根相等時）．若數(shù)列恒為常數(shù)，證明：（1）；（2）數(shù)列恒為常數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意和韋達(dá)定理可得，取模得，若，結(jié)論顯然成立，否則，由于數(shù)列恒為常數(shù)，則，即結(jié)論也成立；（2）由（1）和題意知，數(shù)列恒為常數(shù)，則只有互為共軛的兩種取值，不妨設(shè)為和，依據(jù)題意即可證明.【詳解】由題意和韋達(dá)定理得,則，即．

①（1）由①取模得，若，結(jié)論顯然成立；否則，由于數(shù)列恒為常數(shù)，則，即有．（2）由（1）知，對任意的，又?jǐn)?shù)列恒為常數(shù)，因此只有互為共軛的兩種取