logistic模型和最小二乘PPT課件

1、背景,世界人口增長(zhǎng)概況,中國(guó)人口增長(zhǎng)概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過(guò)快增長(zhǎng),如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng),指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出 (1798),常用的計(jì)算公式,x(t) 時(shí)刻t的人口,基本假設(shè) : 人口(相對(duì))增長(zhǎng)率 r 是常數(shù),今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 r,k年后人口,隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng),指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性,與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合,適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代,可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè),不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律,不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程,19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù),阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下

2、降的原因：,資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí)),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,x(t)S形曲線, x增加先快后慢,阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),參數(shù)估計(jì),用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口 預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm,利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬(wàn)）,專家估計(jì),阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),模型檢驗(yàn),用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較,實(shí)際為281.4 (百萬(wàn)),模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù),Log

3、istic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量),阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),最小二乘擬合,問(wèn)題：給定 擬合一個(gè)函數(shù) y=f(x,t)，其中x為待定的參數(shù)向量,記誤差,確定x的方法： 求x使得誤差平方和,最小,MATLAB最小二乘擬合,命令 lsqcurvefit 基本用法 x,resnorm，res=lsqcurvefit(f,x0,t,y,lb,ub) 輸入：f =f(x,t) x0=參數(shù)初值 t=自變量向量 y=函數(shù)值向量 lb ub =參數(shù)的上下界 輸出 x=參數(shù)估計(jì)值 resnom=(誤差平方和） res= r(誤差向量),例子,已知美國(guó)人口數(shù)據(jù)如下（單位百萬(wàn)）,用

4、指數(shù)增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào),估計(jì)模型參數(shù) r的MATLAB方法 1.建立M文件 myexp.m function f=myexp(x,t) f=x(1)*exp(x(2)*t);,2.建立M文件myexpexec.m t=0:21 y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6, 50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7, 179.3,204.0,226.5,251.4,281.4 x0=4,0.3; x,norm,res=lsqcurvefit(myexp,x0,t,y),3. 利用MATLAB作圖,比較結(jié)果 p

5、lot(t,y,+); hold on; y1=myexp(x,t); % 理論數(shù)據(jù) plot(t,y1,*);,指數(shù)模型結(jié)果,如果用LOGISTIC 模型作擬合，步驟相同 1.建立m文件 mylogistic.m function f=mylogistic(x,t) f=x(1)/(1+(x(1)/3.9-1)*exp(-x(2)*t); 2. 和前面相同，只要將 myexp 換為mylogistic,LOGSTIC模型結(jié)果,兩個(gè)模型結(jié)果比較,線性化后再參數(shù)估計(jì),對(duì)指數(shù)模型,MATLAB線性回歸命令,b = regress(y,X) 返回回歸系數(shù)向量b, 線性模型 y = Xb, X 是 n

6、p 矩陣, y 是觀察值向量,使用線性回歸的M文件,t=0:21 y=3.9,5.3,7.2,9.6, ,251.4,281.4; logy=log(y); logy=logy; X=ones(22,1) t; b=regress(logy,X); x(1)=exp(b(1);x(2)=b(2); y1=myexp(x,t); plot(t,y,+,t,y1,*);,結(jié)果,對(duì)logistic 模型,MATLAB M文件,y=3.9,5.3,7.2,251.4,281.4; dy=diff(y); dyy=dy./y(1:21); dyy=dyy; tt=y(1:21); X=ones(21,1) tt; b=regress(