北京市房山區(qū)2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題（含解析）（通用）

1、房山區(qū)2020學年度第一期末期末檢測高三數(shù)學一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用交集定義直接求解【詳解】集合，B0，1，2，3，AB0，1，2故選：C【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題2.已知復數(shù)，則的虛部為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)的代數(shù)形式的運算法則，先求出z，由此利用復數(shù)的定義能求出z的虛部【詳解】,故的虛部為故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的虛部的求法，是基礎題，解題

2、時要認真審題，注意復數(shù)的代數(shù)形式的合理運用3.等差數(shù)列中，若，為的前項和，則（ ）A. 28B. 21C. 14D. 7【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列下角標性質求得，再利用求和公式求解【詳解】等差數(shù)列中，若，則則故選：C【點睛】本題考查等數(shù)列的前n項公式，考查化簡、計算能力，熟練運用等差數(shù)列下角標性質是關鍵，屬于基礎題4.從年起，北京考生的高考成績由語文、數(shù)學、外語門統(tǒng)一高考成績和考生選考的3門普通高中學業(yè)水平考試等級性考試科目成績構成等級性考試成績位次由高到低分為、，各等級人數(shù)所占比例依次為：等級，等級，等級，等級，等級現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學生中抽取人作為樣本

3、，則該樣本中獲得或等級的學生人數(shù)為（ ）A. 55B. 80C. 90D. 110【答案】D【解析】【分析】利用抽樣比求解【詳解】設該樣本中獲得或等級的學生人數(shù)為，則 故選：D【點睛】本題考查分層抽樣的定義與應用，考查計算能力，是基礎題5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】將三視圖還原，利用三棱錐體積公式求解【詳解】三視圖還原為如圖所示的三棱錐：側面底面，且為等腰三角形，為直角三角形，故體積 故選：A【點睛】本題考查三視圖及錐體體積，考查空間想象能力，是基礎題6.若點在角的終邊上，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【

4、解析】【分析】先求出點M的坐標，再利用任意角的三角函數(shù)的定義求出tan 的值,再利用二倍角公式求解【詳解】即為，則 故選：D【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，以及二倍角公式，屬于容易題7.已知雙曲線方程為，點，分別在雙曲線的左支和右支上，則直線的斜率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用直線的斜率與漸近線比較求解【詳解】由題雙曲線的漸近線斜率為，當直線的斜率為時，滿足題意，當直線的斜率為時，交雙曲線為同一支，故選：A【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查漸近線斜率，是基礎題8.設，均為單位向量，則“與夾角為”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件B.

5、 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應用，利用平方法求出向量夾角，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】由“|平方得|2+|2+23，即1+1+23，得21，則cos，則與夾角，即“與夾角為”是“|”的充分必要條件，故選：C【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合充分條件和必要條件的定義結合向量數(shù)量積的應用進行化簡是解決本題的關鍵9.如圖，在正方體中，為棱的中點，動點在平面及其邊界上運動，總有，則動點的軌跡為（ ）A. 兩個點B. 線段C. 圓的一部分D. 拋物線的一部分【答案】B【解析】【分析】先找到一個

6、平面總是保持與垂直，取B1B的中點E，CB的中點F，連接AE，EF，在正方體ABCDA1B1C1D1中，可得AF面DMD1， MD1平面AEF即可得出【詳解】如圖，先找到一個平面總是保持與垂直，取B1B的中點E，CB的中點F，連接AE，EF，AF,在正方體ABCDA1B1C1D1中，易證DMAF，AF，則有AF面DMD1，同理MD1AE，則MD1平面AEF又點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，根據(jù)平面的基本性質得：點P的軌跡為面AEF與面BCC1B1的交線段EF故選：B【點睛】本題考查線面垂直的判定與正方體的幾何特征、軌跡的求法、平面的基本性質等基礎知識，考查空間想象力屬于基礎題10.已知某

7、校運動會男生組田徑綜合賽以選手三項運動的綜合積分高低決定排名具體積分規(guī)則如表1所示，某代表隊四名男生的模擬成績如表2表1 田徑綜合賽項目及積分規(guī)則項目積分規(guī)則米跑以秒得分為標準，每少秒加分，每多秒扣分跳高以米得分為標準，每多米加分，每少米扣分擲實心球以米得分為標準，每多米加分，每少米扣分表2 某隊模擬成績明細姓名100米跑（秒）跳高（米）擲實心球（米）甲乙丙丁根據(jù)模擬成績，該代表隊應選派參賽的隊員是：（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】由得分規(guī)則計算甲乙丙丁四人各項得分進行判斷即可【詳解】由題，甲各項得分為：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；擲實心球

8、60+15=75；則總分為45+64+75=184乙各項得分為：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；擲實心球60-5=55，則總分為80+70+55=205丙各項得分為：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；擲實心球60+10=70，則總分為65+66+70=201丁各項得分為：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；擲實心球60+5=65，則總分為55+62+65=182,綜上，乙得分最多故選：B【點睛】本題考查數(shù)據(jù)分析及決策問題，理解題意是關鍵，是基礎題二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11.已知兩點，則以線段為直徑的圓的方程為_【答案】【解析】分

9、析】根據(jù)中點坐標公式求圓心為（1，1），求兩點間距離公式求AB的長并得出半徑為，寫出圓的標準方程即可【詳解】直徑的兩端點分別為（0，2），（2，0），圓心為（1，1），半徑為，故圓方程為（x1）2+（y1）2=2故答案為（x1）2+（y1）2=2【點睛】在確定圓的方程時，選擇標準方程還是一般方程需要靈活選擇，一般情況下易于確定圓或半徑時選擇標準方程，給出條件是幾個點的坐標時，兩種形式都可以此題選擇標準形式較簡單12. 函數(shù)f(x)(x1)(xa)是偶函數(shù)，則f(2)_【答案】3【解析】由f(x)f(x)，得a1，f(2)3.13.已知數(shù)列滿足，且其前項和滿足，請寫出一個符合上述條件的數(shù)列的通項

10、公式 _【答案】或（答案不唯一）【解析】【分析】判斷數(shù)列的特征，從數(shù)列的性質入手考慮解答【詳解】設數(shù)列an的前n項和為Sn，且nN*，an+1an，說明數(shù)列是遞增數(shù)列；，說明數(shù)列項為負數(shù)；故數(shù)列的通項公式或（答案不唯一）故答案為：或（答案不唯一）【點睛】本題考查數(shù)列的性質，數(shù)列的應用，是基本知識的考查14.已知，若的最小正周期為_，若對任意的實數(shù)都成立，則_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用周期公式求解周期，利用函數(shù)取最大值得值【詳解】由題，若對任意的實數(shù)都成立，則函數(shù)在取最大值，故，又 故答案為：， 【點睛】本題考查余弦函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的最值，熟記函數(shù)性質是關鍵，是基

11、礎題15.已知函數(shù)當時，函數(shù)的值域是_；若函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）分段求值域，再求并集可得f（x）的值域；（2）轉化為f（x）在上與直線只有一個公共點，分離a求值域可得實數(shù)a的取值范圍【詳解】（1）當a1時，即當x1時，f（x），當x1時，f（x）2-x1，綜上所述當a1時，函數(shù)f（x）的值域是，（2）由無解，故f（x）在上與直線只有一個公共點，則有一個零點，即實數(shù)的取值范圍是故答案為：；【點睛】本題考查了分段函數(shù)的應用，同時考查了數(shù)形結合解決數(shù)學問題的能力，屬于中檔題，16.已知矩形中，當每個取遍時，的最小值是_

12、，最大值是_【答案】 (1). 0 (2). 【解析】【分析】建立直角坐標系，向量坐標化求模長的最值即可【詳解】建立如圖所示坐標系： ,則由題意若使模長最大，則 不妨設為則當時模長最大為當時模長最小值為0故答案為：0； 【點睛】本題考查向量坐標化的應用，建立坐標系是關鍵，考查推理能力，考查計算與推理能力，是難題三、解答題共6題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17.如圖，在平面四邊形中，.（1）求的值；（2）求，的值.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)基本關系得，利用兩角和的正弦及內角和定理展開求解即可（2）利用正弦定理得，再利用余弦定理求解【詳解】

13、（1），在中，（2）在中，由正弦定理得，即解得，在中，根據(jù)余弦定理，解得【點睛】本題主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題18.某貧困縣在政府“精準扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展養(yǎng)茶業(yè)該縣農科所為了對比A，B兩種不同品種茶葉的產量，在試驗田上分別種植了A，B兩種茶葉各畝，所得畝產數(shù)據(jù)（單位：千克）如下：A：，； B：，；（1）從A，B兩種茶葉畝產數(shù)據(jù)中各任取1個，求這兩個數(shù)據(jù)都不低于的概率；（2）從B品種茶葉的畝產數(shù)據(jù)中任取個，記這兩個數(shù)據(jù)中不低于的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為選擇該縣應種植茶葉A還是

14、茶葉B？說明理由【答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）答案不唯一，見解析【解析】【分析】（1）利用古典概型結合獨立事件的概率求解（2）利用超幾何分布求解（3）利用平均數(shù)和中位數(shù)大小比較即可【詳解】（1）從A種茶葉畝產數(shù)據(jù)中任取一個，不低于55的有11個，從B種茶葉畝產數(shù)據(jù)中任取一個，不低于55的有4個，設“所取兩個數(shù)據(jù)都不低于55”為事件，則（2）的所有可能取值為，的分布列為012期望（3）如果選擇A，可以從A的畝產數(shù)據(jù)的中位數(shù)或平均值比B高等方面敘述理由如果選擇B，可以從B的畝產數(shù)據(jù)比A的方差小，比較穩(wěn)定等方面敘述理由【點睛】本題考查古典概型及獨立事件的概率，考查超幾何分布，理解平均數(shù)

15、中位數(shù)及方差的意義是關鍵，是中檔題19.如圖，在四棱錐中，平面，為等邊三角形，分別為棱，的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值，若不存在，說明理由【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）證明和即可證明（2）取的中點，連結，得，以為原點，以所在直線分別為軸如圖建系，求得兩平面的法向量，利用二面角向量公式求解（3）假設棱上存在點，使得平面，且設，求得平面的法向量，利用得【詳解】（1）因為平面，平面，平面，所以，又因為為等邊三角形，為的中點，所以，所以平面（2）取的中點，連結，則易知，因為為等邊三角形，

16、所以以為原點，以所在直線分別為軸如圖建系，設平面的法向量，則：，即，令，得平面的一個法向量，易知平面的一個法向量為所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為（3）假設棱上存在點，使得平面，且設，則，則，要使得平面，則，得，所以線段上存在點，使得平面，【點睛】本題考查線面垂直的判定，考查向量法求解二面角及線面平行問題，考查計算能力，是中檔題20.已知橢圓：的右焦點為，且經過點（1）求橢圓的方程以及離心率；（2）若直線與橢圓相切于點，與直線相交于點在軸是否存在定點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由【答案】（1），；（2）存在定點，為【解析】【分析】（1）利用，求解方程（2）設直線方程為，與橢

17、圓聯(lián)立利用判別式等于0得，并求得切點坐標及，假設存在點 ，利用化簡求值【詳解】（1）由已知得，橢圓的方程為，離心率為；（2）在軸存在定點，為使，證明：設直線方程為代入得，化簡得由，得，設，則，則，設，則，則假設存在點 解得 所以在軸存在定點使【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，考查切線的應用，利用判別式等于0得坐標是解決問題的關鍵,考查計算能力,是中檔題21.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求證：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】(1)求導得直線的斜率利用點斜式得方程(2)求導構造新函數(shù)證明即可【詳解】（1）由，得，則切線方程為.（2），令，故在上單調遞增. 又，又在上連續(xù)，使得，即，.（*）隨的變化情況如下：極小值. 由（*）式得，代入上式得. 令，故在上單調遞減.，又，.即.【點睛】本題考查導數(shù)的集合意義,考查導數(shù)證明不等式,轉化為求函數(shù)最值是解題的關鍵,考查推理及變形能力,是中檔題22.設為給定不小于的正整數(shù)，考察個不同的正整數(shù)，構成的集合，若集合的任何兩個不同的非空子集所含元素的總和均不相等，則稱集合為“差異集合”（1）分別判斷集合，集合是否是“差異集合”；（只需寫出結論）（2）設集合是“差異集合”，