安徽省淮南市第二中學(xué)、宿城第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第四次考試試題 文（含解析）（通用）

1、2020屆高三第四次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題第卷 選擇題（共60分）一、選擇題（51260分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)用2B鉛筆涂黑答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)）1. 設(shè)集合， ，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 2. 已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】，的虛部是，故選D.3. 已知命題：命題；命題，且是的必要不充分條件，則的取值范圍（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】命題，解得或，命題，因?yàn)?是的必要不充分條件，所以 ，故選B.4. 已知，則的值是（ ）A. B. C. D.

2、 【答案】A【解析】， ，故選A.5. 若變量滿(mǎn)足約束條件,則的最大值是（ ）A. B. 0 C. D. 【答案】A【解析】作出束條件表示的可行域，如圖，表示點(diǎn) 與可行域內(nèi)的 動(dòng)點(diǎn) 連線(xiàn)的斜率，由可得 ， 由圖可知最大值就是 ，故選A.6. 運(yùn)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入時(shí)，輸出的x為（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】D【解析】執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán) ；第二次循環(huán)；第三次循環(huán)；第四次循環(huán)，, ,退出循環(huán)，輸出 ，故選D.7. 設(shè)，,則()A. B. C. D. 【答案】A【解析】由冪函數(shù)的性質(zhì)可得，,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，,所以，故選C.8. 函數(shù)圖像大致圖像為（ ）A. B. C.

3、 D. 【答案】B【解析】設(shè)，可得為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可排除選項(xiàng) ；又 時(shí)，,可排除選項(xiàng) ，故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類(lèi)題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類(lèi)題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.9. 把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位就得到了一個(gè)奇函數(shù)的圖像，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則，即

4、，故 時(shí)，的最小正值為，故選D.10. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的的外接球的體積是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐 ，圖中 ，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)寬高分別是 的長(zhǎng)方體，三棱錐的外接球也是長(zhǎng)方體的外接球，外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)，可得，外接球體積為 ，故選C.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐外接球體積積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見(jiàn)方法有：若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）；若面（），則（為外接圓半徑）；可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；特殊幾何體可以直

5、接找出球心和半徑.11. 在中，角的對(duì)邊分別為，且，則角等于()A. B. 或 C. D. 【答案】A.12. 已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，在上恒成立，設(shè)，則，再令，則，在上恒成立，在上為增函數(shù)，在上恒成立，在上減函數(shù)，,實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選B.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查“分離參數(shù)”在解題中的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題. 利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見(jiàn)方法： 視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在

6、此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的; 利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍，本題是利用方法 求解的第卷 非選擇題（共90分）二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填寫(xiě)在答題卡的橫線(xiàn)上.13. 已知，與的夾角為，則=_【答案】【解析】與的夾角為， ，故答案為.14. 若數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，則_【答案】17【解析】數(shù)列公差為，則由，可知，又，故答案為.15. 在如圖所示的三棱錐中，底面，是的中點(diǎn)2，2. 則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為_(kāi) 【答案】【解析】 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則 ， ，故答案為.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查異面直線(xiàn)所成的角以及空間向量的應(yīng)用，屬于難

7、題.求異面直線(xiàn)所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線(xiàn)的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線(xiàn)等方法找出兩直線(xiàn)成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.16. 若函數(shù) ，且在實(shí)數(shù)上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)_【答案】【解析】函數(shù) ，且在實(shí)數(shù)上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于的圖象與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?所以?xún)珊瘮?shù)都是偶函數(shù)，圖象都關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)，所以必有一個(gè)交點(diǎn)在 軸上（如果交點(diǎn)都不在軸上，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)），又因?yàn)?，即于的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以的圖象也過(guò)原點(diǎn)，所以，可得，故答案為.三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分70分

8、. 解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟17. 的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知.（）求角的大小；（）若，求的面積的最大值.【答案】（）. （）.【解析】試題分析：（I）利用正弦定理把等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式整理求得，可得，從而求得；（II）結(jié)合（I）的結(jié)論，由余弦定理可求得 ，利用基本不等式求得的最大值，進(jìn)而利用三角形面積公式確定的面積的最大值.試題解析：（），由正弦定理得， .， .即 . ，. ，.，. （），由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=” .即的面積的最大值為18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，都有成立記（）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：【答

9、案】（）, （）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（I）由成立，可得時(shí)，可得出數(shù)列為等比數(shù)列,從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得；(II)利用（I）的結(jié)論，可得，根據(jù)裂項(xiàng)求和求出數(shù)列的前項(xiàng)和為,再利用放縮法即可證明結(jié)論.試題解析：（）在中，令得. 因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，都有成立，時(shí)，兩式作差得，所以， 又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，即， （），. . 對(duì)任意， 又，所以，為關(guān)于的增函數(shù)，所以，綜上，【方法點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列的定義，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是

10、根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.19. 已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）若函數(shù)的圖像在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求的值；（）對(duì)總有0成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（） ；（）.【解析】試題分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的圖像在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直可得，從而求出的值；（II）對(duì)總有0成立，等價(jià)于對(duì)上恒成立，設(shè)，只需即可，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得時(shí)，為增函數(shù)，時(shí)，為減函數(shù)，從而，進(jìn)而可求出的范圍.試題解析：（） 函數(shù)的圖像在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直 （）時(shí) 設(shè)，. 令得；令得時(shí)，為增函數(shù)

11、，時(shí)，為減函數(shù)， 20. 如圖，菱形與等邊所在的平面相互垂直，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PC和AB的中點(diǎn)（）求證：EF平面PAD （）證明：；（）求三棱錐的體積【答案】（）見(jiàn)解析;（）見(jiàn)解析;（）.【解析】試題分析：（I）設(shè)的中點(diǎn)，連結(jié)和，由中位線(xiàn)定理可得，從而四邊形為平行四邊形，由線(xiàn)面平行的判定定理可得結(jié)論；（）由為等邊三角形得，由四邊形為菱形，可得，從而平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（）根據(jù)“等積變換”可得，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，為三棱錐的高，根據(jù)棱錐的體積公式可得結(jié)果.試題解析：（）取PD的中點(diǎn)G，連結(jié)GE和GA，則，四邊形AFEG為平行四邊形，平面PAD,EF平面PADEF平面PAD （）取中點(diǎn)，連結(jié)，

12、 因?yàn)闉榈冗吶切危砸驗(yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所?因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（）連結(jié)FC，PE=EC，四邊形為菱形，且，平面平面，平面平面，平面，平面，為三棱錐的高 ， 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線(xiàn)面平行的常用方法：利用線(xiàn)面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，可利用幾何體的特征，合理利用中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線(xiàn)平行.利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一平面. 本題（1）是就是

13、利用方法證明的.21. 已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）討論的單調(diào)性；（）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求證：【答案】（）見(jiàn)解析;（）（1）；（2） 見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（II）（1）由（）知，當(dāng)時(shí)， 在R上為增函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)， 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，只需，即可解得的取值范圍；（2）分離參數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明證明,不妨設(shè),記,則,因此只要證明：，即根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.試題解析：（）的定義域?yàn)镽，（1）當(dāng)時(shí)，在R上恒成立，在R上為增函數(shù)； （2）當(dāng)時(shí)，令

14、得，令得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為； （）（1）由（）知，當(dāng)時(shí)， 在R上為增函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)， 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，又，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得； （2）由（）（1），當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上遞增， 在上遞減，依題意，不妨設(shè) 要證，即證，又，所以，而在上遞減，即證， 又，即證，（） 構(gòu)造函數(shù)， ，在單調(diào)遞增，從而，（），命題成立請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)涂寫(xiě)清題號(hào)。22. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為（）寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于A(yíng),B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值【答案】（）,.（）.【解析】試題分析：（I）將直線(xiàn)的參數(shù)方程為利用代入法消去參數(shù)即可得到的普通方程，由極坐標(biāo)方程為得，利用互化公式可得的直角坐標(biāo)方程；（）將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義列方程求解即可.試題解析：（）依題意由