必修五1.1.2余弦定理(強(qiáng)烈推薦,公開課)

1、余弦定理(一),千島湖,3.4km,6km,120,）,情景問題,?,千島湖,千島湖,情景問題,3.4km,6km,120,）,?,3.4km,6km,120,A,B,C,在ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，B=120o，求 AC,用正弦定理能否直接求出 AC？,）,因?yàn)槟撤N實(shí)際需要，需測(cè)量左圖中A、B兩點(diǎn)間的距離，如何測(cè)量？,實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量人員在如圖所示位置取點(diǎn)C，用皮尺測(cè)得AC=8米，BC=5米，ACB=,問：怎么樣算AB的長(zhǎng)度？,余弦定理,探 究： 在ABC中，已知CB=a,CA=b，CB與CA 的夾角為C， 求邊c.,設(shè),由向量減法的三角形法則得,C,B,A,c,a,b,

2、由向量減法的三角形法則得,探 究： 若ABC為任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 邊 c.,設(shè),C,B,A,c,a,b,余弦定理,由向量減法的三角形法則得,探 究： 若ABC為任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 邊 c.,設(shè),復(fù)習(xí)回顧：,1.正弦定理的內(nèi)容,在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。,2.用正弦定理解三角形需要已知哪些條件？,（1）已知三角形的兩角和一邊 （2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角。,若已知三角形的三邊，或者是兩邊及其夾角，能否用正弦定理來解三角形呢？,問：,新課講授：,新課講授：,同理有：,我們已經(jīng)學(xué)過向量,下面試著用向量的方法給予證明

3、,新課講授：,余弦定理,你能用文字說明嗎？,三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.,a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC,想一想： 余弦定理能夠解決什么問題？,a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC,方程思想：,四個(gè)量，知三求一,已知兩邊b,c和它們的夾角A 求另一邊a（直接用）；,2.已知三邊求角（變形）.,利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題： （1）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角； （2）已知三邊，求三

4、個(gè)角。,一、已知三角形的兩邊及夾角求解三角形,變式：,3,例2、在ABC中，已知a= ,b=2,c= , 解三角形(依次求解A、B、C).,解：由余弦定理得,二、已知三角函數(shù)的三邊解三角形,變式：,三.判斷三角形的形狀 由推論我們能判斷三角形的角的情況嗎?,推論：,提煉：設(shè)a是最長(zhǎng)的邊，則,ABC是鈍角三角形,ABC是銳角三角形,ABC是直角三角形,（1）若A為直角，則a=b+c （2）若A為銳角，則ab+c,由a2=b2+c22bccosA可得,例3、在ABC中，若 ， 則ABC的形狀為（ ）,、鈍角三角形 、直角三角形 、銳角三角形 、不能確定,那 呢?,例,結(jié)論：,一鈍角三角形的邊長(zhǎng)為連

5、續(xù)自然數(shù)，則這三邊長(zhǎng)為（ ）A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6,練習(xí)：,1、在ABC中,若a=4、b=5、c=6，判斷ABC的 形狀.,A,D,C,B,)300,)450,2、如圖所示，已知BD=3，DC=5，B=300， ADC=450，求AC的長(zhǎng)。,在ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km， B=120o，求 AC,解決實(shí)際問題,解：由余弦定理得,答：島嶼A與島嶼C的距離為8.24 km.,鞏固提高,鞏固提高,課堂小結(jié),1.余弦定理及變形,2.余弦定理可解決的問題,（1）已知三邊，求三個(gè)角 （2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊,3.余弦定理得出的推論,余弦

6、定理 （二）,練一練：會(huì)用才是硬道理,例1、在ABC中，已知a =1 , c = 2 ， B =150。，求b.,變式1、已知ABC的三邊為 、2、1，求它的最大內(nèi)角.,變式2、在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形狀,思考：已知三角形三邊長(zhǎng)為a,b,c,怎樣判斷ABC是銳角三角形,直角三角形還是鈍角三角形？,歸納：設(shè)a是最長(zhǎng)邊,則 ABC是直角三角形 a2=b2+c2 ABC是銳角三角形 a2 a2b2+c2,例2 在ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值.,分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個(gè)角是最大角.由大邊對(duì)大角，已知兩邊可求

7、出第三邊,找到最大角.,解：,則b是最大邊，那么B 是最大角.,例3 在ABC中，已知BC=a, AC=b, cosC= - 0.5, (1)求角C的度數(shù) （2）求AB的長(zhǎng),變式：ABC中，B=60，b2=ac,求角A,練：一鈍角三角形的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長(zhǎng) A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6,分析： 要看哪一組符合 要求，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)選項(xiàng) 中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于0。,B中： ， 所以C是鈍角.,D中： ，所以C是銳角. 因此以4，5，6為三邊長(zhǎng)的三角形是銳角三角形.,解：A、C顯然不滿足.,例3：在ABC中，已知 a=2 ,b= ，解三角形

8、。,例3：在ABC中，已知 a=2 ,b= ，解三角形。,例3：在ABC中，已知 a=2 ,b= ，解三角形。,思考,在解三角形的過程中，求某一個(gè)角有時(shí) 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？,在已知三邊和一個(gè)角的情況下：求另一個(gè)角,用余弦定理推論，解唯一,可以免去判斷舍取。,用正弦定理，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，但解不唯一，要進(jìn)行判斷舍取,1.在ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。,2.在ABC中，已知 , , B=45， 求b和A。,3.在ABC中，已知 , , A=45， 求邊長(zhǎng)c，角B，角C。,解: 過A作BC邊上的高AD,則 AD=4sin600,CD=4cos60

9、0, BD=34cos600, AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(34 cos600)2 =42+32234cos600 AB=,已知C=600,AC=4,BC=3,求AB.,猜想：AB=AC+BC2ACBCcosC 對(duì)任意三角形是否成立？,證明：在三角形ABC中，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c,a,b.,C點(diǎn)的坐標(biāo)為( ),x,y,B(c,0),C,b,c,如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,a,(0,0),例.已知b=8,c=3,A=600求a.,a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49,4.定理的應(yīng)用,解：,a=7,變式練習(xí)：

10、1.已知:a=7,b=8,c=3,求A. 2.已知:a=7,b=8,c=3,試判斷 此三角形的形狀.,例3：在ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41,解三角形（角度精確到1，邊長(zhǎng)精確到1cm）.,解：根據(jù)余弦定理，a=b+c2bccosA =60+3426034 cos411676.82 所以 a41(cm),由正弦定理得，,因?yàn)閏不是三角形中最大的邊，所以C是銳角，利用計(jì)算器得 C33 B=180（A+C）=180（4133）106,例4，在ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精確到1）。,解：由余弦定理的推論得：,A5620;,

11、B3253,C= 180（A+B） 180（ 5620 3253 ） 9047,等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a，腰長(zhǎng)為2a,求腰上的中線長(zhǎng)。,（2）若A,B,C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，則sinA+sinB_sinC.,A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a,（1）若三角形的三個(gè)角的比是1：2：3，最大的邊是20，則最小的邊是_.,二.三種證明方法的比較：,幾何法：通過作高，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三 角形求證（化一般為特殊）,解析法：通過建立直角坐標(biāo)系，把幾何問題用代數(shù)的方 法解決（幾何問題代數(shù)化） 向量法：通過向量的知識(shí)來證明。,回顧與小結(jié),一、余弦定理：,（1）余弦定理適用于任何三角形；,（3）由余弦