振動理論基礎課件

1、第十六章 振動理論基礎,16-1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,16-2 計算系統(tǒng)固有頻率的能量法,16-3 單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動,16-4 單自由度系統(tǒng)的受迫振動,16-5 隔振的概念,1,學習交流PPT,機械系統(tǒng)在其平衡位置附近所作的往復運動稱為振動。振動現(xiàn)象普遍存在于自然界和工程技術中，如地震。本章僅研究單自由度系統(tǒng)的微振動，討論振動的基本特征。,談談本專業(yè)內有關振動問題！？,？,2,學習交流PPT,系統(tǒng)偏離平衡位置后，僅在恢復力作用下維持的振動稱為自由振動。,16-1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,圖示為單自由度系統(tǒng)自由振動的簡化模型，它是從實際振動系統(tǒng)中抽象出的簡圖。設彈簧原長為lo ，

2、剛度為k ，物塊質量為m ，靜平衡時，彈簧變形為st（稱靜變形），有,3,學習交流PPT,以平衡位置為原點，建立圖示坐標。物塊在一般位置的受力如圖示，則其振動微分方程為,令 ，代入上式， 得單自由度系統(tǒng)自由振動微分方程的標準形式,4,學習交流PPT,其通解,頻率,周期,積分常數(shù)A 和分別為振幅和初位相。它們由運動的初始條件決定。,圓頻率（或固有圓頻率、固有頻率）,5,學習交流PPT,頻率和周期只與系統(tǒng)本身所固有的慣性和彈性有關，而與運動的初始條件無關，是描述振動系統(tǒng)基本性質的重要物理量。,6,學習交流PPT,質量m=0.5kg的物塊，沿光滑斜面無初速滑下，如圖所示。當物塊下落高度h=0.1m時

3、撞于無質量的彈簧上并不再分離。彈簧剛度k=0.8kN/m，傾角300，求系統(tǒng)振動的固有頻率和振幅，并寫出物塊的運動方程。,例16-1,7,學習交流PPT,解：物塊在平衡位置時，彈簧靜變形,以此位置為原點O，建立圖示坐標。物塊受力如圖，其運動微分方程為,化簡后得,系統(tǒng)的固有頻率,8,學習交流PPT,當物塊碰上彈簧時，取時間t=0，作為振動的起點。 則運動的初始條件： 初位移,初速度,得振幅及初位相,mm,物塊的運動方程,9,學習交流PPT,如圖所示。在無重彈性梁的中部放置質量為m的物塊，其靜撓度（靜變形）為2mm。若將物塊在梁未變形位置處無初速釋放，求系統(tǒng)的振動規(guī)律。,例16-2,10,學習交流

4、PPT,解：此無重彈性梁相當于彈簧，其剛性系數(shù),取重物平衡位置為坐標原點，x軸方向鉛直向下，運動微分方程為:,式中圓頻率,11,學習交流PPT,在初瞬時t0，物塊位于未變形的梁上，其坐標 x0st= 2mm，初速v0=0，則,初位相,振幅,系統(tǒng)的振動規(guī)律,mm,mm,12,學習交流PPT,等效彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧, 并聯(lián)彈簧,下圖表示剛度分別為k1和k2的兩個彈簧并聯(lián)的兩種形式，其分析方法相同。,由平衡方程得,式中,為并聯(lián)彈簧的等效彈簧剛度。,n個并聯(lián)彈簧的等效剛度,13,學習交流PPT, 串聯(lián)彈簧,圖示為串聯(lián)彈簧。 靜平衡時，變形分別為 和 。,彈簧總伸長,等效彈簧剛度,n個彈簧串聯(lián)，則有,1

5、4,學習交流PPT,圖為一擺振系統(tǒng)。桿重不計，球質量為m ，擺對軸O的轉動慣量為J，彈簧剛度為k，桿于水平位置平衡，尺寸如圖。求系統(tǒng)微小振動的運動微分方程及振動頻率。,例16-3,15,學習交流PPT,解：,擺處于平衡位置時，彈簧已壓縮,由平衡方程,有,以平衡位置為角坐標原點，擺繞軸O的轉動微分方程,得系統(tǒng)自由振動微分方程,固有頻率,可見，只要以平衡位置為坐標原點，系統(tǒng)的運動微分方程具有標準形式。,16,學習交流PPT,16-2 計算系統(tǒng)固有頻率的能量法,對于單自由度的保守系統(tǒng)，固有頻率可簡便地由機械能守恒定律求出，稱為能量法。,設圖示系統(tǒng)作簡諧振動，則有,若以平衡位置為勢能零點，則系統(tǒng)勢能,

6、17,學習交流PPT,系統(tǒng)動能,由機械能守恒，即T+V常數(shù)，則,系統(tǒng)固有頻率,表明；如取平衡位置為勢能零點，則可以彈簧在平衡位置的長度為原長計算彈性勢能，而不考慮重力勢能。只要寫出系統(tǒng)的動能和以平衡位置為零點的勢能，即可確定系統(tǒng)的固有頻率，而不必列寫系統(tǒng)的微分方程。,18,學習交流PPT,圖示為兩個相同的塔輪。齒輪半徑皆為R，半徑為r 的鼓輪上繞有細繩，輪上連一鉛直彈簧，輪上掛一重物。塔輪對軸的轉動慣量皆為J ，彈簧剛度為k ，重物質量為m 。求系統(tǒng)振動的固有頻率。,例16-4,19,學習交流PPT,解：以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取 x 為廣義坐標。,設系統(tǒng)振動的規(guī)律為,則,塔輪角速度,系

7、統(tǒng)動能,20,學習交流PPT,取平衡位置為勢能零點，系統(tǒng)的勢能為,由,得系統(tǒng)的固有頻率,21,學習交流PPT,在如圖示的振動系統(tǒng)中，擺桿AO對鉸鏈O的轉動慣量為J，在A水平位置處于平衡，求系統(tǒng)微振動的固有頻率。,例16-5,22,學習交流PPT,解：取擺角 為廣義坐標，設其變化規(guī)律為,系統(tǒng)動能,以平衡位置為勢能零點，系統(tǒng)勢能,由,得固有頻率,23,學習交流PPT,如圖所示，質量為m ，半徑為r 的圓柱體，在半徑為R 的圓弧槽上作無滑動的滾動。求圓柱體在平衡位置附近作微小振動的固有頻率。,例16-6,24,學習交流PPT,解：取擺角 為廣義坐標，設其微振動規(guī)律為,圓柱體中心O1的速度,由運動學知

8、，當圓柱體作純滾動時， 角速度,系統(tǒng)動能,25,學習交流PPT,整理后得,系統(tǒng)的勢能為重力勢能，取圓柱在最低處時的圓心位置C 為勢能零點，則系統(tǒng)勢能,圓柱體作微振動,26,學習交流PPT,由,得,27,學習交流PPT,16-3 單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動,由于阻力作用，自由振動的振幅將逐漸衰減，最后趨于靜止。產生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性質。以下僅討論阻力與速度成正比的粘性阻尼或稱線性阻尼。即,式中負號表明阻力與速度方向相反，阻尼系數(shù)c 取決于阻尼介質的性質和物體的形狀。,28,學習交流PPT,1、有阻尼自由振動微分方程的標準形式,圖（a）為一有阻尼的質量-彈簧系統(tǒng)。取平衡位置為

9、坐標原點，受力如圖（b）。,阻力,微分方程為,或,化簡得,代入上式得衰減振動微分方程的標準形式,令,29,學習交流PPT,2、微分方程的解,設 ，代入式中，得特征方程,方程的兩個根,通解,有三種可能情形：,30,學習交流PPT, 小阻尼情形,當 或 時，稱為小阻尼。,此時,令,則,得運動方程,如圖所示。由于振幅隨時間不斷衰減，故稱為衰減振動。,31,學習交流PPT,衰減振動的周期,令,稱為阻尼比。,周期Td較無阻尼自由振動的周期T 略有增加。阻尼對周期的影響很小，可忽略不計，取TdT。,則,32,學習交流PPT,阻尼對振幅的影響,為描述振幅 Ai 的衰減，引入減幅系數(shù)（或稱振幅縮減率）。由圖示

10、得,上式表明：衰減振動的振幅按幾何級數(shù)遞減。阻尼對自由振動的振幅影響較大。,例如：0.05時，Td1.00125T而經過10個周期后，振幅只及原振幅的4.3%。,33,學習交流PPT,初始幅值 A 和初位相取決于初始條件。,對上式兩邊取對數(shù)得對數(shù)縮減率,所以,設t0時， ， ，則有,34,學習交流PPT, 臨界阻尼情形,當 或 時，稱為臨界阻尼。,此時， 。微分方程的解為,不具有振動的特點，積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運動圖如圖所示。,35,學習交流PPT, 大阻尼情形,當 或 時，稱為大阻尼。,此時微分方程的解為,積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運動圖如圖所示。,36,學習交流PPT,圖

11、為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉剛度為k1，圓盤對桿軸的轉動慣量為J。如圓盤外緣受到與轉動速度成正比的切向阻力，其衰減扭振的周期為Td。求圓盤所受阻力偶的矩與轉動角速度的關系。,例16-7,37,學習交流PPT,解：盤外緣切向阻力與轉動速度成正比，則此阻力偶矩M 與角速度成正比，且轉向相反。,設 ，為阻力偶系數(shù)，則圓盤繞桿軸轉動的微分方程為,或,由此得衰減振動周期,38,學習交流PPT,則阻力偶系數(shù),得,39,學習交流PPT,16-4 單自由度系統(tǒng)的受迫振動,振動系統(tǒng)在外加持續(xù)激勵下的振動稱為受迫振動。下面僅討論簡諧激勵情形。圖示為三種類型的簡諧激勵，分別是：激勵力直接作用；彈簧端點運動引起的

12、激勵和偏心轉子引起的激勵。,40,學習交流PPT,1、激振力直接作用下的受迫振動, 振動微分方程,圖為受迫振動系統(tǒng)的簡化模型。 激振力,其中，H為最大激振力，為激振力的圓頻率。,以平衡位置為坐標原點，則 ：,令,整理化簡后，得單自由度系統(tǒng)受迫振動微分方程的標準形式,41,學習交流PPT, 微分方程的解,方程的通解由兩部分構成：對應的齊次方程的通解和該方程的一個特解。,上式右端第一項為衰減振動，經過短暫時間，即趨于衰減，稱瞬態(tài)響應。最后得到持續(xù)的等幅振動，稱穩(wěn)態(tài)響應，即系統(tǒng)的受迫振動,由式可知，受迫振動的頻率等于激振力的頻率。,將上式代入微分方程式，化簡后得到受迫振動的振幅和位相差,42,學習交

13、流PPT,式中,分別稱為頻率比、阻尼比和由最大激振力引起的彈簧的靜變形。,43,學習交流PPT,受迫振動的振幅與靜變形之比稱放大系數(shù)，即,當一定，與間的關系如圖所示，稱為幅頻特性曲線。由圖可知：, 幅頻特性,當1時，阻尼對振幅的影響很小，可忽略不計。共振區(qū) =0.751.25。在此區(qū)域內阻尼對振幅有顯著影響，1時，振幅急劇增加出現(xiàn)峰值的現(xiàn)象，稱為共振。對應曲線峰值的頻率，稱為系統(tǒng)的共振頻率。,44,學習交流PPT, 當 1時，阻尼對振幅影響可忽略不計。,小阻尼時，共振頻率近似等于固有頻率，共振振幅近似與阻尼比成反比，即,45,學習交流PPT,相頻特性曲線如圖所示。由圖可知，當有阻尼時，隨頻率比

14、/n連續(xù)變化。 當1時，0，受迫振動位移與激振力接近同位相。當 1時，受迫振動與激振力接近反位相。當1時， ，與阻尼大小無關，這是共振時的一個重要特征。, 相頻特性,工程上利用此特點，通過實驗測定系統(tǒng)固有頻率n。,46,學習交流PPT,2、彈簧端點作簡諧運動引起的受迫振動,振動系統(tǒng)的簡化模型如圖所示。設臺面光滑，端點A 的運動規(guī)律,則彈簧恢復力,微分方程,令,得,與激振力直接作用下的受迫振動形式相同。前述有關受迫振動的討論適用于此。,47,學習交流PPT,3、偏心轉子引起的受迫振動,電機安裝在基礎上，如圖所示，彈性地基簡化為剛度為k的彈簧。 設基礎質量為m1，電機定子質量為m2，轉子質量為m

15、，偏心距e 。轉子以勻角速度轉動。由于偏心，系統(tǒng)將沿鉛垂方向作受迫振動。,建立圖示坐標軸Ox 。系統(tǒng)在平衡位置時，有,轉子質心的加速度,48,學習交流PPT,由質心運動定理，得,得,令,得微分方程的標準形式,與激振力直接作用下的受迫振動微分形式相同。,49,學習交流PPT,令,則,代入,注意到激振力幅值與其頻率有關，得系統(tǒng)受迫振動的振幅,放大系數(shù),50,學習交流PPT,幅頻特性曲線如圖所示,當0時，b 0 ， 0 ；當1時， 又逐漸減少，當很大時，1；當=1時發(fā)生共振，此時轉子的轉速稱為臨界轉速。,51,學習交流PPT,圖示為一測振儀的簡圖，其中物塊質量為m ，彈簧剛度為k 。測振儀放在振動物

16、體表面，并隨物體而運動。設物體的振動規(guī)律為 求測振儀中物塊的運動微分方程及其受迫振動規(guī)律。,例16-8,52,學習交流PPT,解：測振儀隨物體振動，則其彈簧懸掛點的運動規(guī)律為,取 t=0 時物塊的平衡位置為坐標原點，取x 軸如圖。在任一瞬時t ，彈簧的變形為,物塊的運動微分方程,注意到 ， ，上式整理后，得,53,學習交流PPT,受迫振動規(guī)律為,此時激振力的力幅為H=ke，由式得,由于測振儀殼體也在運動，其振幅為e ，因而圖中記錄紙上畫出的振幅為物塊相對于測振儀的振幅 。由式可知，當 時， ，有 ，物塊幾乎不動，記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅。,54,學習交流PPT,例16-9,圖

17、為一無重剛桿。一端鉸支，距鉸支端 l 處有一質量為m 的質點，距 2l 處有一阻尼器，其阻尼系數(shù)為c，A 端有一剛度為k 的彈簧，并作用一簡諧激振力 。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率n，以及當激振力頻率 等于n 時質點的振幅。,55,學習交流PPT,解：取擺角為廣義坐標，系統(tǒng)平衡位置為坐標原點。,整理后得,令,當 時，得振幅（最大擺角）,質點的振幅,受力如圖示。由剛體轉動微分方程得,56,學習交流PPT,電動機安裝在基礎上，基礎下面是彈性基地，如圖所示。已知地基的彈性系數(shù)為k，基礎質量為m1，電動機定子質量為m2，轉子質量為m，轉子有偏心距e，轉子以勻角速度轉

18、動。求：（1）基礎的強迫振動的振幅；（2）基礎對電動機的鉛直動約束力。,例16-10,57,學習交流PPT,1. 將電動機和基礎看成一質點系分析它的運動和受力情況,彈性力,(a),(b),(c),解:,應用,得,因為平衡時,則有,58,學習交流PPT,（2）,(d),根據(jù)振動理論，系統(tǒng)的固有頻率為,強迫振動的規(guī)律為,其振幅為,(e),(f),(g),或,59,學習交流PPT,2. 求地基對電動機的鉛直動約束力。,由此求出動約束力,(h),將式(f)對t微分兩次，并將式(g)代入后，有,(f),(g),e,y,C,O,mg,m2g,FN,取電動機為研究對象，由質心運動定理得,60,學習交流PPT

19、,16-5 隔振的概念,減輕振動的危害，在工程上是一個重要的研究課題。 通常有以下的減振措施：, 抑制振源強度例如，對高速轉子進行靜平衡和動平衡試驗，以消除不平衡的慣性力；為減小車輛振動提高路面或軌道的質量；減小高層建筑的迎風面積以降低風載等。 消振采用多種形式的消振器，如動力消振器，阻尼消振器等。 隔振將振源與減振體隔開，隔斷振動的傳播，降低振源的影響。,本節(jié)只討論隔振的理論基礎。按照研究對象的不同，分為主動隔振和被動隔振。其隔振效果均以隔振系數(shù)表示。,61,學習交流PPT,主動隔振,主動隔振是將振源與支承它的基礎隔開。研究的對象是振源本身。如電機、水泵、鑄壓機械等。為減小機器的振動對周圍環(huán)境的影響，墊上橡膠、枕木等彈性支承，以降低振動傳到基礎上的強度。,圖為主動隔振的簡化模型，激振力,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動規(guī)律,振幅,62,學習交流PPT,物塊振動時，通過彈簧和阻尼器傳到地基上的力分別為,它們以相同的頻率作簡諧變化，但相位差。用旋轉矢量表示如圖所示。 隔振之后傳給地基的力的最大值,和,主動隔振系數(shù)（力的傳遞率）,63,學習交流PPT,圖是在不同阻尼情況下的曲線