第二章參數(shù)估計.ppt

1、第二章 參數(shù)估計,1、 參數(shù)估計的一般問題 2、 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計 3、 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計 4、 樣本容量的確定,統(tǒng)計推斷的過程,第一節(jié) 參數(shù)估計的一般問題,1、估計量與估計值 2、點估計與區(qū)間估計 3、評價估計量的標準,估計量與估計值,估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量 如樣本均值，樣本比例、樣本方差等 例如: 樣本均值就是總體均值 的一個估計量 參數(shù)用 表示，估計量用 表示 估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值 如果樣本均值 x =80，則80就是的估計值,估計量與估計值 (estimator & estimated value),點估計與區(qū)間估計,參數(shù)估計的方法,點估計

2、 (point estimate),用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值 例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計 無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息 雖然在重復(fù)抽樣條件下，點估計的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機的，抽出一個具體的樣本得到的估計值很可能不同于總體真值 一個點估計量的可靠性是由它的抽樣標準誤差來衡量的，這表明一個具體的點估計值無法給出估計的可靠性的度量,評價估計量的標準,無偏性(unbiasedness),無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被 估計的總體參數(shù),有效性(efficiency),有效性：對同一總體參數(shù)

3、的兩個無偏點估計 量，有更小標準差的估計量更有效,一致性(consistency),一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的 值越來越接近被估計的總體參數(shù),區(qū)間估計 (interval estimate),在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到 根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量 比如，某班級平均分數(shù)在7585之間，置信水平是95%,區(qū)間估計的圖示,將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例 常用的置信水平值有 99%,

4、 95%, 90% 相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.10,置信水平(confidence level),由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間 統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個 總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯誤的,置信區(qū)間 (confidence interval),置信區(qū)間 (95%的置信區(qū)間),重復(fù)構(gòu)造出的20個

5、置信區(qū)間,點估計值,置信區(qū)間與置信水平,影響區(qū)間寬度的因素,總體數(shù)據(jù)的離散程度，用 來測度 樣本容量n， 置信水平 (1 - )，影響 z 的大小,第二節(jié) 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計,1、總體均值的區(qū)間估計 2、總體比例的區(qū)間估計 3、總體方差的區(qū)間估計,一個總體參數(shù)的區(qū)間估計,總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、已知，或非正態(tài)總體、大樣本),總體均值的區(qū)間估計(大樣本),1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30) 2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z,總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,數(shù)據(jù)正態(tài)性的評估方法,數(shù)據(jù)正態(tài)性的評估方法,對數(shù)據(jù)畫出頻數(shù)

6、分布的直方圖或莖葉圖 若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則圖形的形狀與上面給出的正態(tài)曲線應(yīng)該相似 求出樣本數(shù)據(jù)的四分位差Qd和標準差s，然后計算比值Qd/s 。若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則有 Qd/s1.3 繪制正態(tài)概率圖,正態(tài)概率圖的繪制(normal probability plots), 正態(tài)概率圖可以在概率紙上繪制，也可以在普通紙上繪制。在普通紙上繪制正態(tài)概率圖的步驟 第1步：將樣本觀察值從小到大排列 第2步：求出樣本觀察值的標準正態(tài)分數(shù)zi 。標準正態(tài)分數(shù)滿足 第3步：將zi作為縱軸，xi作為橫軸，繪制圖形，即為 標準正態(tài)概率圖,正態(tài)概率圖的繪制 (例題分析),【例】一家電腦公 司連續(xù)10天的銷

7、售 額(單位：萬元)分 別為176，191， 214,，220，205， 192，201，190， 183，185。繪制正 態(tài)概率圖，判斷該 組數(shù)據(jù)是否服從正 態(tài)分布,正態(tài)概率圖的繪制 (例題分析),電腦公司銷售額的正態(tài)概率圖,正態(tài)概率圖的判斷,短尾分布：如果尾部比正常的短，則點所形成的圖形左邊朝直線上方彎曲，右邊朝直線下方彎曲如果傾斜向右看，圖形呈S型。表明數(shù)據(jù)比標準正態(tài)分布時候更加集中靠近均值。 長尾分布：如果尾部比正常的長，則點所形成的圖形左邊朝直線下方彎曲，右邊朝直線上方彎曲如果傾斜向右看，圖形呈倒S型。表明數(shù)據(jù)比標準正態(tài)分布時候有更多偏離的數(shù)據(jù)。一個雙峰分布也可能是這個形狀。,右偏態(tài)

8、分布：右偏態(tài)分布左邊尾部短，右邊尾部長。因此，點所形成的圖形與直線相比向上彎曲，或者說呈U型。把正態(tài)分布左邊截去，也會是這種形狀。 左偏態(tài)分布：左偏態(tài)分布左邊尾部長，右邊尾部短。因此，點所形成的圖形與直線相比向下彎曲。把正態(tài)分布右邊截去，也會是這種形狀。,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),【 例 】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對產(chǎn)量質(zhì)量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量（單位：g）如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標準差為10g。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%,總體

9、均值的區(qū)間估計(例題分析正態(tài)性評估),食品重量的正態(tài)概率圖,解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 。 由于是正態(tài)總體，且方差已知?？傮w均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g109.28g,統(tǒng)計函數(shù)CONFIDENCE,【例】一家保險公司收集到由36投保個人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間,解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.

10、37歲41.63歲,總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、未知、小樣本),總體均值的區(qū)間估計 (小樣本),1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,但方差() 未知 小樣本 (n 30) 2. 使用 t 分布統(tǒng)計量,總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,t 分布, t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布,t 分布(用Excel生成t分布的臨界值表),將分布自由度df的值輸入到工作表的A列 將右尾概率的取值輸入到第1行 在B2單元格輸入公式“=TINV(B$1*$A2)”，然后將其向下、向右復(fù)制即可得,

11、t 分布(用Excel繪制t分布圖),第1步：在工作表的第1列A2：A62輸入一個等差數(shù)列，初始 值為“-3”，步長為“0.1”，終值為“3” 第2步：在單元格C1輸入t分布的自由度(如“20”) 第3步：在單元格B2輸入公式“=TDIST(-A2,$C$1,1)”，并將其 復(fù)制到B3：B32區(qū)域，在B33輸入公式 “=TDIST(A33,$C$1,1)”并將其復(fù)制到B34：B62區(qū)域 第4步：在單元格C3輸入公“=(B3-B2)*10”，并將其復(fù)制到C4 ：C31區(qū)域，在單元格C32輸入公式“=(B32-B33)*10” 并將其復(fù)制到C33：C61區(qū)域 第5步：將A2：A62作為橫坐標，C2

12、：C62作為縱坐標，根據(jù) “圖表向?qū)А崩L制折線圖,t 分布(用Excel繪制t分布圖),總體均值的區(qū)間估計(例題分析),【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間,總體均值的區(qū)間估計(例題分析正態(tài)性評估),燈泡壽命的正態(tài)概率圖,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h1503.2h,總體比例的區(qū)間估計,總體比例的區(qū)間估計,1.假

13、定條件 總體服從二項分布 可以由正態(tài)分布來近似 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z,3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為,總體比例的區(qū)間估計(例題分析),【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間,解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z/2=1.96,該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35%,總體方差的區(qū)間估計,總體方差的區(qū)間估計,1.估計一個總體的方差或標準差 2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布 3. 總體方差 2 的點估計量為s2,且,4. 總體方差在1-

14、 置信水平下的置信區(qū)間為,總體方差的區(qū)間估計(圖示),總體方差的區(qū)間估計(例題分析),【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間,總體方差的區(qū)間估計(例題分析),解:已知n25，1-95% ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 s2 =93.21 2置信度為95%的置信區(qū)間為,該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標準差的的置信區(qū) 間為7.54g13.43g,一個總體參數(shù)的區(qū)間估計(小結(jié)),未來觀察值的預(yù)測區(qū)間估計,未來觀察值的預(yù)測區(qū)間估計,預(yù)測隨機變量未來的觀察值，并希望求出各

15、某個未來觀察值的取值范圍，這個范圍就是對某個未來觀察值的預(yù)測區(qū)間估計 預(yù)測誤差的期望為， ，預(yù)測誤差的方差為 未來觀察值經(jīng)標準化后服從標準正態(tài)分布，當用樣本方差s2代替總體方差2后，則服從t分布 新觀察值95%的預(yù)測區(qū)間為,第三節(jié) 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,1、 兩個總體均值之差的區(qū)間估計 2、 兩個總體比例之差的區(qū)間估計 3、 兩個總體方差比的區(qū)間估計,兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立大樣本),兩個總體均值之差的估計(大樣本),1.假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布，1 ， 2已知 若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230) 兩個樣本是獨立的隨機樣本 2

16、. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z,兩個總體均值之差的估計 (大樣本),1.1， 2已知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,1 ， 2未知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計(例題分析),【例】某地區(qū)教育管理部門想估計兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分數(shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨立抽取兩個隨機樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表所示。建立兩所中學(xué)高考英語平均分數(shù)之差95%的置信區(qū)間,English,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩所中學(xué)高考英語平均分數(shù)之差的置信區(qū)間為 5.03分10.97分,兩個總體

17、均值之差的區(qū)間估計(獨立小樣本),兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12= 22 ),1.假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布 兩個總體方差未知但相等：1=2 兩個獨立的小樣本(n130和n230) 2. 總體方差的合并估計量,估計量x1-x2的抽樣標準差,兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12=22 ),兩個樣本均值之差的標準化,兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,例題分析,【例】為估計兩種方法組裝產(chǎn)品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人，每個工人組裝一件產(chǎn)品所需的時間(單位：min) 如下表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95

18、%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間,兩個總體均值之差的估計(例題分析正態(tài)性評估),兩種方法組裝時間的正態(tài)概率圖,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 合并估計量為,兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為 0.14min7.26min,兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12 22 ),1.假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布 兩個總體方差未知且不相等：12 兩個獨立的小樣本(n130和n230) 2. 使用統(tǒng)計量,兩個總體均值之差的估計(小樣本: 1222 ),兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,自由度,例題分析,【例】沿用前例

19、。假定第一種方法隨機安排12名工人，第二種方法隨機安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 自由度為,兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為 0.192min9.058min,兩個總體均值之差的區(qū)間估計(匹配樣本),兩個總體均值之差的估計(匹配大樣本),假定條件 兩個匹配的大樣本(n1 30和n2 30) 兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布 兩個總體均值之差d =1-2在1- 置信水平下的

20、置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計(匹配小樣本),假定條件 兩個匹配的小樣本(n1 30和n2 30) 兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布 兩個總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計(例題分析),【例】由10名學(xué)生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進行測試，結(jié)果如右表 。試建立兩種試卷分數(shù)之差d=1-2 95%的置信區(qū)間,STATISTICS,兩個總體均值之差的估計(例題分析正態(tài)性評估),兩套試卷分數(shù)之差的正態(tài)概率圖,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得,兩種試卷所產(chǎn)生的分數(shù)之差的置信區(qū)間為6.33分 15.67分,兩

21、個總體比例之差區(qū)間的估計,1.假定條件 兩個總體服從二項分布 可以用正態(tài)分布來近似 兩個樣本是獨立的 2.兩個總體比例之差1- 2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體比例之差的區(qū)間估計,例題分析,【例】在某個電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以90%的置信水平估計城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間,兩個總體比例之差的估計 (例題分析),解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1- =95%， z/2=1.96 1- 2置信度為95%的置信區(qū)間為,城市與農(nóng)村收視率差值的

22、置信區(qū)間為6.68%19.32%,兩個總體方差比的區(qū)間估計,兩個總體方差比的區(qū)間估計,1.比較兩個總體的方差比 用兩個樣本的方差比來判斷 如果S12/ S22接近于1,說明兩個總體方差很接近 如果S12/ S22遠離1,說明兩個總體方差之間存在差異 總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體方差比的區(qū)間估計(圖示),兩個總體方差比的區(qū)間估計(例題分析),【例】為了研究男女學(xué)生在生活費支出(單位：元)上的差異，在某大學(xué)各隨機抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果 男學(xué)生： 女學(xué)生： 試以90%置信水平估計男女學(xué)生生活費支出方差比的置信區(qū)間,兩個總體方差比的區(qū)間估計 (例題分析),解

23、:根據(jù)自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505 12 /22置信度為90%的置信區(qū)間為,男女學(xué)生生活費支出方差比的置信區(qū)間為0.471.84,兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計(小結(jié)),第四節(jié) 樣本容量的確定,1、 估計總體均值時樣本容量的確定 2、 估計總體比例時樣本容量的確定 3、 估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定 4、 估計兩個總體比例之差時樣本容量的確定,估計總體均值時樣本容量的確定,估計總體均值時樣本容量n為 樣本容量n與總體方差 2、邊際誤差E、可靠性系數(shù)Z或t之間的關(guān)系為 與總體方差成正比 與邊際

24、誤差的平方成反比 與可靠性系數(shù)成正比 樣本容量的圓整法則：當計算出的樣本容量不是整數(shù)時，將小數(shù)點后面的數(shù)值一律進位成整數(shù)，如24.68取25，24.32也取25等等,估計總體均值時樣本容量的確定,其中：,例題分析,【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標準差大約為2000元，假定想要估計年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？,例題分析,解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， z/2=1.96 應(yīng)抽取的樣本容量為,即應(yīng)抽取97人作為樣本,估計總體比例時樣本容量的確定,根據(jù)比例區(qū)間估計公式可得樣本容量n為,估計總體比例時樣本容量的確定,E的取值一般