第八章(非線性控制系統(tǒng))B.ppt

1、1,第八章 非線性控制系統(tǒng),第一節(jié) 非線性系統(tǒng)的概述 第二節(jié) 非線性元件的描述函數(shù) 第三節(jié) 用描述函數(shù)分析非線性控制系統(tǒng) 第四節(jié) 相軌跡 第五節(jié) 奇點(diǎn)與極限環(huán) 第六節(jié) 非線性系統(tǒng)的相平面分析,2,第一節(jié) 非線性系統(tǒng)的概述,一、典型的非線性特性,（1）飽和特性,系統(tǒng)若有飽和非線性元件，它的開(kāi)環(huán)增益會(huì)大幅度地減小，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的過(guò)濾過(guò)程時(shí)間增加和穩(wěn)態(tài)誤差變大。,（2） 回環(huán)特性,圖8-1,圖8-2,圖(a)為齒輪傳動(dòng)中間隙，圖(b)為齒輪傳動(dòng)的輸入、輸出特性。,3,它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為,1）回環(huán)非線性特性是多值的，對(duì)于一個(gè)給定的輸入，究竟取那一個(gè)值作為輸出，應(yīng)視該輸入的“歷史”決定。 2）系統(tǒng)中若有回

2、環(huán)非線性元件存在，通常會(huì)使系統(tǒng)的輸出在相位上產(chǎn)生滯后，從而導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定量的減小、動(dòng)態(tài)性能的惡化，甚至使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。,（3）死區(qū)特性,圖8-3,4,1）使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大。 2）死區(qū)能濾去從輸入端引入的小幅值干擾信號(hào)，提高系統(tǒng)抗擾動(dòng)的能力。 3）使系統(tǒng)的輸出在時(shí)間上滯后。,死區(qū)非線性特性對(duì)系統(tǒng)的主要影響,（4）繼電器特性,圖8-4,繼電器非線性特性一般會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩，甚至系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且使穩(wěn)態(tài)誤差增大 。,5,二、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn),1）非線性系統(tǒng)的輸出與輸入間不存在著比例關(guān)系,且不適用疊加原理。 2）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),而且也與初始條件和輸入信號(hào)的大小有關(guān)

3、。,下面舉例說(shuō)明初始偏差對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響,設(shè)非線性系統(tǒng)的微分方程為,當(dāng)初始偏差 x00,方程具有負(fù)實(shí)根,相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的 當(dāng)x01時(shí),1-x00,方程具有一個(gè)正的實(shí)根,系統(tǒng)為不穩(wěn)定,圖8-5,非線性系統(tǒng)常會(huì)產(chǎn)生自持振蕩,1）描述函數(shù)法-用于研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩問(wèn)題。 2）相平面法-只適用于一階和二階系統(tǒng)。 3）李雅普諾夫第二法。,研究非線性系統(tǒng)的方法:,6,一、描述函數(shù),圖8-6 非線性控制系統(tǒng),圖中G(s)為線性環(huán)節(jié),N為非線性元件.若在N的輸入端施加 一幅值為X頻率為的正弦信號(hào),即 e=Xsint，則其輸出為：,第二節(jié) 非線性元件的描述函數(shù),假設(shè): 1）非線性元件的特性對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)是

4、奇對(duì)稱(chēng)的,即A0=0 2）r(t)=0 3）G(s)具有良好的低通濾波器特性，能把y中各項(xiàng)高次諧波濾掉，只剩一次諧波項(xiàng)。,7,則,其中,經(jīng)過(guò)線性化處理后，非線性元件的輸出是一個(gè)與其輸入信號(hào)同頻率的正弦函數(shù)，僅在幅值和相位上與輸入信號(hào)有差異。,非線性特性線性化的條件：,1）假設(shè)系統(tǒng)的輸入r(t)=0 2）非線性元件的靜特性不是時(shí)間t的函數(shù) 3）非線性元件的特性是奇對(duì)稱(chēng)的，即有,8,4）系統(tǒng)的線性部分具有良好低通濾波器的性能 ，經(jīng)過(guò)線性化后，非線性元件的輸出與輸入的關(guān)系為 ：,N(X):非線性特性的描述函數(shù),圖8-7 用描述函數(shù)表示非線性特性的系統(tǒng),二、非線性元件描述函數(shù)的舉例,（1）飽和非線性,

5、由圖8-8可知，輸出y(t)是一個(gè)周期性的奇函數(shù)，因而它的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中沒(méi)有直流項(xiàng)，也沒(méi)有余弦項(xiàng)。即 A0=0，B1=0，1=0,9,圖8-9 飽和非線性的描述函數(shù),圖 8-8,10,（2）理想繼電器型非線性,圖 8-10,由圖8-10可知,圖8-11 理想繼電器型,11,（3）死區(qū)非線性,圖8-12死區(qū)非線性和非線性特性曲線,12,圖8-13 死區(qū)非線性的描述函數(shù),如果在系統(tǒng)中有兩個(gè)非線性元件相串聯(lián)，處理的方法為圖8-14(b)所示：,圖8-14 二個(gè)非線性元件相串聯(lián)的系統(tǒng),13,在分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，常用描述函數(shù)的負(fù)倒特性曲線，或者稱(chēng)為負(fù)倒描述函數(shù)。飽和特性的負(fù)倒特性為 可見(jiàn)，當(dāng)X為

6、定值時(shí)， 為一負(fù)實(shí)數(shù)。在復(fù)平面內(nèi)繪 出飽和特性的負(fù)倒特性曲線如圖8-15所示，圖中箭頭表 示X增大時(shí)，負(fù)倒特性曲線的變化方向。,三、描述函數(shù)的負(fù)倒特性曲線,14,下面進(jìn)一步討論繼電特性的幾種特殊情況 （1）理想繼電器特性(m=0) 理想繼電特性的描述函數(shù)： 它是一個(gè)實(shí)函數(shù)，其負(fù)倒特性為 負(fù)倒特性曲線如圖8-16所示,15,（2）具有死區(qū)的單值繼電器特性（m=1） 它也是一個(gè)實(shí)函數(shù)，其負(fù)倒特性為 負(fù)倒特性曲線如圖8-17所示,16,（3）具有滯環(huán)的繼電器特性（m=-1） 它是一個(gè)復(fù)函數(shù)，其負(fù)倒特性為 可見(jiàn)，負(fù)倒特性的虛部是一負(fù)常數(shù)，實(shí)部是隨A變化的負(fù)實(shí)數(shù)。負(fù)倒特性曲線如圖8-18（b）所示,17

7、,第三節(jié) 用描述函數(shù)分析非線性控制系統(tǒng),圖8-19 非線性控制系統(tǒng),若把圖中N(X)與G(j)間的通路斷開(kāi)，并在G(j)的輸入端加一正弦信號(hào)y1=Y1sint，則N(X)的輸出為：,y,x,18,此時(shí)若把N(X)與,系統(tǒng)的振蕩也能持續(xù)下去.式中：,間的斷開(kāi)點(diǎn)接通,即使撤消外施信號(hào),稱(chēng)負(fù)特性。,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù):如果,軌線沒(méi)有被,G(j)曲線包圍,曲線包圍,則非線性系統(tǒng)為不穩(wěn)定。,如果,如果,軌跡與,G(j)曲線相交,則系統(tǒng)的輸出有可能產(chǎn)生,自持振蕩,圖C)中的B點(diǎn)能產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩而交點(diǎn)A處產(chǎn)生 不穩(wěn)定的自持振蕩。,圖8-20非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別,則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。,19,假設(shè)系統(tǒng)處于自持

8、振蕩狀態(tài)，即系統(tǒng)的輸出是近似的正弦波。如果在干擾作用下，自持振蕩的幅值和頻率保持不變，則稱(chēng)為穩(wěn)定的自持振蕩。如果在干擾作用下，系統(tǒng)的輸出發(fā)散或收斂，或者自持振蕩的幅值和頻率改變，則稱(chēng)為不穩(wěn)定的自持振蕩。 注意，自持振蕩的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是完全不同的概念。 自持振蕩穩(wěn)定性可以從振蕩幅值增加時(shí)，負(fù)倒特性軌跡的移動(dòng)方向判別。當(dāng)負(fù)倒特性軌跡從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)時(shí)，交點(diǎn)處的自持振蕩是穩(wěn)定的自持振蕩。反之，當(dāng)負(fù)倒特性軌跡從穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)時(shí)，交點(diǎn)處的自持振蕩是不穩(wěn)定的自持振蕩 。,自持振蕩穩(wěn)定性判別方法,20,自持振蕩振幅和頻率的確定 自持振蕩可以用正弦振蕩近似表示，其幅值和頻率分別為交點(diǎn)處負(fù)倒特

9、性軌跡上的X值，和 軌跡上對(duì)應(yīng)的值。即:,或:,21,例8-1 非線性系統(tǒng)為圖8-21所示,其中放大器線性部分的增益為K.試確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的K值,并計(jì)算K=3時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩的幅值和頻率。,圖8-21 具有飽和放大器的非線性系統(tǒng),解: 令放大器的增益為1,把K放到系統(tǒng)的線性部分。,22,23,例8-2 圖8-22所示控制系統(tǒng)，其非線性元件為理 想繼電器特性，確定系統(tǒng)自持振蕩的振幅和頻率。,24,解:,繪出 和 曲線如圖(a)所示,與實(shí)軸的交點(diǎn)：,由于相交點(diǎn)B處描述函數(shù)負(fù)倒特性曲線當(dāng)X增大時(shí)是從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū),所以交點(diǎn)B處的自持振蕩是穩(wěn)定的自持振蕩。,圖(a),25,由: 得 :,2

10、6,第四節(jié) 相軌跡,設(shè)二階系統(tǒng)微分方程式的一般形式為,一、相軌跡的基本概念,設(shè)彈簧,質(zhì)量,阻尼器系統(tǒng)的齊次方程為,寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)化形式,27,1）用解析法求出x1和x2與t的關(guān)系(見(jiàn)圖8-23a) 2）以t為參變量,求出x2=f(x1)的關(guān)系，并把它畫(huà)在x1-x2平面上，(見(jiàn)圖8-23b）,圖8-23二階線性系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)和相軌跡,求解方法：,28,對(duì)于非線性微分方程,一般難于得到x1和x2的解析解,而用下述的圖解法可以求得系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的相關(guān)信息。,相軌跡的性質(zhì)：,1）相軌跡上每一點(diǎn)都有其確定的斜率,29,2）相軌跡的奇點(diǎn),3）相軌跡正交于x1軸 4）相軌跡運(yùn)動(dòng)方向的確定,在相平面的上半平面上，由于

11、x20，表示相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向 是x1的增大方向，即向右運(yùn)動(dòng)。 在相平面上，由于x2 0 ，相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是x1的減小方向， 即向左運(yùn)動(dòng)。,30,二、相軌跡的繪制,繪制,繪制相軌跡的方法有解析法和圖解法兩種。解析法只適用于系統(tǒng)微分方程較簡(jiǎn)單的場(chǎng)合；圖解法適用于非線性系統(tǒng)。,（1）用解析法求相軌跡,例8-3 設(shè)二階系統(tǒng)的微分方程為：,圖8-24 例8-3的相軌跡,31,（2）用圖解法求相軌跡,1）等傾線法,上式表示相軌跡上斜率為常值的各點(diǎn)連線，此連線中 等傾線。,32,解：,例8-4 試用等傾線法繪制二階系統(tǒng),33,圖8-25 例8-4的相軌跡,34,在繪制相軌跡時(shí)，只要從初始點(diǎn)出發(fā)，沿著方向場(chǎng)

12、依次連接各等傾線上的短線段，就得到在確定初始條件下系統(tǒng)完整的相軌跡。由圖可見(jiàn)，由任何初始條件下出發(fā)的相軌跡是一卷向坐標(biāo)原點(diǎn)的螺旋線，這表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,35,2）法,設(shè)系統(tǒng)的微分方程為：,36,圖8-26 用法作相軌跡,37,例8-5 已知非線性系統(tǒng)的微分方程為:,解: 將微分方程改寫(xiě)為:,圖8-27 用法繪制相軌跡,38,三、用相軌跡求系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),圖8-29 x(t)與t的關(guān)系曲線,圖8-28 x-x平面上的相軌跡,39,第五節(jié) 奇點(diǎn)與極限環(huán),為了研究系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的行為，或者說(shuō)了解系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的相軌跡特征，需要先把系統(tǒng)的微分方程在奇點(diǎn)處作線性化處理。,一、方程式的線性化和坐標(biāo)系的變

13、換,設(shè)系統(tǒng)的微分方程式,40,41,二、奇點(diǎn)的分類(lèi),圖8-30,1) 節(jié)點(diǎn),42,如果系統(tǒng)的兩個(gè)特征根為相異的負(fù)實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。此時(shí),43,圖8-31 不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn),如果系統(tǒng)的兩個(gè)特征根為相等的正實(shí)數(shù)， 則對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。其相軌跡見(jiàn)圖8-31。,44,2) 鞍點(diǎn),圖8-31,45,對(duì)應(yīng)的相軌跡方程為:,46,47,3) 焦點(diǎn),如果系統(tǒng)的特征根是一對(duì)位于S左半平面的共軛復(fù)根，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)穩(wěn)定焦點(diǎn)；反之，為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。,48,圖8-32,49,50,4) 中心點(diǎn),如果系統(tǒng)的特征根為一對(duì)共軛虛根，即1,2=j對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為中心點(diǎn)。,51,圖8-33,52,三、極限環(huán),非線性系統(tǒng)的運(yùn)

14、動(dòng)除了具有線性系統(tǒng)的發(fā)散和收斂?jī)煞N模式外，還有一種運(yùn)動(dòng)模式自持振蕩，自持振蕩在相平面上表觀為一個(gè)孤立的封閉軌跡線極限環(huán)。,下面以范德波爾（van der pol）方程為例說(shuō)明極限環(huán)的穩(wěn)定性。已知方程,圖8-34,53,54,第六節(jié) 非線性系統(tǒng)的相平面分析,1) 當(dāng)系統(tǒng)的非線性方程可解析的，可根據(jù)其線性化方程式根的性質(zhì)去確定奇點(diǎn)的類(lèi)型，然后用圖解法或解析法畫(huà)出奇點(diǎn)附近的相軌跡。,例8-6 求下列方程所描述系統(tǒng)的相軌跡圖， 并分析系統(tǒng)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性。,2) 當(dāng)系統(tǒng)的非線性方程非解析的，則通過(guò)將非線性元件的特征 作分段線性化處理，即把相平面分成若干個(gè)區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域 有一個(gè)相應(yīng)的微分方程和奇點(diǎn)。只要把

15、各個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡 依次連接起來(lái)，就可得到系統(tǒng)完整的相軌跡圖。,解: 奇點(diǎn)為（0，0）和（-2，0）,55,在原點(diǎn)附近，線性化后的方程為,在奇點(diǎn)（-2，0）附近，對(duì)方程作如下改寫(xiě),圖8-35 例8-6的相軌跡,56,如果狀態(tài)的初始點(diǎn)位于圖中的陰影區(qū)域內(nèi)， 則相軌跡均收斂于坐標(biāo)原點(diǎn)，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 反之，初始狀態(tài)若位于陰影區(qū)域外，相軌跡均趨向于 無(wú)窮遠(yuǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始狀態(tài)有關(guān)。,57,例8-7 一非線性系統(tǒng)如圖8-36所示，試求在階躍輸入r(t)=R01(t)和斜坡輸入r(t)=vt(v0)時(shí)的相軌跡。,圖8-36,解：由圖得,圖8-37 相平面的區(qū)域劃分,58,59,階躍輸入,60,圖8-38,61,斜坡輸入,62,圖8-39,63,結(jié)論：,64,例8-8 已知輸入為階躍信號(hào)，試求該系統(tǒng)的相軌跡。,圖8-40 非線性控制系統(tǒng),解由圖得:,65,66,結(jié)論：,系統(tǒng)穩(wěn)定。 線段OG表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，