01-第1講集合與映射

1、主講: 胡春華 Email: 北京師范大學(xué)珠海分校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,大 學(xué) 數(shù) 學(xué)- 一元微積分學(xué),第一章 集合與函數(shù),本章學(xué)習(xí)要求： 正確理解函數(shù)概念，能熟練求出函數(shù)的定義域。 掌握函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和圖形特征。 正確理解初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)概念，能正確將復(fù) 合函數(shù)進(jìn)行分解。 會(huì)求函數(shù)（包括分段函數(shù)）的反函數(shù)。 了解“取整函數(shù)”和“符號(hào)函數(shù)”。 能對(duì)常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，建立函數(shù)關(guān)系。,第一節(jié) 集合與映射,一、集合的基本概念 二、集合的基本運(yùn)算 三、映射的基本概念 四、實(shí)數(shù)、區(qū)間、鄰域,一、集合的基本概念,集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。集合論的創(chuàng)始人是丹麥人 康托爾（猶太

2、人），他在柏林大學(xué)學(xué)習(xí)（工科）期間受大 數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯的影響，轉(zhuǎn)而攻讀數(shù)學(xué)，最后成為一 名數(shù)學(xué)家。他于1847年提出集合論，解決了當(dāng)時(shí)一系列懸 而未決的問(wèn)題，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但康托爾創(chuàng)建集合 論的過(guò)程是十分艱難的，為此他幾乎獻(xiàn)出了生命。這也說(shuō) 明如何一件新生事物的出現(xiàn)往往都不是一帆風(fēng)順的。,康托爾將集合定義為： 所謂集合是把我們直觀和思維中確定的、相互間 有明確區(qū)別的那些對(duì)象（這些對(duì)象稱(chēng)為元素）作為一 個(gè)整體來(lái)考慮的結(jié)果。,1. 集合,關(guān)于集合的幾點(diǎn)注意：,集合的元素是確切定義的，不能含糊不清。 集合中的元素互不相同。 當(dāng)只研究一個(gè)集合時(shí)，則可不考慮其結(jié)構(gòu)，視集合 中的 元素一律平等。

3、,2. 集合的表示法,列舉法：將集合A的所有元素一一列舉出來(lái)，并用 花括號(hào)括上。,表示集合的方法有兩種:,注意：不論用那一種方法表示集合，集合中的元素不得 重復(fù)出現(xiàn)。,有些集合可以用兩種表示法表示，此時(shí)可根據(jù) 需要選擇其中的一種方法,3. 子集、集合相等,規(guī)定：空集是不含任何元素的集合，記為。 空集是任何一個(gè)集合的子集：,想到什么沒(méi)有？,4. 有限集、無(wú)限集：,含有有限個(gè)元素的集合稱(chēng)為有限集； 含有無(wú)限個(gè)元素的集合成為無(wú)限集。,空集是任何一個(gè)非空集合的冪集的元素：,二、集合的基本運(yùn)算,也有一些書(shū)將全集稱(chēng)為“空間”、“原集合”、“萬(wàn)有集合”等。,在wen圖中，用矩形表示全集。,1. 集合運(yùn)算的概

4、念,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,A,B,B,(A B) B = A?,一般說(shuō)來(lái),A,B,僅當(dāng) B A 時(shí), 才有,A,B,= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 。,B = 4, 5, 6, 7, 8, 9 ，,設(shè),A = 1, 2, 3, 4, 5 ，,則,B = 6, 7, 8 ，,= 0, 1, 2, 6, 7, 8 .,設(shè),A = 0, 1, 2 ，,則,A = x | x2 2x 3 0 ，,= x | 1 x 3 .,B = x | x = 1, 3 ，,設(shè),則,= x | 1 x 1 或 2 x 3 。,故,B = x | x 2

5、，,解不等式得,A = x | 1 x 3 ，,交換律,結(jié)合律,分配律,對(duì)偶律,2.集合的運(yùn)算性質(zhì),冪等律,吸收律,設(shè)有集合 A、B、C 及全集 ，則,交換律：,結(jié)合律：,分配律：,對(duì)偶律：,冪等律：,吸收律：,其它：,三、映射的基本概念,1. 映射,注意：,1) 映射是集合間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系. 集合 X 、Y,中所含的元素不一定是數(shù)，可以是其它的一,些對(duì)象 ( 或事物 )。,2) 對(duì)每一個(gè)x X，只有唯一的一個(gè)y Y 值與之,對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定就是映射。,對(duì)應(yīng)，這一點(diǎn)很重要，它說(shuō)明集合間元素的,3) 映射的定義不排除幾個(gè)不同的 x 值與同一個(gè)y 值對(duì)應(yīng)。,Rf,X,Y,f,y2,x1,x2,x3,

6、y1,.,.,.,.,.,設(shè) f 為集 X 到集 Y 的一個(gè)映射。,如果 x X，存在唯一的 y = f ( x ) Y 與之對(duì)應(yīng)；,反過(guò)來(lái), 若 y Y, 存在唯一的 x X 使得 y = f ( x ),則稱(chēng) f 是 X 到 Y 的一一對(duì)應(yīng)。,2. 一一對(duì)應(yīng),一一對(duì)應(yīng)的實(shí)質(zhì),其它內(nèi)容請(qǐng)同學(xué)們自己看書(shū),1. 實(shí)數(shù)集與數(shù)軸,實(shí)數(shù)集為有理數(shù)集與無(wú)理數(shù)集的并.,實(shí)數(shù)具有稠密性和連續(xù)性.,aR，必 n Z，使 n a n+1.,實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).,四、實(shí)數(shù)、區(qū)間、鄰域,2. 絕對(duì)值、距離,任一實(shí)數(shù) a 的絕對(duì)值 | a | 定義為：,數(shù)軸上任意兩點(diǎn) a，b 之間的距離為,d = | a b

7、| 。,絕對(duì)值常用的性質(zhì)：,3. 區(qū)間,(1) 閉區(qū)間 a, b = x | a x b ,a,b,(2) 開(kāi)區(qū)間 (a, b) = x | a x b ,a,b,。,。,(,),(a, b = x | a x b (稱(chēng)為左開(kāi)右閉區(qū)間),a, b) = x | a x b (稱(chēng)為右開(kāi)左閉區(qū)間),(3) 半開(kāi)閉區(qū)間,a,b,。,),(4) 無(wú)窮區(qū)間,a, +) = x | x a ,(a, +) = x | x a ,( , b = x | x b ,( , b) = x | x b ,( , + ) = x | x + = x | xR ,a,(+),a, +),(5) 區(qū)間長(zhǎng)度,不論是閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間、半開(kāi)閉區(qū)間， 其長(zhǎng)度計(jì)算均按此式進(jìn)行。,x0+,(,),x0 ,x0,4. 鄰 域,x0 + ,(,),x0 ,x0,U ( 3, 0.1 ) =