線性代數(shù)課件-5.3向量空間的基和維.ppt

1、1、基和維的概念,2、再論線性代數(shù)方程組的解,5.3 向量空間的基和維,定義 設V為向量空間 如果r個向量a1 a2 arV 且滿足 (1) a1 a2 ar 線性無關 (2)V中任一向量都可由a1 a2 ar 線性表示 那么 向量組a1 a2 ar 就稱為向量空間V的一個基 r 稱為向量空間V的維數(shù) 并稱V為 r 維向量空間,注 （1）只有零向量的向量空間沒有基 規(guī)定其維數(shù)為0 （2）若把向量空間V看作向量組 則向量空間V的基就是向量組的最大無關組 向量空間V的維數(shù)就是向量組的秩 （3） 向量空間的基不唯一.,5.3.1 基和維,定義 如果在向量空間V中取定一個基a1 a2 ar 那么V中任

2、一向量 x 可唯一地表示為 x1a12a2 rar 數(shù)組 1 2 r 稱為向量x在基a1 a2 ar中的坐標 在向量空間Rn中以單位坐標向量組e1 e2 en為基 則向量x(x1 x2 xn)T可表示為 xx1e1x2e2 xnen 可見向量在基e1 e2 en中的坐標就是該向量的分量,注 線性空間V 的任意向量在不同的基下的坐標一般不同, 但一個向量在一組基下的坐標是唯一的,注 求一向量在一組基下的坐標表示歸結為討論線性代數(shù)方程組有無解的問題.,解,例 設A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 驗證a1 a2 a3

3、是R3的一個基 并求b1 b2在這個基中的坐標,解,所以b1 b2在基a1 a2 a3中的坐標依次為,例 設A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 驗證a1 a2 a3是R3的一個基 并求b1 b2在這個基中的坐標,例 在R3中取定一個基a1 a2 a3 再取一個新基b1 b2 b3 設A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(基變換公式) 并求向量在兩個基中的坐標之間的關系式(坐標變換公式),即基變換公式為 (b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 矩陣

4、PA1B稱為從舊基到新基的過渡矩陣,解,由(a1 a2 a3)(e1 e2 e3)A 得,(e1 e2 e3)(a1 a2 a3)A1,故 (b1 b2 b3)(e1 e2 e3)B,(a1 a2 a3)A1B,解,基變換公式為(b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B,設向量 x 在舊基和新基中的坐標分別為y1 y2 y3和z1 z2 z3,這就是從舊坐標到新坐標的坐標變換公式,例 在R3中取定一個基a1 a2 a3 再取一個新基b1 b2 b3 設A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(基變換公式) 并求向量在兩個基中的坐標之間

5、的關系式(坐標變換公式),定理 設b1、bs 及 f1、ft 是向量空間的任兩組基，則必有 s=t.,定義 向量空間V 的任一基向量的個數(shù), 稱為空間V 的維（dimension）, 記這個數(shù)為 dimV,證,利用等價向量組,根據(jù)向量空間基的定義可知兩組基等價的，,從而其秩相等：,由基的定義知兩組向量組都線性無關，即,從而,由于Rn有一組明顯的自然基，,故有 dim Rn = n , 即Rn是n維向量空間.,若S是Rn的任一子空間，則,注 盡管子空間S的維可以低于n，但它的任一向量卻是n維向量, 亦即空間維數(shù)與向量維數(shù)是不同的概念.,例 考慮練習2中給出的向量空間,其中,試求 dimV1.,解

6、,故知V1中任一向量x皆可依 a1, a2 線性表出.,又因矩陣 之秩為2，,故a1,a2線性無關，故 a1,a2是V1的基，,從而 dimV1=2.,但是 a1,a2 以及V1中的任一向量x皆為4維向量.,5.3.2 再論線性代數(shù)方程組的解,5.3.2.1 齊次方程組,m n齊次線性代數(shù)方程組,的解集 N(A) 是向量空間，現(xiàn)在進一步指出：它的通解中,元素的一般式中所含有任意常數(shù)的個數(shù),n- r(A) 就是 N(A),的維數(shù) dimN(A), 即,基礎解系就是N(A)的一組基，它們線性無關，并生成N(A).,齊次方程組的通解式（或基礎解系）不惟一確定，,但通解式中獨立任意常數(shù)的個數(shù)是確定的，

7、每一任意,常數(shù)對應一個基向量，而基向量個數(shù),一定是n- r(A)個.,例 試解齊次線性代數(shù)方程組,解 對系數(shù)矩陣施行初等行變換,故 r(A)=2, 又n=4, 方程組有非零解且?guī)в衝-r(A)=2常數(shù).,取等價方程組,則方程組的通解為,基礎解系的構成及特點 (1)每一個向量都是齊次方程組的解; (2)基礎解系中共有 n-r(A) 個向量； (3)這組向量線性無關.,根據(jù)通解的表達，該齊次方程組的解集可記為,因為 線性無關，即為 N(A) 的一組基，于是,而通解中的兩個任意常數(shù)即為解向量對這一組基的坐標.,基礎解系的構成及特點 (1)每一個向量都是齊次方程組的解; (2)基礎解系中共有 n-r(

8、A) 個向量； (3)這組向量線性無關.,則方程組的通解為,現(xiàn)在的基礎解系是,不同基礎解系代表解空間的不同的基，但每一組基礎解系包含的解向量的個數(shù)是確定的，,5.3.2.2 非齊次方程組,用向量空間理論解釋相容性定理.,本章定理1說明了方程組 Ax=b 即,相容性的重要條件是 bR(A) .,故方程組無解.,事實上，若,則必,必是b不能依a1，a2， ，an線性表出，即,說明向量組a1， a2 ， ，an線性無關，故必為R(A)的一組基，,若,說明生成 R(A)的n個向量a1， a2 ， ，an線性相關，而最大,因向量b對一組基的坐標是惟一確定的，所以此時方程組有惟一解.,當,時，則b必可依A

9、的列向量組線表出，即,進一步，若,線性無關組含 r 個向量.,假定最大線性無關組是an-r+1， ，,an ，為 R(A)的一組基.,t1，t2，tn-r ，,向量 b + t1a1 + + tn-ran-r 對這組基必有惟一確定的坐標，,設為 1*、 2* 、 n-r* ，就有,亦必在R(A)中，所以對 n r 個任意常數(shù)值,因b, a1, an-r均在 R(A)中，故它們的線性組合,b+t1a1+ + tn-ran-r= 1*an-r+1+ + n-r*an,從此式可看出，-t1 -tn-r 1* n-r*T是Ax=b的解，,由于t1、 t2、 tn-r可取任意值，故 Ax=b 的通解中含

10、有 n-r 個任意常數(shù).,其次，用向量空間的概念同樣直觀地解釋Ax=b,通解的結構式,先給出m n相容非齊次方程組,解的性質及其與對應齊次方程組的解的關系.,定理 設m n相容非齊次方程組Ax=b的解集為S, 對應齊次,方程組的解空間為N(A)，,(k0, k為常數(shù)）,(3) 對任意的 xhN(A),必 x1+ xh S.,(1),非齊次方程組的解集不是向量空間,結論(2)、(3)則說明了當已知其某個解 xp時，,方程組的通解 xp(即S中元素的通解)本質上必能也,只能通過 N(A)的通解 xh表出，為,隨著取xp的不同及在N(A)中取不同的基， xg的具體形式,還是可以多樣的，但其組成(結構)是惟一確定.,下面從另外一個角度說明，當生成向量線性相關時，生成向量空間中任一向量按生成向量的線性表出必有無限多種不同的形式.,例 對練習2中的 V2=span(b1, b2, b3), 可以,但b1、b2、 b3是線性相關的，即有不全為零的數(shù), 1、 2 、 3使成