二次函數(shù)專題二：面積問題

1、二次函數(shù)專題二：面積問題1、（2012石景山一模第25題8分）25已知二次函數(shù)中，m為不小于0的整數(shù)，它的圖像與x軸交于點A和點B，點A在原點左邊，點B在原點右邊（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）點C是拋物線與軸的交點，已知AD=AC（D在線段AB上），有一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度移動，同時，另一動點Q從點C出發(fā)，以某一速度沿線段CB移動，經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情況下，求四邊形ACQD的面積25.（1）二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點， . .1分m為不小于0的整數(shù)，m取0、1. .2分 當(dāng)m=1時，圖像與x軸的兩個交點在

2、原點的同側(cè)，不合題意，舍去； 當(dāng)m=0時，符合題意. 二次函數(shù)的解析式為： .3分 （2）AC=AD，ADC=ACD CD垂直平分PQ，DP=DQ，ADC=CDQ. ACD=CDQ，DQAC BDQBAC， .4分 AC=，BD=，AB=4. DQ=， .5分PD=. AP=AD-PD=， t= .6分 （3）BDQBAC易求， .7分. 8分2、（2012順義一模25題8分）24如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過點A（-4，0）和點B（0，3）（1）求拋物線的解析式； （2）向右平移上述拋物線，若平移后的拋物線仍經(jīng)過點B，求平移后拋物線的解析式；（3）在（2）的

3、條件下，記平移后點A的對應(yīng)點為A，點B的對應(yīng)點為B，試問：在平移后的拋物線上是否存在一點P，使的面積與四邊形AABB的面積相等，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由24解：（1）拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過點A（-4，0）和點B（0，3）， 拋物線的解析式為： 2分（2）令，得，得，拋物線向右平移后仍經(jīng)過點B，拋物線向右平移2個單位 3分 4分 平移后的拋物線解析式為 5分（3）由拋物線向右平移2個單位，得，四邊形AABB為平行四邊形，其面積 設(shè)P點的縱坐標(biāo)為，由的面積=6，即， 6分當(dāng)時，方程無實根，當(dāng)時，方程的解為，點P的坐標(biāo)為或 7分Ox3、（2012通州一模23題7分）23已

4、知二次函數(shù)（1）求證：無論a為任何實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點.（2）當(dāng)x2時，函數(shù)值隨的增大而減小，求的取值范圍.（3）以二次函數(shù)圖象的頂點為一個頂點作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形（M，N兩點在二次函數(shù)的圖象上），請問：的面積是與a無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由. 23. 解：（1） 無論a為何實數(shù) (1分)拋物線與x軸總有兩個交點(2分)（2） (3分)由題意得，（只寫或=其一，不給分） (4分)（3）解法一：以二次函數(shù)圖象的頂點為一個頂點作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形（，兩點在二次函數(shù)的圖象上），這個正三角形的面積只與二次函數(shù)圖形的開口大小有關(guān)。二次函數(shù)

5、的圖象可以看做是二次函數(shù)的圖象通過平移得到的。如圖，正三角形的面積等于正三角形的面積.因此，與a的取值無關(guān)點在二次函數(shù)的圖象上，,點在的圖象上， 舍去 .(5分),. .(6分)正三角形AMN的面積是與a無關(guān)的定值,定值為.(7分)解法二：根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性，可知軸，設(shè)拋物線的對稱軸與交于點，則設(shè)又=4、（2012西城二模第23題7分）23. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為第一象限內(nèi)的雙曲線（）上一點，點A的橫坐標(biāo)為1，過點A作平行于 y軸的直線，與x軸交于點B，與雙曲線（）交于點C . x軸上一點位于直線AC右側(cè)，AD的中點為E. (1)當(dāng)m=4時，求ACD的面積（用含，的代數(shù) 式

6、表示）； (2)若點E恰好在雙曲線（）上，求m的值； (3)設(shè)線段EB的延長線與y軸的負(fù)半軸交于點F，當(dāng)點D的坐標(biāo)為時，若BDF的面積為1，且CFAD，求的值，并直接寫出線段CF的長. 23解：(1)由題意得A，C兩點的坐標(biāo)分別為，（如圖6） 1分 ， 點A在第一象限，點C在第四象限， 圖6圖7圖8當(dāng)m=4時，2分(2) 作EGx軸于點G（如圖7） EGAB，AD的中點為E， DEGDAB，G為BD的中點 A，B，D三點的坐標(biāo)分別為， ， 點E的坐標(biāo)為 點E恰好在雙曲線上， 3分 ， 方程可化為，解得4分(3)當(dāng)點D的坐標(biāo)為時，由(2)可知點E的坐標(biāo)為（如圖8） ， 5分設(shè)直線BE的解析式為（

7、a0） 點B，點E的坐標(biāo)分別為， 解得 ， 直線BE的解析式為 線段EB的延長線與y軸的負(fù)半軸交于點F， 點F的坐標(biāo)為， 6分線段CF的長為 7分5、（2012東城二模第25題8分）25如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，與軸交于A、B兩點，點B的坐標(biāo)為（1） 求二次函數(shù)的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2） 點M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1:2的兩部分，求出此時點的坐標(biāo)；（3） 點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點P在何處時的面積最大？最大面積是多少？并求出 此時點P的坐標(biāo). 6、（2012石景山23題7分）23已知：直線分別與 x軸、

8、y軸交于點A、點B，點P（，b）在直線AB 上，點P關(guān)于軸的對稱點P 在反比例函數(shù)圖象上(1) 當(dāng)a=1時，求反比例函數(shù)的解析式；(2) 設(shè)直線AB與線段PO的交點為C當(dāng)PC =2CO時，求b的值；(3) 過點A作AD/y軸交反比例函數(shù)圖象于點D，若AD=，求PDO的面積 解：23（1）點在直線上, 時，=1分， ，代入 得， 2分（2）聯(lián)結(jié)點和點關(guān)于軸對稱軸 3分 =與軸交于點、點，可得 =4 5分（3）當(dāng)點在第一象限時：點和點關(guān)于軸對稱且在上 6分當(dāng)點在第二象限時： 7分7、已知二次函數(shù)y=-x2+（k+1）x-k的圖象經(jīng)過一次函數(shù)y=-x+4的圖象與x軸的交點A（如圖）（1）求二次函數(shù)的

9、解析式；（2）求一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的另一個交點B的坐標(biāo)；（3）若二次函數(shù)圖象與y軸交于點D，平行于y軸的直線l將四邊形ABCD的面積分成1：2的兩部分，則直線l截四邊形ABCD所得的線段的長是多少？（直接寫出結(jié)果）解：（1）由y=-x+4，得A（4，0），又二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A，則0=-16+4（k+1）-k，解得k=4，所以二次函數(shù)解析式為y=-x2+5x-4（2）由，解得，所以點B的坐標(biāo)為（2，2）（3）令y=0代入二次函數(shù)得x=1或x=4，則C點坐標(biāo)為（1，0）令x=0代入2此函數(shù)得y=-4，則D點坐標(biāo)為（0，-4）四邊形面積為：（4-1）2+（4-1）4=9，若直線在點B的左側(cè)，令

10、平行于y軸的直線交BC于E，交CA于F，交AD于G，求得BC的函數(shù)為y=2x-2則，同理求得AD的函數(shù)為y=x-4，AF=FG，設(shè)CF=a0，則EF=2a，AF=3-a，F(xiàn)G=3-a，SEFC+S四邊形FCDG=SEFC+S梯形OFGD-SOCD=a2a+（3-a+4）（a+1）-14=，解得：a=（舍去）；若直線在點B的右側(cè)，令平行于y軸的直線交AB于E，交CA于F，交AD于G，求得AB的函數(shù)為y=-x+4，則EF=FA，同理求得AD的函數(shù)為y=x-4，AF=FG，設(shè)AF=a0，則EF=a，AF=a，F(xiàn)G=a，SEFC+SAFG=aa+aa=3，解得：a=，EG=故線段長為8、如圖，二次函數(shù)

11、y=ax2+bx的圖象與一次函數(shù)y=x+2的圖象交于A、B兩點，點A的橫坐標(biāo)是-1，點B的橫坐標(biāo)是2（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)點C在二次函數(shù)圖象的OB段上，求四邊形OABC面積的最大值；（3）試確定以點A為圓心，半徑為 的圓與直線OB的位置關(guān)系解：（1）把x=-1和x=2代入y=x+2，得A的坐標(biāo)為（-1，1），B的坐標(biāo)為（2，4）A，B在二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象上，解得，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2；（2）如圖，設(shè)四邊形OABC的面積為S，點C的坐標(biāo)為（t，t2），0t2，分別過點A，B，C作x軸的垂線，垂足依次為A1，B1，C1，則OA1=1，AA1=1，OC1=t，C1C=t2，B1C1=4-t，BB1=4，于是，S=S梯形AA1B1B-SOC1C-S梯