第四章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法

1、第四章 靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法,靜電場(chǎng)和恒定電場(chǎng)的求解，可歸結(jié)為在給定邊界下，對(duì)拉普拉斯方程或泊松方程的求解。,解析法,數(shù)值法,分離變量法,鏡像法,復(fù)變函數(shù)法,格林函數(shù)法,有限差分法,解法,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,4.1 分離變量法,1. 分離變量法的思想,把一個(gè)包含多個(gè)自變量的函數(shù)用含單個(gè)自變量的函數(shù)的乘積表示，從而將偏微分方程分離為幾個(gè)常微分方程分別求解，最后利用邊界條件確定積分常數(shù)，得到級(jí)數(shù)形式的解。,分離變量法解題的一般步驟：,寫(xiě)出邊值問(wèn)題（微分方程和邊界條件）；,分離變量，將偏微分方程分離成幾個(gè)常微分方程；,解常微分方程，并疊加得到通解；,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,利用邊界條件確定積分常

2、數(shù)，最終得到電位的解。,下 頁(yè),上 頁(yè),分離變量法采用正交坐標(biāo)系，當(dāng)場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，分離變量法是一種有效的方法。,2. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場(chǎng)）,分離變量，設(shè)解答為：,代入微分方程,設(shè),分離常數(shù)的取值有三種情況：,下 頁(yè),上 頁(yè),除以fg,分離常數(shù),特解1,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,指數(shù)函數(shù),特解2,下 頁(yè),上 頁(yè),特解3,通解為所有特解的疊加,下 頁(yè),上 頁(yè),對(duì)于具體問(wèn)題，根據(jù)邊界條件確定積分常數(shù)， 積分常數(shù)的確定一般有：,比較系數(shù)法,傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法,分離常數(shù)的確定：,若邊界條件可看成周期性（f=0），則分離常數(shù)為虛數(shù)，對(duì)應(yīng)解為三角函數(shù)；,若邊界條件為非周期性，則

3、分離常數(shù)為實(shí)數(shù)，對(duì) 應(yīng)解為雙曲函數(shù)或指數(shù)函數(shù)，其中有限區(qū)域的取 雙曲函數(shù)，而無(wú)限區(qū)域的解衰減的指數(shù)函數(shù)；,若場(chǎng)與某坐標(biāo)無(wú)關(guān)，則分離常數(shù)為零，對(duì)應(yīng)解為 常數(shù)；,確定了各坐標(biāo)變量方程的解，它們的乘積是 拉氏方程的特解，須將特解線性疊加，使其滿 足邊界條件，從而確定各系數(shù)，求得電位函數(shù)。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,試求長(zhǎng)直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。,邊值問(wèn)題（D 域內(nèi)）,接地金屬槽的截面,下 頁(yè),上 頁(yè),例：,解：,代入邊界條件，確定積分常數(shù),下 頁(yè),上 頁(yè),由邊界條件（1） 得：f(0)=0,由邊界條件(1)、（2）分析可知：,下 頁(yè),上 頁(yè),由邊界條件（3） 代入得,可知,g(0)=0,將各特解線性

4、疊加得通解,下 頁(yè),上 頁(yè),由邊界條件（4） 代入通解得,比較系數(shù),當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,若金屬槽蓋電位 ，再求槽內(nèi)電位分布,通解,當(dāng) 時(shí)，,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,傅立葉級(jí)數(shù),代入通解,接地金屬槽內(nèi) 的等位線分布,下 頁(yè),上 頁(yè),下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),2. 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場(chǎng)）,設(shè)電位只是r和f 的函數(shù)，拉普拉斯方程為：,分離變量, 設(shè),代入微分方程,分離常數(shù),下 頁(yè),上 頁(yè),當(dāng) 時(shí)，,不是周期函數(shù),因,周期函數(shù),當(dāng) 時(shí)，,必為實(shí)數(shù),必為整數(shù),下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,通解,下 頁(yè),上 頁(yè),或,若求的是圓柱區(qū)域的問(wèn)題，則A0=0,B0=0,取圓柱坐標(biāo)系，邊值問(wèn)題,

5、垂直于均勻電場(chǎng)E0 放置一根無(wú)限長(zhǎng)均勻介質(zhì)圓柱棒，試求圓柱內(nèi)外 f 和 E 的分布。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例：,解：,通解,下 頁(yè),上 頁(yè),利用給定邊界條件確定積分常數(shù),通解,通解,c.由,比較系數(shù),通解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),d.分界面的銜接條件,對(duì)于f2，n=1,最終解,下 頁(yè),上 頁(yè),均勻電場(chǎng),均勻外電場(chǎng)中介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場(chǎng),下 頁(yè),上 頁(yè),介質(zhì)柱內(nèi)電場(chǎng)均勻，并與外加電場(chǎng)E 平行；,表明,若2 E1；,若21 ，E2 E1；,4.2 鏡像法,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,鏡像法與電軸法的基本思想,根據(jù)唯一性定理，用虛設(shè)的簡(jiǎn)單分布電荷替代未知的復(fù)雜分布電荷，把求解偏微分方程

6、的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解簡(jiǎn)單分布電荷電場(chǎng)的問(wèn)題。是一種間接計(jì)算方法。 適合電荷附近由導(dǎo)體面或介質(zhì)面存在的情況。,1. 點(diǎn)電荷對(duì)平面導(dǎo)體的鏡像,場(chǎng)分布特點(diǎn)：,平面導(dǎo)體上產(chǎn)生負(fù)感應(yīng)電荷,電場(chǎng)為兩維子午平面場(chǎng),下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,邊值問(wèn)題,易求鏡像電荷大小與位置,平面導(dǎo)體鏡像電荷位置與原電荷 關(guān)于導(dǎo)體平面對(duì)稱(chēng)，電荷大小相 等帶電量相反，,上半場(chǎng)域的電位和電場(chǎng),下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,-q 是虛設(shè)的電荷，稱(chēng)為鏡像電荷，用來(lái)替代導(dǎo)板上復(fù)雜分布的感應(yīng)電荷的作用；,注意,鏡像電荷應(yīng)放置在所求區(qū)域（有效區(qū)）以外；,根據(jù)疊加原理，導(dǎo)板上方有任意分布的電荷時(shí)也可作相應(yīng)的鏡像。,地面上感應(yīng)電荷的總量為,垂直地面的電場(chǎng)分

7、量,試求空氣中點(diǎn)電荷q 在地面引起的感應(yīng)電荷分布及點(diǎn)電荷受到的作用力。,解：,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例：,應(yīng)用鏡像法，地面任意點(diǎn),地面電荷分布,鏡像電荷,點(diǎn)電荷q受到的作用力：,用線電荷密度為rl無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線代替點(diǎn)電荷q， 則單位長(zhǎng)直導(dǎo)線受到的作用力：,鏡像電荷,單位長(zhǎng)作用力,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,點(diǎn)電荷對(duì)相交接地平面導(dǎo)體邊界的鏡像,如圖，兩半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面垂直相交。,要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，則必須引入3個(gè)鏡像電荷。如圖所示。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,鏡像法小結(jié),鏡像法的理論依據(jù)是：,鏡像法的實(shí)質(zhì)是：,鏡像法的關(guān)鍵是：,鏡像電荷只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域。,用虛設(shè)的簡(jiǎn)單分布的鏡像電

8、荷替代未知的復(fù)雜分布電荷，使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻媒質(zhì)；,靜電場(chǎng)唯一性定理；,確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小及位置以保證原場(chǎng)的邊值問(wèn)題不變；,應(yīng)用鏡像法解題時(shí)注意：,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,2. 點(diǎn)電荷對(duì)球面導(dǎo)體的鏡像,點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球外,下 頁(yè),上 頁(yè),場(chǎng)分布特點(diǎn)：,球面上產(chǎn)生負(fù)感應(yīng)電荷,電場(chǎng)為兩維子午平面場(chǎng),邊值問(wèn)題,導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：,下 頁(yè),上 頁(yè),確定鏡像電荷的位置,確定鏡像電荷大小,應(yīng)用鏡像法求解,球面電位,將 r1, r2 代入方程 ，得,鏡像電荷放在求解的場(chǎng)域外。,聯(lián)立求解得,鏡像電荷位置,鏡像電荷大小,下 頁(yè),上 頁(yè),鏡像電荷等于負(fù)感應(yīng)電荷總量。,球外任一點(diǎn)P 的電位與電場(chǎng)

9、為,球外的電場(chǎng)分布,下 頁(yè),上 頁(yè),1.點(diǎn)電荷q 對(duì)不接地金屬球的鏡像。,邊值問(wèn)題,思路,下 頁(yè),上 頁(yè),討論,導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：,則,任一點(diǎn)電位,通量為零（ ) 大小相等）,球面等位（ 位于球心）,下 頁(yè),上 頁(yè),導(dǎo)體球零電位,球面電位,任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng),點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體 球附近的場(chǎng)圖,下 頁(yè),上 頁(yè),討論,2.點(diǎn)電荷q 對(duì)帶有電荷Q的金屬球的鏡像。,下 頁(yè),上 頁(yè),邊值問(wèn)題,思路,導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：,任一點(diǎn)電位,討論,下 頁(yè),上 頁(yè),3.點(diǎn)電荷q 對(duì)帶有電壓U0的金屬球的鏡像。,邊值問(wèn)題,思路,導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：,討論,下 頁(yè),上 頁(yè),4.點(diǎn)電荷q 在不帶電的金屬球殼內(nèi)的鏡像。,邊值問(wèn)題,思路,導(dǎo)體球內(nèi)（除q點(diǎn)）空間：,4、線電荷對(duì)圓柱面導(dǎo)體的鏡像,（1）接地導(dǎo)體圓柱邊值問(wèn)題,導(dǎo)體柱外（除q點(diǎn)）空間：,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,確