題型五 立體幾何中的空間角問(wèn)題

1、題型五立體幾何中的空間角問(wèn)題1.如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE；(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值2(2011湖南)如圖，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，C是AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)(1)證明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值答案 1(1)證明設(shè)ADDE2AB2a，以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)因

2、為F為CD的中點(diǎn)，所以F.，(a，a，a)，(2a,0，a)因?yàn)?)，AF平面BCE，所以AF平面BCE.(2)證明因?yàn)椋?a，a,0)，(0,0，2a)，故0，0，所以，.所以平面CDE.又AF平面BCE，所以平面BCE平面CDE.(3)解設(shè)平面BCE的法向量為n(x，y，z)由n0，n0，可得xyz0,2xz0，取n(1，2)又，設(shè)BF和平面BCE所成的角為，則sin .所以直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.2方法一(1)證明如圖，連接OC，因?yàn)镺AOC，D是AC的中點(diǎn)，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.因?yàn)镺D，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC平面POD

3、，而AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.(2)解在平面POD中，過(guò)O作OHPD于H，由(1)知，平面POD平面PAC，所以O(shè)H平面PAC.又PA平面PAC，所以PAOH.在平面PAO中，過(guò)O作OGPA于G，連結(jié)HG，則有PA平面OGH，從而PAHG，故OGH為二面角BPAC的平面角在RtODA中，ODOAsin 45.在RtPOD中，OH.在RtPOA中，OG.在RtOHG中，sinOGH.所以cosOGH.故二面角BPAC的余弦值為.方法二(1)證明如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面POD的一個(gè)法向量，則由n10，n0，得所以z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一個(gè)法向量，則由n20，n20，得所以x2z2，y2z2.取z21，得n2(，1)因?yàn)閚1n2(1,1,0)(，1)0，所以n1n2.從而平面POD平面PAC.(2)解因?yàn)閥軸平面PAB，所以平面PAB的一個(gè)法向量為n3(0,1,0)由(1)知，平面PAC的一個(gè)法向量為n