矩陣論簡明教程(整理全)PPT課件.ppt

1、,Matrix Theory,矩 陣 論教材：矩陣論簡明教程（第二版）徐仲，張凱院，陸全，冷國偉編著 科學(xué)出版社,第一章 矩陣的基礎(chǔ)知識,1.1 矩陣的運算,1.2 方陣的行列式,1.3 矩陣的秩,1.4 特殊矩陣類,1.1 矩陣的運算,一、 矩陣的概念,1、數(shù)集 R實數(shù)集，C復(fù)數(shù)集,2、矩陣的記號,！,Notations,二、 矩陣的運算,1、加法，減法,2、數(shù)乘,3、乘法,4、轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置,三、 矩陣的塊運算,1、加法，減法,2、數(shù)乘,3、乘法,4、轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置,1.2 方陣的行列式,一、行列式的定義與性質(zhì),二、塊矩陣的行列式,即某行左乘一個矩陣加到另一行，值不變；某列右乘一個矩陣加到

2、另一列，值不變。,Example 1,證：,Example 2,證：,Example 3,證：,三、Vandermond 行列式,Matrix Theory,第一章 矩陣的基礎(chǔ)知識,1.1 矩陣的運算,1.2 方陣的行列式,1.3 矩陣的秩,1.4 特殊矩陣類,一、 矩陣秩的定義及基本性質(zhì),1、秩的定義,1.3 矩陣的秩,2、基本性質(zhì),（1）初等變換不改變矩陣秩；,二、 矩陣秩等式,三、 矩陣秩不等式,定理1,推論1,1.4 特殊矩陣,一、 幾類基本的特殊矩陣,1、零矩陣，單位矩陣,2、對角矩陣,3、三角矩陣,二、 正規(guī)矩陣,定義1,以下矩陣都是正規(guī)矩陣：,定義2,三、初等矩陣,1、定義,有以

3、下三類初等矩陣：,定義3,2、三種初等矩陣的統(tǒng)一表示,Remark,四、其他特殊矩陣,Matrix Theory,第1章 矩陣的相似變換,2.1 矩陣的特征值與特征向量,2.2 矩陣的相似對角化,2.3 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,2.4 Hamilton-Cayley 定理,2.5 矩陣的酉相似,一、特征值與特征向量,1、定義,2.1 矩陣的特征值與特征向量,定義1,2、特征多項式,定義2,！,Remarks,3、特征值與特征向量的求法,例1,解,二、特征值與特征向量的性質(zhì),定義3,定理1,定理2,定義4,定理3,定理4,！,Remarks,2.2 矩陣的相似對角化,一、矩陣的相似,1、定義,

4、定義1,2、性質(zhì),定理1,定理2,Proof of（2）,二、相似對角化,1、定義,定義2,2、相似對角化的條件,定理3,Proof,推論1,推論2,Example 2,Solution,Example 3,Solution,Matrix Theory,第二章 矩陣的相似變換,2.1 矩陣的特征值與特征向量,2.2 矩陣的相似對角化,2.3 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,2.4 Hamilton-Cayley 定理,2.5 矩陣的酉相似,一、 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,1、定義,定義1,2.3 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,！,Remark,2、矩陣的Jordan分解定理,定理1,二、 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的

5、求法,1、初等變換法,定義2,定理2,！,Reamrk,定義3,由初等變換求矩陣 A 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形方法：,例1,解,2、行列式因子法,定義3,定理3,由行列式因子求矩陣 A 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形方法：,例2,解,例3,解,三、 相似變換矩陣的求法與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的冪,1、相似變換矩陣的求法,例4,解,！,Remark,2、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的冪,定理4,！,Remark,例5,解,Matrix Theory,第二章 矩陣的相似變換,2.1 矩陣的特征值與特征向量,2.2 矩陣的相似對角化,2.3 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,2.4 Hamilton-Cayley 定理,2.5 矩陣的

6、酉相似,一、 Hamilton-Cayley 定理,1、定理,定理1（Hamilton-Cayley 定理）,2.4 Hamilton-Cayley 定理,證明,1、利用定理1可以簡化矩陣運算,例1,解,二、 Hamilton-Cayley定理的應(yīng)用,2、可逆矩陣逆的多項式表示,三、 零化多項式與最小多項式,1、零化多項式,定義1,！,Notations,2、最小多項式,定義2,定理2,證略,3、零化多項式與最小多項式的關(guān)系,定理3,證,定理4,證略,例2,解,Matrix Theory,第二章 矩陣的相似變換,2.1 矩陣的特征值與特征向量,2.2 矩陣的相似對角化,2.3 矩陣的Jorda

7、n標(biāo)準(zhǔn)形,2.4 Hamilton-Cayley 定理,2.5 矩陣的酉相似,2.5 矩陣的酉相似,1、 向量的內(nèi)積,定義1,定理1,2、 向量的長度,定義2,向量的長度具有如下性質(zhì)：,定理2,3、 Cauchy-Schwarz不等式,定理3（ Cauchy-Schwarz不等式）,證,1、 定義,定義3,定理4,證,定義4,2、 Schmidt正交化,3、 單位化,例1,解,三、 酉矩陣,1、 定義,定義5,！,Notations,2、 性質(zhì),定理5,定理6,證,四、 酉相似,1、 定義,定義6,2、 Schur分解,定理7（Schur分解定理）,證,從而由歸納法可以證明。,五、 酉相似對角化,1、 正規(guī)矩陣,定義7,！,Notations,以下矩陣都是正規(guī)矩陣：,定理8,證：必要性,充分性：,2、 Hermite矩陣，反Hermite矩陣及酉矩陣的特性,定理9,證,酉相似對角化方法：,例2,解,六、 Hermite 矩陣的正定性,1、 定義,定義8,2、正定Hermite 矩陣的性質(zhì),定理10,定理11,3、非負(fù)定Hermite 矩陣的性質(zhì),定理12,Matrix Theory,第4章 矩陣分析,4.1 向量的范數(shù),4.2 矩陣范數(shù),4.3 矩陣級數(shù),4.4 矩陣函數(shù),4.5 矩陣的微分與積分,4.1 向量的范數(shù),一、向量的范數(shù),Recall：