數(shù)學(xué)華東師大版八年級上冊利用關(guān)鍵條件構(gòu)造全等三角形

1、利用關(guān)鍵條件構(gòu)造全等三角形,泉州實驗中學(xué) 石浩冰,1.如圖1，在ABC中，AD是中線，BE交AD于點F，且AEEF 試說明線段AC與BF相等的理由,圖1,利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形（倍長中線法）,由于AD是中線，于是可延長AD到G，使DGAD， 連結(jié)BG，則在ACD和GBD中， ADGD，ADCGDB，CDBD， ACDGBD（SAS）， ACGB，CADG， 又AEEF，CADAFE， 又AFE BFG， BFGG， BFBG，所以ACBF,如圖，在ABC中(ABAC)，AD平分BAC.,利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形,法一：如圖，在ABC中(ABAC)， AD平分BAC. 在A

2、B上截取AE=AC，連結(jié)DE.,利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形,法二：如圖，在ABC中(ABAC) ， AD平分BAC。延長AC到F， 使AF=AB，連結(jié)DF。,E,F,法三：在ABC中(ABAC) ， AD平分BAC。 作DMAB于M，DNAC于N。,利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形,DM=DN,AM=AN,ADM=ADN,2.已知：如圖1，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線，AD=CD. 求證：A+C=180,圖1,法一：證明：如圖2,在BC上截取BE， 使BE=AB，連結(jié)DE。 BD是ABC的角平分線 1=2 在ABD和EBD中 AB=EB ,1=2, BD=BD AB

3、DEBD A3，AD=DE AD=CD，AD=DE DE=DC 4=C 3+ 4180 A3 A+ C180,圖2,D,法二：如圖3,延長BA到F，使BF=BC，連結(jié)DF。 BD是ABC的角平分線1=2 在BFD和BCD中, BF=BC,1=2,BD=BD BFDBCD FC， DF=DC AD=CD，DF=DC DF=AD 4=F FC 4=C 3+ 4180 BAD+ C180,F,法三：如圖4,作DMBC于M，DNBA交BA的延長線于N。 BD是ABC的角平分線 又DNBA，DMBC ND=MD 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD , AD=CD RtNADRtMCD（H.L） 4=

4、C 3+ 4180 , BAD + C180,圖4,M,N,3.在ABC中，ADBC，若C2B 試比較線段BD與AC+CD的大小,利用高，以高線為對稱軸構(gòu)造全等三角形,由于ADBC，在BD上截取DEDC， 于是可得ADEADC（SAS）， AEAC，AEDC， 又C2B， AED2B， 而AEDB+BAE， 即BBAE，BEAEAC， BDBE+DEAE+DEAC+CD,4.設(shè)點P為等邊三角形ABC內(nèi)任一點，試比較線段PA與PB+PC的大小,利用特殊圖形可通過旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形,由于ABC是等邊三角形， 所以可以將ABP繞點A逆時針 旋轉(zhuǎn)60到ACP的位置，連結(jié)PP， 則ACPABP（SA

5、S）， 所以APAP，CPBP， APP是等邊三角形，即PPPA， 在CPP中，因為PPPC+PC， 所以PAPB+PC,5. ABC中，ABAC，E是AB上任意一點，延長AC到F，連接EF交BC于M，且EMFM試說明線段BE與CF相等的理由,利用平行線（平移）構(gòu)造全等三角形,將線段CF平移到ED， 所以過點E作EDCF， 則EDBACB， EDMFCM， 由于EMFM，EMDFMC， 所以EMDFMC（AAS）， 所以EDCF，又因為ABAC， 所以BACB，即BEDB， 所以EBED，所以BECF,1.如圖1，已知ABC中，AD是BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：C=2B,鞏固練習(xí),圖1,