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1、第八章 二元一次方程組,8.4 三元一次方程組 的解法,1,課堂講解,三元一次方程(組)的有關(guān)概念 三元一次方程組的解法 三元一次方程組的應(yīng)用,2,課時(shí)流程,逐點(diǎn) 導(dǎo)講練,課堂小結(jié),作業(yè)提升,九章算術(shù)的“方程”一章中,有這樣一道題日 (用現(xiàn)代漢語(yǔ)表述):上等稻谷三束中等稻谷一束下 等稻谷兩束共有稻谷39斗;上等稻谷兩束中等稻 谷三束,下等稻谷兩束,共有稻谷34斗;上等稻谷四 束中等稻谷一束,下等稻谷一束,共有稻谷26斗. 問(wèn) 上、中、下三等稻谷每束各有多少斗? 這道題目可以用三元一次方程組來(lái)解現(xiàn)在就讓 我們一起來(lái)學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)吧!,1,知識(shí)點(diǎn),三元一次方程(組)的有關(guān)概念,前面我們學(xué)習(xí)了二元一次
2、方程組及其解法 消元法. 有些有兩個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題,可以列出二元 一次方程組來(lái)解決. 實(shí)際上,有不少問(wèn)題含有更多 未知數(shù). 我們看下面的問(wèn)題:,知1導(dǎo),知1導(dǎo),小明手頭有12張面額分別為1元、2元、5元的紙幣, 共計(jì)22元,其中1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍. 求1元、2元、5元紙幣各多少?gòu)? 自然的想法是,設(shè)1元、2元、5元的紙幣分別為x 張、y張、z張,根據(jù)題意,可以得到下面三個(gè)方程: x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.,(來(lái)自教材),知1導(dǎo),這個(gè)問(wèn)題的解必須同時(shí)滿足上面三個(gè)條件,因 此,我們把這三個(gè)方程合在 一起,寫成,(來(lái)自教材),知1講,1三元一次方程: 含有三
3、個(gè)未知數(shù), 并且所含未知 數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,這樣的方程叫做三元一次 方程 必備條件: (1)是整式方程; (2)含三個(gè)未知數(shù); (3)所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.,(來(lái)自點(diǎn)撥),知1講,2三元一次方程組:共含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一 次方程所組成的一組方程,叫做三元一次方程 組 必備條件: (1)是整式方程; (2)共含三個(gè)未知數(shù); (3)三個(gè)都是一次方程; (4)聯(lián)立在一起,例1 下列方程組中,是三元一次方程組的是() A. B. C. D.,知1講,D,A選項(xiàng)中,方程x2y1與xz2中有含未知數(shù)的 項(xiàng)的次數(shù)為2的項(xiàng), 不符合三元一次方程組的定 義,故A選項(xiàng)不是;B選項(xiàng)中 不是整式, 故B選項(xiàng)
4、不是; C選項(xiàng)中方程組中共含有四個(gè)未知 數(shù),故C選項(xiàng)不是; D選項(xiàng)符合三元一次方程組的 定義故答案為D.,知1講,(來(lái)自點(diǎn)撥),導(dǎo)引:,三元一次方程組需滿足的條件: (1)方程組中一共含有三個(gè)未知數(shù); (2)每個(gè)方程中所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1; (3)每個(gè)方程均是整式方程,總 結(jié),知1講,(來(lái)自點(diǎn)撥),下列方程組中,是三元一次方程組的是_(填序號(hào)) ,知1練,2 下列方程是三元一次方程的是_(填序號(hào)) xyz1; 4xy3z7; 6x4y30.,知1練,2,知識(shí)點(diǎn),三元一次方程組的解法,知2導(dǎo),怎樣解三元一次方程組呢?我們知道,二元一 次方程組可以利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù), 化成一元
5、一次方程求解. 那么,能不能用同樣的思 路,用代入法或加減法消去三元一次方程組的一個(gè) 未知數(shù),把它化成二元一次方程組呢? 讓我們看前面列出的三元一次方程組,仿照前面學(xué)過(guò)的代入法,我們可以把分別 代入,得到兩個(gè)只含y,z的方程: 4y+y+z=12, 4y+2y+5z=22. 它們組成方程組 得到二元一次方程組之后,就不難求出y和z,進(jìn)而 可求出x.,知2導(dǎo),(來(lái)自教材),從上面的分析可以看出,解三元一次方程組的 基本思路是:通過(guò)“代入” 或“加減”進(jìn)行消元, 把“三元”化為“二元”,使解三元一次方程組轉(zhuǎn) 化為解二元一次方程組,進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次 方程. 這與解二元一次方程組的思路是一樣的.
6、,知2導(dǎo),三元一次方程組,二元一次方程組,一元一次方程組,試一試 上面的三元一次方程組能否應(yīng)用加減消元法 求解? 比較一下,哪種方法更簡(jiǎn)便?,知2導(dǎo),解三元一次方程組的一般步驟: (1)利用代入法或加減法消去三元一次方程組的一個(gè)未 知數(shù),得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組; (2)解這個(gè)二元一次方程組,求出兩個(gè)未知數(shù)的值; (3)將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系 數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程,得到一個(gè)一元一次方程; (4)解這個(gè)一元一次方程,求出最后一個(gè)未知數(shù)的值; (5)將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用符號(hào)“”合寫在一 起,知2講,(來(lái)自點(diǎn)撥),解三元一次方程組:,知2講,例2,3+,得11x+
7、10z35. 與組成方程組 解這個(gè)方程組,得,解:,方程只含x,z,因此,可以由消去y, 得 到一個(gè)只含x,z 的方程,與方程組成一個(gè)二 元一次方程組.,分析:,把x=5, z= -2代人,得 25+3y -2 = 9, 所以 因此,這個(gè)三元一次方程組的解為,知2講,(來(lái)自教材),總 結(jié),知2講,(來(lái)自點(diǎn)撥),解三元一次方程組時(shí),消去哪個(gè)“元”都是可 以的,得到的結(jié)果都一樣,我們應(yīng)該通過(guò)觀察方程 組選擇最為簡(jiǎn)便的解法此題中的方法一最為簡(jiǎn)便 要根據(jù)方程組中各方程的特點(diǎn),靈活地確定消元步 驟和消元方法,不要盲目消元,解下列三元一次方程組:,知2練,2 解三元一次方程組 先消去_,化 為關(guān)于_、_的
8、二元一次方程組較簡(jiǎn)便 3 解方程組 若要使運(yùn)算簡(jiǎn)便,消元的方 法應(yīng)選() A消去x B消去y C消去z D以上說(shuō)法都不對(duì),知2練,3,知識(shí)點(diǎn),三元一次方程組的應(yīng)用,知3講,列三元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟: (1)弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系,用三個(gè)未知數(shù)表 示題目中的數(shù)量關(guān)系 (2)找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的三個(gè)等量關(guān)系; (3)根據(jù)等量關(guān)系列出方程,建立方程組; (4)解出方程組求出未知數(shù)的值; (5)寫出答案,包括單位名稱,知3講,在等式y(tǒng)ax2bxc中,當(dāng)x1時(shí),y0;當(dāng) x2時(shí),y3;當(dāng)x5時(shí),y60. 求a,b,c的 值,例3,導(dǎo)引:,把a(bǔ),b,c看成三個(gè)未知數(shù),分別把已知的x,
9、y值 代入原等式,就可以得到一個(gè)三元一次方程組.,根據(jù)題意,得三元一次方程組,解:,,得ab1; ,得4ab10. 與組成二元一次方程組 解這個(gè)方程組,得 把 代入,得c5. 因此 即a,b,c的值分別為3,2,5.,(來(lái)自點(diǎn)撥),知3講,某汽車在相距70 km的甲、乙兩地往返行駛,行駛中有 一坡度均勻的小山. 該汽車從甲地到乙地需要2.5 h, 從 乙地到甲地需要2.3 h. 假設(shè)該汽車在平路、上坡路、下 坡路的行駛過(guò)程中的時(shí)速分別是30 km, 20 km, 40 km, 則從甲地到乙地的過(guò)程中, 上坡路、平路、下坡路的長(zhǎng) 度各是多少?,例4,導(dǎo)引:,題中有三個(gè)等量關(guān)系:上坡路長(zhǎng)度平路長(zhǎng)度
10、下坡 路長(zhǎng)度70 km;從甲地到乙地的過(guò)程中,上坡時(shí)間 平路時(shí)間下坡時(shí)間2.5 h;從乙地到甲地的過(guò)程中, 上坡時(shí)間平路時(shí)間下坡時(shí)間2.3 h.,設(shè)從甲地到乙地的過(guò)程中,上坡路、平路、下坡路 的長(zhǎng)度分別是x km,y km和z km. 由題意得 答:從甲地到乙地的過(guò)程中,上坡路的長(zhǎng)度是12 km, 平路的長(zhǎng)度是54 km,下坡路的長(zhǎng)度是4 km.,知3講,解得,解:,總 結(jié),知3講,解此題的關(guān)鍵是理解在汽車往返行駛的過(guò)程中, 如果從甲地到乙地是上坡路段,那么從乙地到甲地 時(shí)就變成了下坡路段,已知單項(xiàng)式8a3xyzb12cxyz與2a2b2xyc6是同類項(xiàng),則x_,y_,z_ 已知式子ax2bxc,當(dāng)x1時(shí),其值為4;當(dāng) x2時(shí),其值為3;當(dāng)x4時(shí),其值為35. 當(dāng)x3時(shí),其值為_(kāi),知3練,(2016臺(tái)灣)桌面上有甲、乙、丙三個(gè)杯子,三杯內(nèi) 原本均裝有一些水,先將甲杯的水全部倒入丙杯, 此時(shí)丙杯的水量為原本甲杯內(nèi)水量的2倍多40毫升;再將乙杯的水全部倒入丙杯,此時(shí)丙杯的水量為原 本乙杯內(nèi)水量的3倍少180毫升若過(guò)程中水沒(méi)有溢 出,則原本甲、乙兩杯內(nèi)的水量相差多少毫升? () A80 B110 C
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