《2.1.2求曲線的方程》課件3.ppt

1、2.1.2 求曲線的方程,1.坐標(biāo)法和解析幾何研究的主要問(wèn)題 (1)坐標(biāo)法:借助于_，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研 究曲線性質(zhì)的方法. (2)解析幾何研究的主要問(wèn)題: 曲線研究方程:根據(jù)已知條件，求出_. 方程研究曲線:通過(guò)曲線的方程，研究_.,坐標(biāo)系,表示曲線的方程,曲線的性質(zhì),2.求曲線方程的一般步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)_表示曲線上任意 一點(diǎn)M的坐標(biāo). (2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P=_. (3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程_. (4)化方程f(x，y)=0為最簡(jiǎn)形式. (5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在_.,(x，y),M|p(M),f(x，y)=0,曲

2、線上,1.判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)在求曲線方程時(shí)，對(duì)于同一條曲線，坐標(biāo)系的建立不同，所得到的曲線方程也不一樣.() (2)化簡(jiǎn)方程“|x|=|y|”為“y=x”是恒等變形.() (3)按照求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗(yàn).(),提示:(1)正確.對(duì)于曲線上同一點(diǎn)，由于坐標(biāo)系不同，該點(diǎn)的坐標(biāo)就不一樣，因此方程也不一樣. (2)錯(cuò)誤.|x|=|y|化簡(jiǎn)的形式為y=x. (3)錯(cuò)誤.一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，但是在求解、化簡(jiǎn)過(guò)程中極易產(chǎn)生增解或漏解，檢驗(yàn)這一步驟是應(yīng)該有的，故此說(shuō)法不正確. 答案:(1)(2)(3),2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (

3、1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)M的軌跡方程 是. (2)直角坐標(biāo)平面xOy中，若定點(diǎn)A(1，2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足 =4，則點(diǎn)P的軌跡方程是. (3)已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，-2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=3|PO|，則點(diǎn)P的軌跡方程是.,【解析】(1)設(shè)M(x，y)，由|MO|=2，得 =2，所以x2+y2=4. 答案:x2+y2=4 (2)由 =4知，x+2y=4x+2y-4=0， 所以P點(diǎn)的軌跡方程是x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0,(3)設(shè)P(x，y)，則|PA|=3|PO|可化為 化簡(jiǎn)得:8x2+2x+8y2-4y-5=0. 答案:8x2+2x+8y2-4y

4、-5=0,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 坐標(biāo)法與曲線方程的求解 1.平面直角坐標(biāo)系的選取方法 (1)若條件中只出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，常以定點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系. (2)若已知兩定點(diǎn)，常以兩定點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.,(3)若已知兩條互相垂直的直線，則以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系. (4)若已知一定點(diǎn)和一定直線，常以點(diǎn)到直線的垂線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以點(diǎn)到直線的垂線的反向延長(zhǎng)線為x軸建立直角坐標(biāo)系.,2.求曲線方程時(shí)應(yīng)注意的四個(gè)問(wèn)題 (1)在第一步中，如果原題中沒(méi)有確定坐標(biāo)系，首先選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通常選取特殊位置為原點(diǎn)，相互垂直的直線為坐標(biāo)軸. (2)第二步要仔細(xì)分析曲線的特征，注

5、意揭示其隱含的條件，抓住與曲線上任意一點(diǎn)M有關(guān)的等量關(guān)系，列出等式，此步驟有時(shí)也可以省略，而直接將幾何條件用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示.,(3)在第三步化簡(jiǎn)的過(guò)程中，注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性，盡量避免“失解”或“增解”. (4)第四步的說(shuō)明可以省略不寫，若有特殊情況，可以適當(dāng)說(shuō)明，如某些點(diǎn)雖然其坐標(biāo)滿足方程，但不在曲線上，可以通過(guò)限定方程中x(或y)的取值予以剔除.,3.對(duì)求曲線方程的三點(diǎn)說(shuō)明 (1)求曲線方程時(shí)，坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線方程也不相同. (2)一般地，求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y)，而不設(shè)成其他字母. (3)求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡

6、在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形.,【知識(shí)拓展】軌跡方程與軌跡的辨析,【微思考】 (1)曲線(或軌跡)是軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形，如何選取坐標(biāo)系？ 提示:若曲線(或軌跡)為軸對(duì)稱圖形，通常以對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸(x軸或y軸)；若曲線(或軌跡)是中心對(duì)稱圖形，通常以對(duì)稱中心為原點(diǎn).,(2)求解曲線方程時(shí)一定要按各步驟操作嗎？ 提示:不一定，若有坐標(biāo)系，第一步可省略，第二步雖重要，但只要能把條件轉(zhuǎn)化為方程即可，故也可省略.若化簡(jiǎn)前后方程的解集相同，步驟(5)也可省略，如有特殊情況可以適當(dāng)說(shuō)明. (3)求得曲線方程后，如何避免出現(xiàn)“增解”或“漏解”？ 提示:可根據(jù)曲線與方程的定義從曲線的方程與方程

7、的曲線兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn).,【即時(shí)練】 在RtABC中，|AB|=2a(a0)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程. 【解析】如圖，以AB所在直線為x軸，以線段 AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則 A(-a，0)，B(a，0). 設(shè)C(x，y)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接CO，則由 直角三角形的性質(zhì)知:|OC|=|AB|=2a=a. 因而點(diǎn)C的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以a為半徑的圓(除去與x軸的交點(diǎn))，其軌跡方程為x2+y2=a2(xa).,【題型示范】 類型一 直接法求曲線的方程 【典例1】 (1)(2014南昌高二檢測(cè))已知兩點(diǎn)M(-2，0)，N(2，0)，點(diǎn)P滿足 =0，則點(diǎn)P的軌跡方程為. (2)

8、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到直線x=8的距離是它到點(diǎn)A(2，0)的距離的2倍， 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.,【解題探究】1.題(1)條件 =0如何轉(zhuǎn)化？ 2.題(2)中條件可用式子如何表示？ 【探究提示】1.寫出向量的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化 為向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 2.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線x=8的距離為d，則條件的幾何表示為:d=2|PA|.,【自主解答】(1)設(shè)P的坐標(biāo)為P(x，y)，由 =(-2-x，-y)(2-x，-y)=x2-4+y2=0， 得x2+y2=4，所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4. 答案:x2+y2=4,(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則動(dòng)點(diǎn)P到直線x=8的距離d=|x-8|， 到點(diǎn)A的距離|PA|= 由已

9、知d=2|PA|得: |x-8|=2 化簡(jiǎn)得: 3x2+4y2=48. 故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為3x2+4y2=48.,【方法技巧】直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵及方法 (1)關(guān)鍵:建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系； 找出所求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件. (2)方法:求曲線的方程遵循求曲線方程的五個(gè)步驟，在實(shí)際求解時(shí)可簡(jiǎn)化為三大步驟:建系、設(shè)點(diǎn)；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件列方程；對(duì)所求的方程化簡(jiǎn)、說(shuō)明.,【變式訓(xùn)練】(2014寶雞高二檢測(cè))如圖，圓O1和圓O2的半徑 都等于1，O1O2=4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN(M，N分 別為切點(diǎn))，使得PM= PN，建立平面直角坐標(biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的 軌跡方程.,【解析

10、】以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，則O1(-2，0)，O2(2，0).,由已知PM=PN，得PM2=2PN2， 因?yàn)閳A的半徑為1，所以PO12-1=2(PO22-1)， 設(shè)P(x，y)，則(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即(x-6)2+y2=33. 故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知點(diǎn)M到x軸的距離等于到y(tǒng)軸的距離的2倍，求點(diǎn)M的軌跡方程. 【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則點(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別為|y|，|x|.由題意知|y|=2|x|，整理得y=2x. 所以點(diǎn)M的軌跡方程為y=2x.

11、,類型二 代入法求曲線的方程 【典例2】 (1)(2014吉林高二檢測(cè))已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線2x2-y=0上移動(dòng)，則點(diǎn)A(0，-1)與點(diǎn)P連線中點(diǎn)M的軌跡方程是() A.y=2x2B.y=8x2 C.2y=8x2-1D.2y=8x2+1 (2)設(shè)定點(diǎn)M(-3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程.,【解題探究】1.題(1)若已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則線段P1P2中點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？ 2.題(2)哪些點(diǎn)的坐標(biāo)已知，哪些點(diǎn)滿足已知曲線的方程，借助什么方法可用這些點(diǎn)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)？,【探究提示】1.據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式知中點(diǎn)P的坐標(biāo)

12、為 2.從題目的已知條件可知，點(diǎn)M與點(diǎn)O的坐標(biāo)已知，點(diǎn)N滿足已知 曲線的方程，可借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)與MN的中點(diǎn) 坐標(biāo)相同表示出點(diǎn)P的坐標(biāo).,【自主解答】(1)選C.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0，y0)，則2x02-y0=0. 因?yàn)镸為AP的中點(diǎn)，所以得 解得 代入式得 2(2x)2-(2y+1)=0，即2y=8x2-1.,(2)如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，,則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為 線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，所以 從而 由N(x+3，y-4)在圓上，得(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求P點(diǎn)的軌跡方程為(x+3)2+(y

13、-4)2=4，但應(yīng)除去兩點(diǎn): 和,【延伸探究】若把題(2)中MN的中點(diǎn)記為Q，試求點(diǎn)Q的軌跡方程. 【解題指南】采用代入法求解. 【解析】設(shè)Q(x，y)，N(x0，y0)， 所以 則 由N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)， 所以(2x+3)2+(2y-4)2=4. 故點(diǎn)Q的軌跡方程為 +(y-2)2=1.,【方法技巧】 1.代入法求軌跡方程的適用條件 已知一個(gè)點(diǎn)在已知曲線上運(yùn)動(dòng)，并帶動(dòng)另一個(gè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，在求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程時(shí)，往往用代入法. 2.代入法求曲線方程的四個(gè)步驟,【變式訓(xùn)練】動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2+y2=1上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3，0) 連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程. 【解析】設(shè)P(x，y)，M(

14、x0，y0)， 因?yàn)镻為MB的中點(diǎn)，所以 即 又因?yàn)镸在曲線x2+y2=1上，所以(2x-3)2+4y2=1. 所以P點(diǎn)的軌跡方程為(2x-3)2+4y2=1.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線l:2x+4y+3=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q分線段OP為12兩部分，則Q點(diǎn)的軌跡方程是() A.2x+4y+1=0B.2x+4y+3=0 C.2x+4y+2=0D.x+2y+1=0,【解析】選A.設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 又Q分OP所成的比為 ，即= 所以(x，y)= (x-x，y-y)， 所以 得 又P(x，y)在2x+4y+3=0上， 所以2(3x)+4(3y)+3=0，

15、即2x+4y+1=0. 故點(diǎn)Q的軌跡方程是2x+4y+1=0.,【易錯(cuò)誤區(qū)】求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)對(duì)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件考慮 不全致誤 【典例】已知ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，c，b成等差數(shù)列，acb，|AB|=2，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為.,【解析】以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角 坐標(biāo)系，如圖，則A(-1，0)，B(1，0)， 設(shè)C(x，y)， 因?yàn)閍，c，b成等差數(shù)列， 所以a+b=2c，即|AC|+|BC|=2|AB|， 故 =4， 化簡(jiǎn)整理得:3x2+4y2=12. 由于ab，即,解不等式得x0， 又C不能在x軸上，所以x-2， 所以3x2+4y2=12(x0且x-2)是所求的軌跡方程. 答案:3x2+4y2=12(x0且x-2),【常見(jiàn)誤區(qū)】,【防范措施】 重視題目中的隱含條件 求軌跡方程時(shí)雖能寫出方程，但易產(chǎn)生增點(diǎn)或丟點(diǎn)現(xiàn)象，進(jìn)而求錯(cuò).所以在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，一定要注意題目中的限制條件，特別是隱含條件.如本例易忽略隱含條件C不在x軸上而致錯(cuò).另外三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線；直線斜率不存在的情況；點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離為|