八年級(jí)數(shù)學(xué)《特殊的平行四邊形、梯形》教案

1、特殊的平行四邊形、梯形二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 學(xué)習(xí)重點(diǎn)： （1）理解矩形、菱形、正方形的特性。 （2）理解等腰梯形的特性。 2. 學(xué)習(xí)難點(diǎn)： （1）理解幾種特殊平行四邊形與普通平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系。 （2）理解等腰梯形與平行四邊形、等腰三角形之間的關(guān)系?！镜湫屠}】一. 矩形： 1. 矩形的概念： 有一個(gè)內(nèi)角是直角的特殊的平行四邊形，就是矩形，也就是以前常說的長方形。如圖1： 2. 矩形的特性： 矩形是平行四邊形，因此平行四邊形所有的性質(zhì)，矩形都有，但矩形是特殊的平行四邊形。因此，它還有一些特性。 （1）矩形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線，因此可知矩形有兩條對(duì)稱軸。 （2）矩形的

2、四個(gè)角都是直角。 實(shí)際上，如圖1所示，若BAD是直角，由AD/BC知ABC是直角，由AB/DC知ADC是直角。同理可知，DCB是直角，故矩形四個(gè)角都是直角。 （3）矩形的對(duì)角線相等且互相平分。 矩形是平行四邊形，故其對(duì)角線互相平分。 在圖中，矩形的四個(gè)角是直角，如果繞著對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)將其旋轉(zhuǎn)COD的度數(shù)，AC與BD將會(huì)重合，故其長度相等。 例1. 矩形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，且AOD120，證明：AC2AB。 證明：在AOD中，AOD120，故其補(bǔ)角AOB60 即有OAOB 而AOB60 故AOB是等邊三角形 有OAOBAB 故AC2AO2AB 3. 矩形的識(shí)別方法： （1）

3、如果在一個(gè)平行四邊形中，能找到一個(gè)角是直角，則其是矩形。 如圖3，先判定四邊形ABCD是平行四邊形，再判定其中有一個(gè)角是直角。 （2）如果在一個(gè)平行四邊形中，其對(duì)角線相等，則此平行四邊形是矩形。 如圖3，如果在平行四邊形ABCD中，有ACBD，則平行四邊形ABCD是矩形。 （3）如果在一個(gè)四邊形中，有三個(gè)角是直角，則此四邊形是矩形。 如圖3，如果在四邊形ABCD中，ABC，ADC，CBA，CBA，CDA中有三個(gè)角是直角，則四邊形ABCD是矩形。 例2. 說明：平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角的平分線圍成的四邊形是矩形。 分析：此題應(yīng)先作圖，再寫已知，最后說明。 已知：如圖4所示，在平行四邊形ABCD中，A

4、E、BF、CN、DM分別是DAB、ABC、BCD、CDA的平分線。 說明：四邊形HGOK是矩形 解：在平行四邊形ABCD中，AB/CD 所以DABADC180 因?yàn)锳E、DM是DAB、ADC的平分線 所以1290，所以AKD90 所以O(shè)KH90 同理，AOGCHD90 故四邊形HGOK是矩形二. 菱形： 1. 菱形的概念： 四條邊都相等的平行四邊形就是菱形，如圖5所示，四邊形ABCD就是菱形。 菱形即是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為它的對(duì)角線所在的直線，共有兩條對(duì)稱軸。 2. 菱形的性質(zhì)： （1）菱形的對(duì)角線互相垂直平分 如圖5所示，在菱形ABCD中，AOOC，OBOD，且ACBD。

5、（2）菱形的兩條對(duì)角線將其分成四個(gè)完全相等的三角形。 如圖5所示：在菱形ABCD中，ABO、BCO、CDO、ADO是全等的，故四個(gè)小三角形的面積也相等。 例3. 如圖6所示，在菱形ABCD中，BAD2B，試說明ABC是等邊三角形。 解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ABBC 又BBAD180 而BAD2B 故B60 在等腰ABC中，B60 故ABC是等邊三角形 3. 菱形的識(shí)別方法： （1）用定義識(shí)別：四條邊都相等的四邊形是菱形。 如圖5，如果在四邊形ABCD中，ABBCCDDA，則四邊形ABCD是菱形。 （2）對(duì)角線識(shí)別： 如果平行四邊形的對(duì)角線互相垂直平分，則四邊形ABCD是菱形。 如圖5

6、，在平行四邊形ABCD中，如果ACBD，則四邊形ABCD是菱形。 （3）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 如圖5，在平行四邊形ABCD中，如果ABAD，或ADDC，或DCCB，或CBAB，則四邊形ABCD是菱形。 例4. 如圖7，AD是ABC的角平分線，DE/CA交AB于E，DF/BA交AC于F。 求證：四邊形AEDF是菱形 證明：在四邊形AEDF中， 因DE/AC，故DE/AF 因DF/AB，故DF/AE 所以四邊形AEDF是平行四邊形 又AD平分BAC，12 而AB/DF，知1ADF 故2ADF AFD是等腰三角形，AFDF 由識(shí)別方法3知，四邊形AEDF是菱形。三. 正方形： 正方形是

7、以前早就認(rèn)識(shí)的特殊圖形，在正方形中，四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，所以正方形可以看作： 有一角是直角的菱形。 有一組鄰邊相等的矩形。 它擁有菱形、矩形的一切特性。 正方形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，它共有四條對(duì)稱軸。 在正方形中，對(duì)角線之間的夾角是90，對(duì)角線與邊的夾角是45。 例5. 如圖8，四邊形ABCD是正方形，延長BC到點(diǎn)E，使CEAC，連結(jié)AE，交CD于F，求AFC的度數(shù)。 解：在正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，故ACB45 而ACCE，故CAECEA，且CAECEABCA45 故E22.5 而AFC是CEF的一個(gè)外角 故AFCEFCE22.590112.5四. 梯形： 1.

8、定義： 只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫梯形，即梯形中有一組對(duì)邊不平行，兩腰相等的梯形是等腰梯形，有一個(gè)角是直角的梯形是直角梯形。 實(shí)際上，梯形可以看作是由一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形組合而成。 如圖9所示，梯形ABCD可看作由平行四邊形ABED和DEC組合而成。 另外，梯形也可看作是過三角形一邊上一點(diǎn)作另一邊平行而得到的，如圖10。在ABC中，DE/BC，可知四邊形BCED是梯形。 2. 等腰梯形的性質(zhì)： （1）等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)底角相等。 如圖11，在等腰梯形ABCD中，BADADC，ABCBCD。 （2）等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。 在圖11中，如果四邊形ABCD是等腰梯形，則有ACBD。

9、例6. 如圖12，延長等腰梯形ABCD的兩腰BA與CD，相交于點(diǎn)E，試說明EBC和EAD都是等腰三角形。 解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，所以BC。 在EBC中，有EBEC 因此，EBC是等腰三角形 又ABDC 故EBABECDC 即EAED 故EAD是等腰三角形 例7. 如圖13，在等腰梯形ABCD中，AB/DC，CE/DA，已知AB8，DC5，DA6，求CEB的周長。 解：因?yàn)锳B/DC，CE/DA，故四邊形AECD是平行四邊形 從而CEDACB6，AEDC5 EBABAE853 于是CEB的周長為CEEBBC63615 例8. 如圖14，梯形ABCD中，AD/BC，B50，C80，試說

10、明BCADCD。 解：過點(diǎn)A作AE/DC交BC于E 所以，AEBC80 又B50 故BAE180508050 BAEB，AEBE 又AD/BC，故AD/EC 四邊形ADCE是平行四邊形，ADEC，AEDC 故BCADBCECBEAEDC本課小結(jié) 1. 本課主要講解了矩形、菱形、正方形、梯形的特殊性質(zhì)及矩形、菱形、正方形的識(shí)別方法，在整個(gè)過程中主要以基礎(chǔ)知識(shí)為主，希望同學(xué)們掌握這些特殊圖形的基礎(chǔ)知識(shí)。 2. 本課另外還研究了矩形、菱形、正方形及梯形之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)引起重視。【模擬試題】 1. 矩形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于O，過頂點(diǎn)C作BD的平行線與AD的延長線相交于

11、點(diǎn)E，試說明ACE是等腰三角形。 2. 如圖，菱形ABCD中，AEBC于E，若BAE20，試求EAC的度數(shù)。 3. 在RtABC中，CF是直角平分線，F(xiàn)DCA于D，F(xiàn)ECB于E，四邊形CDFE是什么四邊形？為什么？ 4. 在梯形ABCD中，AB/CD，ADBC，延長AB至E，使BEDC。 求證：ACCE 5. 從菱形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)分別向各邊作垂線，說明：連結(jié)垂足的四邊形是矩形?！驹囶}答案】 1. 解：在矩形ABCD中，ACDB，故 即，有ODAOAD 同理，OCBOBC 又AD/CB，ADOOBC 故ADODAO 而EC/DB，故EADO 所以EDAOEAC EAC是等腰三角形 2. 解：

12、因AEBC，而BAE20 故在三角形BAE中，B70 又四邊形ABCD是菱形，故BABC，BACBCA 又BAE20 故EAC35 3. 解：在四邊形CDFE中， FDCA，故FDC90 FECB，故FEC90 又ECD90 故四邊形FECD是矩形 又CF是ECD是角平分線，故 ECF45，CEF90 故CFE45 CEF是等腰三角形，ECEF 故四邊形EFDC是正方形 4. 證：在四邊形BEDC中，BEDC，又BE/DC 故四邊形BEDC是平行四邊形 有CEBD 而在梯形ABCD中，ADBC，故BDAC 所以CEAC 5. 解：在菱形ABCD中BD、AC是對(duì)角線，故AC平分BAD 即EAONAO 又