自動控制原理5(3).ppt

1、,5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù),重點(diǎn)： 奈氏判據(jù) 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù),難點(diǎn)： 奈氏判據(jù) 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù),5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù),頻域穩(wěn)定判據(jù)：奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（奈氏判據(jù)）和對數(shù)穩(wěn) 定判據(jù)。,奈氏判據(jù)是根據(jù)開環(huán)幅相曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準(zhǔn)則； 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)本質(zhì)上和奈氏判據(jù)沒有什么區(qū)別，根據(jù)開環(huán)系統(tǒng) 的對數(shù)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點(diǎn)： 應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)穩(wěn)定性； 便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響； 很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 奈氏判據(jù)稍加推廣還可以用來分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,基本思想：利用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。 一.預(yù)備知識輔助函數(shù),

2、5.4.1 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),如圖所示的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,分母為n階 分子為m階（nm）,可知：N（s）+M（s）和N（s）分別為閉環(huán)和開環(huán)特征多 項(xiàng)式，于是定義兩者之比為輔助函數(shù)F（s），即,實(shí)際系統(tǒng)傳遞函數(shù)G（s）分母階數(shù)nm，因此輔助函數(shù)的分 子、分母同階，即其零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)相等。設(shè)有n個極點(diǎn)和n 個零點(diǎn)。 輔助函數(shù)可表示為：,輔助函數(shù)具有的特點(diǎn)： （1）輔助函數(shù)F（s）是閉環(huán)特征多項(xiàng)式和開環(huán)特征多項(xiàng)式 之比，其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為閉環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)。 （2）F（s）的零點(diǎn)和極點(diǎn)的個數(shù)相同，均為n個。 （3）F（s）與開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）之間只差常量1。

3、 F（s）=1+G（s）的幾何意義為：F平面上的坐標(biāo)原點(diǎn) 就是G平面上的（-1，j0）點(diǎn)。,二.預(yù)備知識幅角定理 由復(fù)變函數(shù)可知，對S復(fù)平面上除奇點(diǎn)外的任一點(diǎn)，經(jīng) 過復(fù)變函數(shù)F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到對應(yīng)的象。設(shè)輔助函數(shù)F(s)是復(fù)變量s的單值有理復(fù)變函數(shù)，由復(fù)變函 數(shù)理論可知如果函數(shù)F(s) 在s平面上指定閾內(nèi)是非奇異的， 那么對于此區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)都可以通過F(s)的映射關(guān)系在 F(s)平面上找到一個相應(yīng)的點(diǎn)，對于s平面上的任意一條不通 過F(s)奇異點(diǎn)的封閉曲線，也能通過映射關(guān)系在F(s)平面找 到一條與它相對應(yīng)的封閉曲線。,5.4.1 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),映射定理,假設(shè)復(fù)變

4、函數(shù)F(s)是s的單值解析函數(shù)，那么對于s平面上的任一點(diǎn)，在F(s)平面上必定有一個對應(yīng)的映射點(diǎn)。,設(shè)s為一復(fù)數(shù)變量，F(xiàn)(s) 是s的有理分式函數(shù)，設(shè)其形式為,如果在s平面畫一條封閉曲線，并使其不通過F(s)的任一奇點(diǎn)，則在F(s)平面上必有一條對應(yīng)的映射曲線。,設(shè)輔助函數(shù),令：s從 開始沿任一閉合路徑s （不經(jīng)過F(s)的零點(diǎn)和極 點(diǎn)）順時針旋轉(zhuǎn)一圈，F(xiàn)(s)的相角變化情況如下： 零點(diǎn)(-Zi) 極點(diǎn)(-Pj) 1) Zi在s外。 2) Pj在s外。 結(jié)論：相角無變化 1) Zi在s內(nèi)， 。(順時針 ) 2) Pj在s內(nèi)， 。(逆時針) 結(jié)論：若F(s)在s中有Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)，則當(dāng)s沿s

5、順時 針方向旋轉(zhuǎn)一圈時， F(s) 相角有變化（順時針）：,幅角定理： F(s)是s的單值有理函數(shù)，在s平面上任一閉合路徑包圍了F(s)的Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)，并且不經(jīng)過F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)s沿閉合路徑順時針方向旋轉(zhuǎn)一圈時，映射到F(s)平面內(nèi)的F(s)曲線順時針繞原點(diǎn)（Z P）圈。即 R=Z-P （或逆時針繞原點(diǎn)R= P - Z圈） 其中：R為圈數(shù)，正、負(fù)表示的旋轉(zhuǎn)方向：逆時針為正，順時針 為負(fù)。,三.奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù) 1奈氏路徑 為了確定輔助函數(shù)位于右半s平面內(nèi)的零、極點(diǎn)數(shù)。將封閉曲線 擴(kuò)展為整個右半s平面。順時針方向包圍整個s右半面。曲線由 3段構(gòu)成。 段：正虛軸sj頻率 由0

6、變化到 段：半徑為無限大的右邊圓sRej ，由/2變化到/2 段：負(fù)虛軸sj頻率 由變化 到0,s平面,2. 奈氏判據(jù) 設(shè)： 顯然：F(s) 的零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。 (1) 1G(S)平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析(F平面） 假如s沿著奈氏路徑繞一圈，根據(jù)幅角定理，F(xiàn)(s)平 面上繪制的F(s)曲線F逆時針方向繞原點(diǎn)的圈數(shù)R則 為F(s)在s右半開平面內(nèi)極點(diǎn)個數(shù)P與零點(diǎn)個數(shù)Z之 差： R= P - Z 當(dāng)Z=0時，說明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)在s右半開平 面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。,（2）G(s)平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析-奈氏判據(jù) 因1+ G(s) 與G(s) 相差1，所以系統(tǒng)穩(wěn)定性可

7、表述為： 奈氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿著奈氏路徑繞 一圈，G(j)曲線逆時針繞（-1，j0）點(diǎn)的P圈。 P為G(s)位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 a.若P=0，且 R=0，即G曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán) 系統(tǒng)穩(wěn)定； b.若P0，且R=P，即G曲線逆時針繞（-1，j0）點(diǎn)P圈，則 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 不穩(wěn)定系統(tǒng)分布在s右半平面極點(diǎn)的個數(shù)可按下式求取： Z=PR c.若G曲線通過（-1，j0）點(diǎn)L次，則說明閉環(huán)系統(tǒng)有L個極 點(diǎn)分布在s平面的虛軸上。,注意： 1）繪制開環(huán)頻率特性曲線后，將曲線右移一個單位，并 取其鏡像，則稱為F平面上的封閉曲線。 2）通常情況下，在實(shí)際

8、的系統(tǒng)分析中，一般只繪制開環(huán)幅相 特性曲線而不繪制其鏡像曲線，則有： R=2N (N為開環(huán)幅相曲線包圍G平面上（1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)） 則G平面上的奈氏判據(jù)為: Z=P-2N,例5.5 一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 當(dāng) 變化時， 系統(tǒng)的幅相曲線如圖所示。 因?yàn)橄到y(tǒng)有一個開環(huán)極點(diǎn)位于s的右 半平面，即：P=1。 圖中奈氏曲線是逆時針方向繞（-1，j0）點(diǎn)的1圈，即 R=1。 根據(jù)奈氏判據(jù), 閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點(diǎn)數(shù) Z=P-R=1-1=0 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。,例5.5,已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解:作出開環(huán)幅相頻率特性曲線，如圖

9、所示。,正向包圍,點(diǎn)半圈，即,，故,，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,由圖可見，,；由,可知開環(huán)是不穩(wěn)定的，有一個正根，即,特殊情況：,特殊情況：,如果開環(huán)傳遞函數(shù)中包含有,個積分環(huán)節(jié)，則繪制開環(huán)幅,開始順時針轉(zhuǎn),90,為止的半徑為無窮大的一段圓弧。然后用增補(bǔ)后的,相頻率特性曲線后，必須增補(bǔ)從,到,開環(huán)幅相頻率特性曲線來分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定 。,奈氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿著奈氏路徑繞 一圈，G0(j)H(j)曲線逆時針繞（-1，j0）點(diǎn)的P圈。 Z=PR P 為G0(s)H(s)位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)； R G0(j)H(j)曲線逆時針繞（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)； Z 閉環(huán)系統(tǒng)位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)

10、。,例5.6 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ： 解: 先作+j 0到+j時的 G(j)H(j)曲線。再根 據(jù)對稱性，作出-j 0到 -j時的G(j)H(j)曲線。,題中 ，即當(dāng)s從- j0轉(zhuǎn)到+j0時， G(j)H(j) 曲線以半徑為無 窮大，順時針轉(zhuǎn)過角（虛 線）。并可求得， = 1時， G(j)H(j)與實(shí)軸交 。 從圖可見，G(s)H(s)的奈氏 曲線順時針繞 ( -1, j0 ) 點(diǎn)一 圈，N =-1，又因?yàn)镻 =0， 所以 Z = P - N=1， 說明為不穩(wěn)定系統(tǒng)，有一個 閉環(huán)極點(diǎn)在s的右半平面。,例5.7 分析如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)中， T5T1T2、T3和T4 解：若某K值下G

11、H曲線如圖， 因N=0，且P=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。 1. K增大，使（-1，j0）位于 c、d間，曲線順時針包圍 （-1，j0）兩圈，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 2. K減小，使（-1，j0）位于 a、b之間，曲線順時針包圍 （-1，j0）點(diǎn)兩圈，系統(tǒng)仍不 穩(wěn)定。 K再減小，使（-1，j0） 點(diǎn)位于a點(diǎn)左邊，那么閉環(huán)系 統(tǒng)又穩(wěn)定了。這樣的系統(tǒng)稱為 條件穩(wěn)定系統(tǒng)。即要使系統(tǒng)穩(wěn)定，K必須滿足一定的條件。,3.一種簡易的奈氏判據(jù) （1）正、負(fù)穿越的概念 G0(j)H(j)曲線對稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫 部分。 所謂“穿越”是指 軌跡穿過 段。 正穿越：從上而下穿過該段一次（相角增加），用 表示。 負(fù)穿越：由下而上穿過該段一次

12、（相角減少），用 表示。 正穿越 負(fù)穿越,（2）若G(j)H(j)軌跡起始或終止于(-1, j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+1/2次穿越和-1/2次穿越。,（3）如果G0(j)H(j)按逆時針方向繞(-1, j0) 一周，則必正穿越一次。反之，若按順時針方向包圍點(diǎn)(-1, j0) 一周，則必負(fù)穿越一次。這種正負(fù)穿越之和即為G0(j)H(j)包圍的圈數(shù)。故奈氏判據(jù)又可表述為：,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng) 由0變化到 時，G0(j)H(j)曲線在（-1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上的正負(fù)穿越之和為 P/2 圈。 P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。此時 Z=P-2NP-2(N+-N-

13、) 若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)分布在S右半平面，即 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是N=0： 注意：這里對應(yīng)的變化范圍是 。,例5.8 某系統(tǒng)G0(j)H(j)軌跡如下，已知有2個開環(huán)極點(diǎn)分 布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：系統(tǒng)有2個開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面（P=2）， G0(j)H(j)軌跡在點(diǎn)(-1, j0)以左的負(fù)實(shí)軸有2次正穿越，1次負(fù)穿越，因?yàn)椋篘= , 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。,例5.9: 兩系統(tǒng)取一半奈氏曲線，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解: (a) : N= N+ - N =（0-1）= -1，且已知P =0，所以 Z=P-2N=2 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (

14、b) ：K1時，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，且已知P=1， 所以 Z= P-2N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； K1時， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1， 所以 Z= P-2N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定； K=1時，奈氏曲線穿過 (-1,j0) 點(diǎn)兩次，說明有兩個根在虛軸上，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。,奈氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿著奈氏 路徑繞一圈，G0(j)H(j)曲線逆時針繞（-1，j0） 點(diǎn)P圈。 Z=PR P 為G0(s)H(s)位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)； R G0(j)H(j)曲線逆時針繞（-1，j0）點(diǎn)圈數(shù)； Z 閉環(huán)系統(tǒng)位于s右半平面的極點(diǎn)

15、數(shù)。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng) 由0變化到 時， G0(j)H(j)曲線在（-1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上的正 負(fù)穿越之和為 P/2 圈。,?,四. 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù),將奈氏穩(wěn)定判據(jù)引申到Bode圖上，以Bode圖的形式 表現(xiàn)出來，就成為對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。 確定開環(huán)頻率特性的奈氏圖與Bode圖的關(guān)系： （1）奈氏圖上|G(j)|=1的單位圓與Bode圖上0dB線相對應(yīng)。單位圓以外部對應(yīng)于L()0,單位圓內(nèi)部對應(yīng)于 L()0。 （2）奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對應(yīng)于Bode圖上的()=180線。,極坐標(biāo)圖伯德圖 單位圓0db線（幅頻特性圖） 單位圓以內(nèi)區(qū)域0db線以下區(qū)域 單位圓以外區(qū)域0db線以上區(qū)域 負(fù)實(shí)軸

16、-180線（相頻特性圖） 因此，奈氏曲線自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸，相當(dāng)于在伯德圖中當(dāng)L()0db時相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越-180線。,例5.10：某系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點(diǎn)在S右半平面（P=2） N+- N-=1-2= -1 不等于P/2（=1） 所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,5.5 穩(wěn) 定 裕 度,5.5.1 相對穩(wěn)定性的概念 在工程應(yīng)用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會引起系統(tǒng)參數(shù)的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數(shù)時，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性問題

17、。 人們常用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j)H(j)與GH平面 上與（-1，j0）點(diǎn)的靠近程度來表征閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。一般來說，G(j)H(j)離開（-1，j0）點(diǎn)越遠(yuǎn)，則穩(wěn)定程度越高；反之，穩(wěn)定程度越低。,接近程度是以相角裕度和幅值裕度來表示。 相角裕度和幅值裕度是系統(tǒng)開環(huán)頻率指標(biāo)，它與閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性密切相關(guān)。 5.5.2 穩(wěn)定裕度的定義 一、相角裕度（相位裕量） 增益剪切頻率 ：指開環(huán)頻率特性G(j)H(j） 的幅值等于1時的頻率，即 在控制系統(tǒng)的增益剪切頻率c上，使閉環(huán)系統(tǒng) 達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相移（超前或遲后相 移）量，稱為系統(tǒng)的相角裕度，記作。,相位裕量： 當(dāng)0時，相位裕量 為正

18、，系統(tǒng)穩(wěn)定； ,結(jié)論： 一般而言 L(c)處的斜率為20dB/dec時，系統(tǒng)穩(wěn)定。 L(c)處的斜率為40dB/dec時，系統(tǒng)可能穩(wěn)定，也可能不穩(wěn)定，即使穩(wěn)定， 也很小。 L(c)處的斜率為60dB/dec時，系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。 為了使系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕量， L()在c處的 斜率為20dB/dec。,2、幅值裕度 在系統(tǒng)的相位剪切頻率g（g0）上，開環(huán)頻率特性幅值的倒數(shù)，稱為控制系統(tǒng)的幅值裕度，記作h，即 以分貝表示時 h大于1，則幅值裕度為正值，系統(tǒng)穩(wěn)定。 h小于1，則幅值裕度為負(fù)值,系統(tǒng)不穩(wěn)定。,對于最小相角系統(tǒng)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，要求相角裕度大于零，幅值裕度大于1（20lgh0）。 一般說來

19、為了得到滿意的性能，相位裕量應(yīng)當(dāng)在 30 60之間，而增益裕量應(yīng)當(dāng)大于6dB。,相角裕度的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)在截至頻率c處若再滯后一個 角度，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，若相角滯后大于，則系統(tǒng)將變 成不穩(wěn)定的。 幅值裕度的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)增益再增大h倍，則 g處的幅值等于1，曲線正好通過（1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)處于 臨界穩(wěn)定狀態(tài)，若開環(huán)增益增大h倍以上，則系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定。 h又可稱為增益裕量。,5.5.3 穩(wěn)定裕度的計算 通常有三種求解系統(tǒng)相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、極坐標(biāo)圖法和伯德圖法。 1. 解析法 例 5.11 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求出該系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度。,解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 其幅頻特性和相頻特性分別是,令 ，得 令 ,得 則,2. 極坐標(biāo)圖法 在GH平面上作出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖，并作一單位圓，由單位圓與開環(huán)頻率特性的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線與負(fù)實(shí)軸的夾角求出相角裕度 ；由開環(huán)頻率特性與負(fù)軸交點(diǎn)處的幅值 的倒數(shù)得到幅值裕度h。,在上例中，先作出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線如圖所示，作單位