高中數(shù)學(xué) 立體幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教B版必修

1、立體幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)-空間角的求法一、 知識(shí)梳理（一）異面直線(xiàn)所成的角：定義：已知兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作直線(xiàn)，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線(xiàn)所成的角（或夾角）為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)通常取在異面直線(xiàn)的一條上理解說(shuō)明：（1）平移法：即根據(jù)定義，以“運(yùn)動(dòng)”的觀(guān)點(diǎn)，用“平移轉(zhuǎn)化”的方法，使之成為相交直線(xiàn)所成的角。（2）異面直線(xiàn)所成的角的范圍：（3）異面直線(xiàn)垂直：如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，則叫兩條異面直線(xiàn)垂直兩條異面直線(xiàn) 垂直，記作（4）求異面直線(xiàn)所成的角的方法：（1）通過(guò)平移，在一條直線(xiàn)上找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)做另一直線(xiàn)的平行線(xiàn)；（2）找出與一條直線(xiàn)平行且與另一條相交的直線(xiàn)，那

2、么這兩條相交直線(xiàn)所成的角即為所求5.向量法： （二）直線(xiàn)和平面所成的角1線(xiàn)面角的定義：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角2、記作：； 3、范圍：0，；當(dāng)一條直線(xiàn)垂直于平面時(shí)，所成的角，即直線(xiàn)與平面垂直；當(dāng)一條直線(xiàn)平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0。3.求線(xiàn)面角的一般步驟： （1）經(jīng)過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)作面的垂線(xiàn)；（2）找出斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，從而找出線(xiàn)面角；（3）解直角三角形。，4.設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條斜線(xiàn)，則AB與平面所成的角：所以（三）二面角1.二面角的平面角：（1）過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線(xiàn)，則叫做二面角的平面角（2）一

3、個(gè)平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線(xiàn)分別為為垂足，則也是的平面角說(shuō)明：（1）二面角的平面角范圍是；（2）二面角的平面角為直角時(shí)，則稱(chēng)為直二面角，組成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特點(diǎn)：1）角的頂點(diǎn)在棱上 ；2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi) ；3）角的邊都要垂直于二面角的棱。2、作二面角的平面角的常用方法：、點(diǎn)P在棱上作垂直于棱的直線(xiàn)（如圖1） ；、點(diǎn)P在一個(gè)半平面三垂線(xiàn)定理法；（如圖2）、點(diǎn)P在二面角內(nèi)垂面法。（如圖3）（圖1） （圖2） （圖3）3.二面角的計(jì)算：1、找到或作出二面角的平面角；2、證明 這個(gè)角就是所求的角；3、計(jì)算出此角的大小 。一“作”二“證”三“計(jì)算”（

4、幾何法作二面角的平面角）（1）觀(guān)察在兩個(gè)半平面內(nèi)是否有與棱垂直的直線(xiàn)；（2）觀(guān)察兩個(gè)半平面的幾何特征（如：等腰三角形、正三角形等）POQ（3）若兩個(gè)半平面內(nèi)除棱以外的點(diǎn)P所在的第三個(gè)平面與其中一半平面垂直，則可用三垂線(xiàn)定理作二面角的平面角，如圖所示； （4）若能在其中一半平面內(nèi)找到另一半平面的射影圖形，也可用射影面積法求二面角的平面角； 4.利用法向量求解：設(shè)是平面的法向量，是平面的法向量?jī)蓚€(gè)平面的二面角如圖1所示的示意圖，則與之間的夾角就是欲求的二面角；若兩個(gè)平面的二面角如圖2所示的示意圖，設(shè)與之間的夾角為則兩個(gè)平面的二面角為 （圖1） （圖2）【應(yīng)用注意】（1）用法向量求二面角時(shí)，首先必須

5、判斷二面角是銳角還是鈍角。（2）由余弦定理求出：?！绢}型分析】題型一 求異面直線(xiàn)所成的角例1：正方體ABCDA1B1C1D1中，（1） 求AC與A1D所成角的大小； （2）若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小.練習(xí)1.如圖, 正方體ABCDA1B1C1D1中, 異面直線(xiàn)A1B與AD1所成角的余弦值為 ；異面直線(xiàn)A1B與DC1所成角為 ；異面直線(xiàn)A1B與CC1所成角為 。2在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3求異面直線(xiàn)A1B與B1C所成角的余弦值。 3如圖，在四棱錐PABCD中，PO底面ABCD， O為AD中點(diǎn),側(cè)棱PAPD=,底面ABCD為

6、直角梯形，其中BCAD,ABAD, AD=2AB=2BC=2，.(1)求異面直線(xiàn)PB與CD所成角的余弦值；題型二 求線(xiàn)面角例2：如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中，求直線(xiàn)BC1與平面ABCD所成角的大小。練習(xí)1：在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中點(diǎn)求直線(xiàn)DE與平面ABCD所成角的大?。ㄓ萌呛瘮?shù)值表示） 題型三 二面角例1 在空間四邊形PABC中，PB=BC=AB=4,PC=3,求二面角P-AB-C的大小。ADBCP練習(xí)1：已知ABCD是正方形，PA平面ABCD,且PA=AD=1,求面PAB與面PCD所成的二面角的大小。練習(xí)2：如圖正方體ABCDA1B1C1D1中

7、，棱長(zhǎng)為1，（1） 求二面角的大??；（2）求二面角的大小。CDABA1B1C1D1練習(xí)3.如圖，三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜邊AC的中點(diǎn)O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。OABPC練習(xí)4.在直三棱柱中，BB1=BC=AB=4,且，E為CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)在BB1上，且，求平面AEF與平面ABC所成的角。ACBA1B1C1FE鞏固練習(xí)：1正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1底面邊長(zhǎng)是1，側(cè)棱長(zhǎng)是，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線(xiàn)E1D與BC1所成的角是（ ）A90 B60 C45 D302如圖S為正三角形所在平面ABC外一點(diǎn)，且SASBSCA

8、B，E、F分別為SC、AB中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與SA所成角為（ ）A90 B60 C45 D303把正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，當(dāng)點(diǎn)D到平面ABC的距離最大時(shí)，直線(xiàn)BD和平面ABC所成角的大小為 （ ）A90 B60 C45 D304PA、PB、PC是從點(diǎn)P引出的三條射線(xiàn)，每?jī)蓷l射線(xiàn)的夾角均為60，則直線(xiàn)PC與平面APB所成角的余弦值是（ ）A B C D5已知ABC中，AB2，BC1，ABC120，平面ABC外一點(diǎn)P滿(mǎn)足PAPBPC2，則三棱錐PABC的體積是（ ）A B C D6PA、PB、PC是從點(diǎn)P引出的三條射線(xiàn)，每?jī)蓷l射線(xiàn)的夾角均為60，則二面角APB-C所成角的余弦值是（ ）A B C D7.設(shè)是直二面角，則 。8.已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_9在直三棱柱中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4，D是AB的中點(diǎn)。（1）求證：ACBC （2）求證：平面CDB . (3) 求異面直線(xiàn)與BC所成角的余弦值。10.在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，ADCD,且DB平分ADC,E為PC的中點(diǎn)，AD=CD=1，DB=2. (1)證明：PA平面BDE . (2)證明：AC平面PBD （3）求直線(xiàn)BC與平面PBD