高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.1 單調(diào)性學(xué)案 蘇教版選修

1、1.3.1單調(diào)性1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(重點(diǎn))2含有字母參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論，單調(diào)區(qū)間的求解(難點(diǎn))3由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍(易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系閱讀教材P28“例1”以上部分，完成下列問(wèn)題1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)一般地，在某區(qū)間上函數(shù)yf(x)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性f(x)0f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù)f(x)0.()(2)函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)減函數(shù)()(3)函數(shù)f(x)x32x在(1，)上單調(diào)遞增()(4)若存在x(a，b)有f(x)0成立，則函數(shù)f(x)為常數(shù)函數(shù)()【答案】(1)(2)(3)(4)2函數(shù)f(x)

2、(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是_【解析】f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2.【答案】(2，)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_小組合作型判斷(證明)函數(shù)的單調(diào)性(1)求證：函數(shù)f(x)exx1在(0，)內(nèi)是增函數(shù)，在(，0)內(nèi)是減函數(shù)(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上的單調(diào)性【精彩點(diǎn)撥】求出導(dǎo)數(shù)f(x)，然后判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可【自主解答】(1)證明：由于f(x)exx1，所以f(x)ex1，當(dāng)x(0，)時(shí)，ex1，即f(x)ex10.故函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)為增函數(shù)，

3、當(dāng)x(，0)時(shí)，ex1，即f(x)ex10.故函數(shù)f(x)在(，0)內(nèi)為減函數(shù)(2)由于f(x)，所以f(x).由于0x2，所以ln xln 20.故f(x)0.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增函數(shù)1利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)上就是證明f(x)0(或f(x)0，又f(x)(ln xx)1，當(dāng)x0時(shí)，f(x)10，故yln xx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)；(3)f(x)x33x2.【精彩點(diǎn)撥】首先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解不等式得單調(diào)區(qū)間【自主解答】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，

4、)f(x)2x.因?yàn)閤0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由f(x)0，解得x0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，)；由f(x)0，解得x3，又x(，2)(2，)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)和(2,3)(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f(x)3x26x3x(x2)當(dāng)0x0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0(或f(x)0時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f(x)0得x2x20，解得x2，又x0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，)【答案】(2，)探究共研型已知函數(shù)

5、的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍探究1已知函數(shù)f(x)x3ax1為單調(diào)遞增函數(shù)，如何求實(shí)數(shù)a的取值范圍【提示】由已知得f(x)3x2a，因?yàn)閒(x)在(，)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2對(duì)xR恒成立，因?yàn)?x20，所以只需a0.又因?yàn)閍0時(shí)，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函數(shù)，所以a0.探究2若函數(shù)f(x)xln x(aR)在(1，)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍【提示】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1由題意知，f(x)0在(1，)上恒成立，即x2xa0在(1，)上恒成立，令g(x)x2xa2a，則g(x)2a，從而2a0，a2.當(dāng)a2時(shí)，f(x)

6、0在(1，)上恒成立，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，2已知關(guān)于x的函數(shù)yx3axb.(1)若函數(shù)y在(1，)內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)y的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，求a的值【精彩點(diǎn)撥】(1)函數(shù)在區(qū)間(1，)內(nèi)是增函數(shù)，則必有y0在(1，)上恒成立，由此即可求出a的取值范圍(2)函數(shù)y的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，即函數(shù)單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)值為1，由此可解得a的值【自主解答】y3x2a.(1)若函數(shù)yx3axb在(1，)內(nèi)是增函數(shù)則y3x2a0在x(1，)時(shí)恒成立，即a3x2在x(1，)時(shí)恒成立，則a(3x2)最小值因?yàn)閤1，所以3x23.所以a3，即a的取值范圍是(，3(2)令y0，得

7、x2.若a0，則x2恒成立，即y0恒成立，此時(shí)，函數(shù)yx3axb在R上是增函數(shù)，與題意不符若a0，令y0，得x或x.因?yàn)?1，)是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，所以1，即a3.1解答本題注意：可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充要條件是f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.2已知f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法(1)利用集合的包含關(guān)系處理f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的問(wèn)題，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集；(2)利用不等式的恒成立處理f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的問(wèn)題，則f(x)0

8、(f(x)0)在(a，b)內(nèi)恒成立，注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立再練一題3將上例(1)改為“若函數(shù)y在(1，)上不單調(diào)”，則a的取值范圍又如何？【解】y3x2a，當(dāng)a0，函數(shù)在(1，)上單調(diào)遞增，不符合題意當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y在(1，)上不單調(diào)，即y3x2a0在區(qū)間(1，)上有根由3x2a0可得x或x(舍去)依題意，有1，a3，所以a的取值范圍是(3，)構(gòu)建體系1設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖象如圖131所示，則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能是()圖131【解析】當(dāng)x0時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)0，排除，；當(dāng)x0時(shí)，f(x)先增后減再增，對(duì)應(yīng)f(x)先正后負(fù)再正故選.【答案】2下列函數(shù)中，在

9、區(qū)間(1,1)上是減函數(shù)的有_(填序號(hào))y23x2；yln x；y；ysin x.【解析】顯然，函數(shù)y23x2在區(qū)間(1,1)上是不單調(diào)的；函數(shù)yln x的定義域?yàn)?0，)，不滿足題目要求；對(duì)于函數(shù)y，其導(dǎo)數(shù)y0，且函數(shù)在區(qū)間(1,1)上有意義，所以函數(shù)y在區(qū)間(1，1)上是減函數(shù)；函數(shù)ysin x在上是增函數(shù)，所以函數(shù)ysin x在區(qū)間(1,1)上也是增函數(shù)【答案】3函數(shù)f(x)2x39x212x1的單調(diào)減區(qū)間是_【解析】f(x)6x218x12，令f(x)0，即6x218x120，解得1x2.【答案】(1,2)4已知函數(shù)f(x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)【解析】f(x)，由題意得f(x)0在(2，)內(nèi)恒成立，解不等式得a，但當(dāng)a時(shí)，f(x)0恒成立，不合題意，應(yīng)舍去，所以a的取值范圍是.【答案】5已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍【解】h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因?yàn)閔(x)在1,4上單調(diào)遞減，所以x1,4時(shí)，