二重積分的計算方法

1、一、直角坐標(biāo)系中的累次積分法,二、極坐標(biāo)系中的累次積分法,第二節(jié) 二重積分的計算方法,第五模塊二重積分與曲線積分,設(shè) A(x)表示過點 x,任取子區(qū)間 x, x + dx a, b.,且垂直 x 軸的平面,與曲頂柱體相交的截面的面積，,1. 設(shè)積分區(qū)域 D 可用不等式組表示為,如圖所示，,選 x 為積分變量，,x a,b ，,一、直角坐標(biāo)系中的累次積分法,則曲頂柱體體積 V 的微元 dV 為,式中面積函數(shù) A(x) 是一個以區(qū)間 1(x) , 2(x) 為底邊、,以曲線 z= f (x,y)(x 是固定的)為曲邊的曲邊梯形，,其面積可表示為,將 A(x) 代入上式，,則曲頂柱體的體積,于是，二

2、重積分,公式稱為先積 y (也稱內(nèi)積分對 y)后積 x (也稱外積分對 x )的累次積分公式.,它通常也可寫成,這結(jié)果也適用于一般情形.,2. 設(shè)積分區(qū)域 D 可用不等式組表示為,如右圖，則,首先在 xy 平面上畫出所圍成的區(qū)域 D .,若是先積 y 后積 x 時，,得投影區(qū)間a, b，,則把區(qū)域 D 投影到 x 軸上，,在 a, b 上任意確定一個 x ，,這時 a 就是對 x 積分(外積分)的下限，,b 就是對 x 積分(外積分)的上限；,過 x 畫一條與 y 軸平行的直線，,假定它與區(qū)域 D 的邊界曲線(x = a, x = b 可以除外)的交點總是不超過兩個(稱這種區(qū)域為凸域).,把二

3、重積分化為累次積分，其上下限的定法可用如下直觀方法確定：,且與邊界曲線交點縱坐標(biāo)分別為 y = 1(x) 和 y = 2(x)，,如果 2(x) 1(x)，,那么 1(x)就對 y 積分(內(nèi)積分)的下限，,2(x) 就是對 y 積分(內(nèi)積分)的上限.,類似地，先積 x (內(nèi)積分)后積 y (外積分)時的定限方法如右圖所示.,如果區(qū)域不屬于凸域，把 D 分成若干個小區(qū)域，使每個小區(qū)域都屬于凸域，那么 D 上的二重積分就是這些小區(qū)域上的二重積分的和.,兩種不同次序的累次積分，,其中 D 是由 x = a,x = b,y = c,y = d,(a b, c d) 所圍成的矩形區(qū)域 .,解,畫出積分區(qū)

4、域 D 如圖.,如果先積 y 后積 x，,則有,如果先積 x 后積 y ，則可得,例 2,試將 化為兩種不同次序的累次 積分，,其中 D 是由 y = x，y = 2 - x 和 x 軸所圍成的區(qū)域.,解 首先畫出積分區(qū)域 D 如圖，,并求出邊界曲線的交點(1, 1)、(0, 0) 及 (2, 0).,如果先積 x 后積 y ， 則為,其中 D 是拋物線 y2 = x 與直線 y = x - 2 所圍成的區(qū)域.,例 3,計算二重積分,解 畫出積分區(qū)域 D 如圖，,并求出邊界曲線的交點 (1, -1) 及 (4, 2)，,由圖可見，,先積 x (內(nèi)積分) 后積 y (外積分)較為簡便.,由定限示

5、意圖有,=,例 4,計算,其中 D 是由直線 y = x , y = 1 與 y 軸所圍成 .,解 畫出積分區(qū)域 D，,作定限示意圖，,并求出邊界曲線的交點 (1, 1) , (0, 0) 及 (0, 1)， 則,即 x = 常數(shù)和 y = 常數(shù)，,二、極坐標(biāo)系中的累次積分法,在直角坐標(biāo)系中，用平行于 x 軸和平行于 y 軸的兩族直線，,把區(qū)域 D 分割成許多子域.,這些子域除了靠邊界曲線的一些子域外，,絕大多數(shù)都是矩形域(如圖).,(當(dāng)分割更細時，這些不規(guī)則子域的面積之和趨向于 0. 所以不必考慮).,于是，圖中陰影所示的小矩形 i 的面積為,因此， 在直角坐標(biāo)系中的面積元素可記為,而二重積

6、分可記為,和 r = 常數(shù)的兩族曲線，,在極坐標(biāo)系中，,我們可用 = 常數(shù),和另一族圓心在極點的同心圓，,即一族從極點發(fā)出的射線,這些子域除了靠邊界曲線的一些子域外，,把 D 分割成許多子域，,絕大多數(shù)都是扇形域(如圖).,(當(dāng)分割更細時，這些不規(guī)則子域的面積之和趨向于 0. 所以不必考慮).,于是圖中所示的子域的面積近似等于,以 rd為長，dr為寬的矩形面積，因此在極坐標(biāo)系中的面積元素可記為,于是二重積分的極坐標(biāo)形式為,再通過變換,且邊界方程為 r = r() ，如圖，,實際計算中， 分兩種情形來考慮:,1) 如果原點在積分域 D 內(nèi)，,則二重積分的累次積分為,或?qū)憺? 分別是對 積分(外積

7、分)的下限和上限，,則從原點作兩條射線 = 和 = ( ),2) 如果坐標(biāo)原點不在積分域 D 內(nèi)部，,(如圖)夾緊域 D .,在 與 之間作任一條射線與積分域 D 的邊界交兩點，它們的極徑分別為 r = r1()，r = r2()，,假定 r1( ) r2( )，,那么 r1( ) 與 r2( ) 分別是對 r 積分(內(nèi)積分)下限與上限，,即,例 5,其中 D 是由圓 x2 + y2 = 2Ry 所圍成的區(qū)域 .,并把 D 的邊界曲線 x 2 + y2 = 2Ry 化為極坐標(biāo)方程，,作射線 = 0 與 = 夾緊域 D .,解,在極坐標(biāo)系中畫出區(qū)域 D 如圖，,即為,r = 2Rsin,與域邊界交兩點 r1 = 0，r2 = 2Rsin ，,在 0, 中任作射線,得,并把 D 的邊界曲線化為極坐標(biāo)方程， 即為,例 6,在極坐標(biāo)系中，,計算二重積分,D 是由 x2 + y2 = R12,和 x2 + y2 = R22 (R1 R2 ) 所圍成的環(huán)形區(qū)域在第一象限的部分.,解,在極坐標(biāo)