微分幾何office2003.ppt

1、微 分 幾 何,用微積分方法研究幾何圖形的性質(zhì),包括平面幾何和立體幾何,用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì),代數(shù)幾何 分形幾何 計算幾何 ,返回主目錄,藍色字母代表向量、向量函數(shù)或者矩陣，如 a 、 r (u,v)、A 等 粉紅色字母代表特殊常數(shù)，如圓周率 p 和自然對數(shù)的底數(shù) e 等 黃色字母代表特殊函數(shù)（如正弦函數(shù) sinq 等）、特殊空間（如歐氏空間 R3 、平面R2 和實數(shù)集 R）、特殊向量（如單位坐標(biāo)向量，如 i 、 j 、 k ）或者變換群 字母右上角的撇號代表對一般參數(shù)求導(dǎo)數(shù)，右上角或者頂上的圓點代表對弧長參數(shù)求導(dǎo)數(shù),符號說明,返回主目錄,第一章 預(yù)備知識 第二章 曲線論 第三章 曲

2、面的基本理論 第四章 黎曼曲率張量與測地線 例題選講,主目錄,主目錄,第一章 約16學(xué)時 第二章 約12學(xué)時 第三章 約24學(xué)時 第四章 約18學(xué)時 例題選講 約2學(xué)時 機動 約2學(xué)時 總共大約74學(xué)時 學(xué)習(xí)進度表,學(xué)時分配,返回主目錄,返回主目錄,第一章 預(yù)備知識,微分幾何,第一章 預(yù)備知識,向量代數(shù),向量分析,曲線與曲面的概念,等距變換,本章補充習(xí)題,第一章內(nèi)容概要,本章討論三維歐氏空間的向量代數(shù)、向量微積分、曲線與曲面的解析幾何、等距變換等內(nèi)容，這些內(nèi)容是后面討論曲線曲面的微分幾何時所需要的 本章的重點是第三節(jié)：曲線與曲面的概念這一節(jié)包括曲線與曲面的概念、曲線的法線和曲面的切平面方程 向

3、量代數(shù)包括向量的線性運算（加法和數(shù)乘）、向量積、內(nèi)積、混合積、向量的長度和夾角等內(nèi)容，其中拉格朗日公式是這一節(jié)的重點 向量函數(shù)的微積分和普通函數(shù)的微積分基本類似，所以本節(jié)作為一般了解,返回章首,1.1向量代數(shù),內(nèi)容：向量積、內(nèi)積、混合積的性質(zhì)與計算 重點：拉格朗日公式,返回章首,集合 R3 = (x, y, z) | x, y, zR 稱為三維實向量空間，其元素 (x, y, z) 叫做一個向量。,a,i,j,k,O,返回章首,1.1 向量代數(shù)-向量,例如 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) 是 R3 的三個向量。,除了 i 、j 、k 這三個向量以外，我們

4、一般用藍色小寫英文字母或希臘字母表示向量，如a 、 r 、a、 b 等。,幾何上，我們用一個箭頭表示向量，箭頭的起點叫向量的起點，箭頭的末端點叫向量的終點。,再設(shè) a = (x, y, z)，lR，則 l 與 a 的數(shù)乘定義為 la = lxi + lyj + lzk = (lx, ly, lz).,設(shè) a1 = (x1, y1, z1)，a2 = (x2, y2, z2)，則它們的和定義為 a1 + a2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).,a1,a2,a1+a2,a,la,返回章首,1.1 向量代數(shù)-線性運算,設(shè) i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k

5、 = (0,0,1) ，則任意向量 a = (x, y, z) 可表示為 a = xi + yj + zk（如圖）,a,i,j,k,O,zk,yj,xi,xi+yj,= xi+yj+zk,返回章首,1.1 向量代數(shù)-向量,設(shè) ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是 R3 中的兩個向量，它們的內(nèi)積定義為 a1 a2 = x1x2 + y1y2 + z1z2 內(nèi)積具有如下性質(zhì)： 正定性a a 0，等式成立當(dāng)且僅當(dāng) a = 0； 對稱性a b = b a； 線性性a (kb + hc) = ka b + ha c 向量 a 的長度為 |a| = (a a)1/2；長度為 1 的

6、向量叫單位向量,返回章首,1.1 向量代數(shù)-內(nèi)積,1.1 向量代數(shù)-兩個不等式,定理. 對任意的兩個向量 a、bR3 有下面兩個不等式成立： 許瓦滋不等式 a b |a| |b| 閔可夫斯基不等式 |a + b| |a| + |b| 這兩個不等式中的等式成立的充分必要條件是 ab,返回章首,1.1 向量代數(shù)-兩向量的夾角,向量 a 與 b 的夾角為,如果兩個向量的夾角是 p/2，就稱這兩個向量相互垂直或正交因此兩向量正交的充分必要條件是它們的內(nèi)積為零,由許瓦茲不等式可知 | cosq | 1.,返回章首,1.1 向量代數(shù)-距離,兩個向量 a、b 作為 R3 的點，它們之間的距離定義為 d(a,

7、b) = |a b|在 R3 上裝備了這樣的距離函數(shù)之后就叫歐氏空間 距離具有如下性質(zhì)： 正定性d(a, b) 0，等式成立當(dāng)且僅當(dāng) a = b； 對稱性d(a, b) = d(b, a)； 三角不等式d(a, b) d(a, c) + d(c, b),返回章首,1.1 向量代數(shù)-向量積,a,b,ab,q,伸出右手，讓大拇指和四指垂直，讓四指從向量 a 朝向量 b 旋轉(zhuǎn)一個較小的角度（小于180）到達 b，則大拇指所指的方向就是 ab 的方向（如圖）,設(shè)向量 a、b 的夾角為 q，則它們的向量積（也叫叉積）ab 是這樣一個向量，其長度為 |ab| = |a|b| sinq，方向滿足右手法則：,

8、返回章首,1.1 向量代數(shù)-向量積的性質(zhì),根據(jù)向量積的定義，我們有 ij = k, jk = i, ki = j. 反交換律：ab = ba（見下圖） 分配律：a (b + c) = ab + ac.,a,b,ab,a,b,ba,返回章首,1.1 向量代數(shù)-向量積的計算公式,注意：| ab | 等于由 a 和 b 張成的平行四邊形的面積（如圖）,設(shè) ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是 R3 中的兩個向量，則有：,a,b,q,|a|sinq,|a|b| sinq,=|ab|,返回章首,1.1 向量代數(shù)-混合積,三個向量 a、b、c 的混合積定義為 (a, b, c) =

9、 (ab) c 向量的混合積滿足輪換不變性： (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b). 向量的混合積滿足反交換性，即交換兩個向量的位置改變混合積的符號，如 (a, b, c) = (c, b, a)，等等.,返回章首,注意：|(a, b, c)| 等于由向量 a、b、c 張成的平行四面體的體積 （如圖）,b,a,c,q,|ab|,q,|c|cosq,ab,|(a, b, c)| = |(ab) c| =|ab| |c|cosq =平行四面體的體積,返回章首,1.1 向量代數(shù)-混合積的幾何意義,1.1 向量代數(shù)-混合積的計算公式,設(shè) ai = (xi , yi , z

10、i)（ i = 1, 2, 3 ）是 R3 中的三個向量，則有：,兩個向量垂直的充分必要條件是它們的內(nèi)積為零，兩個向量平行的充分必要條件是它們的叉積為零，三個向量共面的充分必要條件是它們的混合積為零,返回章首,1.1 向量代數(shù)-拉格朗日公式,設(shè) a、b、c、d 是 R3 的四個向量，則,特別地有,返回章首,看證明,練習(xí)題 1證明 (ab)c = (a c) b (b c) a （提示：用分量驗證，并由此證明拉格朗日公式,返回章首,1.2向量分析,內(nèi)容：向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、泰勒公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t 重點：鏈?zhǔn)椒▌t,返回章首,1.2 向量分析-向量函數(shù)的極限,設(shè) r(t) 是一個向量函數(shù)

11、，a 是常向量，如果對任意的 e 0，存在 d 0，使得當(dāng) 0 |t t0| d 時，|r(t) a| e 成立，則稱 a 是 r(t) 當(dāng) t 趨向于 t0 時的極限，記為 , 或者記為 r(t)a (當(dāng) tt0) ,一元向量函數(shù)是形如 r(t) = (x(t) , y(t) , z(t) 的向量，其中 x(t)、y(t)、z(t) 是普通的一元函數(shù)，叫該向量函數(shù)的分量函數(shù),返回章首,1.2 向量分析-向量函數(shù)極限的計算,這個定理表明對向量函數(shù)求極限就是對它的每個分量求極限這樣，向量函數(shù)的極限就轉(zhuǎn)化成普通函數(shù)的極限,定理. 設(shè) r(t) = (x(t), y(t), z(t)，a = (x0

12、, y0, z0) ，則,當(dāng)且僅當(dāng),返回章首,1.2 向量分析-向量函數(shù)的極限的性質(zhì),推論. （極限的運算性質(zhì)）設(shè)當(dāng) tt0 時，有 r(t) a ，s(t) b ，l(t) c ，則我們有： r(t)s(t) ab，l(t)r(t) ca r(t) s(t) a b r(t)s(t) ab,返回章首,1.2 向量分析-向量函數(shù)的連續(xù)性,如果當(dāng) t t0 時有 r(t) r(t0) 成立，則稱向量函數(shù) r(t) 在 t0 處連續(xù)；如果 r(t) 在它的定義域內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱 r(t) 是連續(xù)函數(shù) 連續(xù)函數(shù)的和、差、積（內(nèi)積、向量積、混合積、數(shù)乘）是連續(xù)的 r(t) = (x(t), y(

13、t), z(t) 在 t0 處連續(xù)的充分必要條件是每個分量 x(t)、y(t)、z(t) 都在 t0 處連續(xù),返回章首,1.2 向量分析-一元向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù),顯然，若 r(t) 在一點 t0 處可導(dǎo)，則它在該點處必定連續(xù),存在，則稱向量函數(shù) r(t) 在 t0 處可導(dǎo)，而該極限就叫 r(t) 在 t0 處的導(dǎo)數(shù)，記為 r (t0)如果 r(t) 在它的定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱 r(t) 可導(dǎo)，此時 r (t) 叫 r(t) 的導(dǎo)函數(shù)（也簡稱導(dǎo)數(shù)）,設(shè) r(t) 是一元向量函數(shù)如果極限,返回章首,1.2 向量分析-向量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),向量函數(shù) r(t) = (x(t), y(t), z(t) 的導(dǎo)

14、數(shù)為 r(t) = (x(t), y(t), z(t) 設(shè) l 是普通函數(shù)，r、s、u 都是向量函數(shù)，則 (lr) = lr + lr； (rs) = r s； (r s) = r s + r s； (rs) = rs + rs； (r,s,u) = (r,s,u) + (r,s,u) + (r,s,u ),返回章首,可導(dǎo)的向量函數(shù) r(t) 具有固定長度的充要條件是 r (t) 垂直于 r(t),可導(dǎo)的向量函數(shù) r(t) 具有固定方向的充要條件是 r (t) 平行于 r(t),1.2 向量分析-具有固定長度和固定方向的向量函數(shù),返回章首,看證明,1.2 向量分析-一元向量函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t,定理

15、. （一元向量函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè) r(u) 可微的向量函數(shù)，u = u(t) 是可微的普通函數(shù)，則復(fù)合函數(shù) r(t) = r(u(t) 也可微，并且,返回章首,1.2 向量分析-二元向量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),設(shè) r(u,v) 是二元向量函數(shù)，如果極限,存在，則稱它為函數(shù) r(u,v) 在點 (u0,v0) 處關(guān)于 u 的偏導(dǎo)數(shù)，記為 ru(u0,v0)；同樣，我們可以定義關(guān)于 v 的偏導(dǎo)數(shù) rv(u0,v0),二元向量函數(shù)是形如 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v) 的向量，其中 x(u,v)、y(u,v)、z(u,v) 是普通的二元函數(shù),返回章首,1.2 向量分析-二元向

16、量函數(shù)的微分,返回章首,設(shè) r(u,v) 是二元向量函數(shù)，令 Dr = r(u0 + Du, v0 + Dv) r(u0, v0). 如果存在向量 a、b 使 Dr = aDu + bDv + o(Du)2 + (Dv)2 1/2, 則稱 r(u,v) 在點 (u0,v0) 處可微，而 aDu + bDv就叫 r(u,v) 在點 (u0,v0) 處的微分，記為 dr(u0,v0) = aDu + bDv r 的微分簡記為 dr = aDu + bDv 或 dr = adu + bdv.,定理. 如果 r 是可微向量函數(shù)，則 dr = rudu + rvdv.,返回章首,1.2 向量分析-微分的

17、計算,1.2 向量分析-二元向量函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t,定理. （鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè) r(u,v) 可微如果 u = u(s,t) 和 v = v(s,t) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則,返回章首,1.2 向量分析-向量函數(shù)的積分,其中 a = t0 t1 tk-1 tk = b 是區(qū)間 a, b 的分點，xi 是區(qū)間 (ti-1, ti) 內(nèi)任一點， lk 是定義如下：,向量函數(shù) r(t) 在區(qū)間 a,b 上的積分定義為：,返回章首,向量函數(shù)的積分就是將其每個分量進行積分,定理. 設(shè) r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k，則有,返回章首,1.2 向量分析-向量函數(shù)積分的計算,1.2 向量分析-向量

18、函數(shù)的積分的性質(zhì),設(shè) r(t)、s(t) 是向量函數(shù)，c 是常向量，則有,（ c 為常數(shù)）,返回章首,（ c 為常向量）,（ c 為常向量）,練習(xí)題 1已知 r (t) = a（ a 為常向量），求 r(t) 2已知 r (t) = ta，（ a 為常向量），求 r(t),返回章首,1.3曲線與曲面的概念,內(nèi)容：曲線的切線與法平面、曲面的法線與切平面、曲線和曲面的參數(shù)變換、曲線的弧長等 重點：切線、法線、切平面、法平面的方程,返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-曲線,一元向量函數(shù) r(t) 所描繪的圖形 C 叫曲線，r(t)叫曲線 C 的參數(shù)化，或者叫曲線的向量函數(shù)，t 叫曲線的參數(shù)曲線 C

19、連同它的參數(shù)化 r(t) 一起叫參數(shù)曲線 參數(shù)曲線用 C : r = r(t) 表示如果對某個 t0 使得 r(t0) 0，就稱 r(t0)（或者簡稱 t0）是曲線的正則點如果曲線上處處是正則點，就稱該曲線是正則曲線，相應(yīng)的參數(shù)叫正則參數(shù) 今后為了簡便，我們把“參數(shù)曲線”簡稱為“曲線”；把 R2 中的曲線叫平面曲線，把 R3 中的曲線叫空間曲線,返回章首,圓弧. 曲線 C: r = (cost, sint), t(0, 2p) 是正則曲線，它是一條半徑為 1 的 圓?。ㄈ鐖D）,返回章首,t,O,cost,sint,1.3 曲線與曲面的概念-曲線的例子圓弧,( cost, sint ),1.3

20、曲線與曲面的概念-曲線的例子拋物線,拋物線. 曲線 C: r = (x, x2), x(, +) 也是一條正則曲線，它是拋物線,返回章首,圓柱螺線. 曲線 C: r = (a cost, a sint, bt), t (,+) 也是一條正則曲線，它是纏繞在半徑為 a 的圓柱面 x2 + y2 = a2 上的一條圓柱螺旋線,返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-曲線的例子圓柱螺線,r,1.3 曲線與曲面的概念-曲面,二元向量函數(shù) r(u,v) 所描繪的圖形 S 叫曲面， r(u,v) 就叫曲面 S 的參數(shù)化，也叫曲面的位置向量， 或者叫曲面的向量函數(shù)，u 和 v 都叫曲面的參數(shù)曲面 S 連同它的參

21、數(shù)化 r(u,v) 一起叫參數(shù)曲面,返回章首,S,O,參數(shù)曲面用 S: r = r(u,v) 表示設(shè) r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)， 則 x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) 就是曲面的參數(shù)方程,返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-曲面的參數(shù)方程,1.3 曲線與曲面的概念-正則曲面,設(shè)曲面 S: r = r ( u , v ). 如果 ru ( u0 , v0 ) 與 rv (u0 , v0) 線性無關(guān)，就稱 r (u0 , v0) 是曲面的正則點如果曲面上的所有點都是正則點，就稱該曲面是正則曲面，相應(yīng)的參數(shù)叫正則參數(shù) 曲面

22、S: r = r (u , v) 是正則曲面的充分必要條件是 rurv 0.,返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-正則曲面的例子平面,平面. 設(shè) a = (a1, a2, a3) 是 R3 的一個固定的非零向量，r0 = (x0, y0, z0) 是曲面 S: r = r(u,v) 上的一個定點，r = (x, y, z) 是該曲面上的動點如果 (r r0) a = 0，則該曲面是以 a 為法向量的平面該平面可表示成如下點法式方程：a1(x x0) + a2(y y0) + a3(z z0) = 0.,返回章首,O,r0,r,r r0,a,S,(r r0) a = 0,圓柱面. 半徑為 R，中

23、心軸為 z-軸的圓柱面的向量函數(shù)為 r = (Rcosq, Rsinq, z) , 其中 0 q 2p, a z b.,返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-曲面的例子圓柱面,1.3 曲線與曲面的概念-曲面的例子球面,球面. 半徑為 R，中心為原點的球面的向量函數(shù)為 r = (Rcosj cosq, Rcosj sinq, Rsinj), p/2 j p/2, 0 q 2p.,返回章首,旋轉(zhuǎn)曲面. 考慮 Oxz 平面上的曲線 C: x = j (t), z = y(t)，a t b 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面叫旋轉(zhuǎn)曲面，其向量函數(shù)為： r = (j(t)cosq, j(t)sinq, y(t)

24、, a t b, 0 q 2p.,球面和圓柱面都是旋轉(zhuǎn)曲面,返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-曲面的例子旋轉(zhuǎn)曲面,練習(xí)題 1討論上面例子中的曲面的正則性. 2證明 S: r = r(u,v) 是正則曲面的充分必要條件是 rurv 0,返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-曲線的切線和法平面,返回章首,P,O,C,r(t0),r,設(shè)有曲線 C: r = (x(t), y(t), z(t),一點 P，對應(yīng)的參數(shù)設(shè)為 t0,以 r(t0) 作為方向向量的直線叫做曲線 C 在 P,曲面在 P 點的法平面,在曲線上固定,把過 P 點，且,過 P 點且垂直于切向量的平面叫做,點的切線；,切線,法平面,1.

25、3 曲線與曲面的概念-曲線的切線和法平面方程,該曲線在該點的法平面方程為,曲線 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t) 在點 r(t0) = (x(t0), y(t0), z(t0) 處的切線方程為,返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-切線和法平面舉例,法平面方程為,解：圓柱螺線為 C: r = (acost, asint, bt), 切向量是 r = ( asint, acost, b). 所以切線方程為,例. 求圓柱螺線的切線與法平面方程,返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-曲線的弧長,例. 求星形線（如圖） C: r(t) = (acos3t, asin3t), 0 t

26、2p 的弧長,設(shè)有一段正則曲線 r(t) = (x(t), y(t), z(t)，a t b則該曲線的弧長為,返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-曲線的弧長,解：由于星形線關(guān)于原點對稱，所以只需計算曲線在第一象限部分的弧長當(dāng) 0 t p/2 時有 |r(t)| = 3asintcost 所以第一象限部分的弧長為,因此，星形線的弧長為 6a,返回章首,練習(xí)題 1求旋輪線 x = a(t sint), y = a(1 cost) 在0 t 2p 一段的弧長 2求圓柱螺線 x = 3acost, y = 3asint, z = 4at 從點 (3a,0,0) 到任一點的弧長 3將圓柱螺線 r(t)

27、= (acost, asint, bt) 化成自然參數(shù)形式 4求封閉曲線 r(t) = (cos3t, sin3t, cos2t) 的全長,返回章首,S,1.3 曲線與曲面的概念-曲面的切平面,設(shè) S: r = r (u , v) 是正則曲面，P = r (u0 , v0)因為 rurv 0，所以 ru、rv 線性無關(guān)，因此張成一張過 P 點的平面我們把由 ru(u0,v0)、rv(u0,v0) 所張成的平面叫曲面 S 在點 P 的切平面或者叫切空間，記為 TP S，P點叫切點,返回章首,P,TPS,O,切平面,r0,曲面在點 P = r0 處的切平面方程為 (R r0, ru, rv) =

28、0.,返回章首,S,P,TPS,O,ru,rv,R,R r0,1.3 曲線與曲面的概念-曲面的切平面方程,R r0 , ru，rv三個向量共面，所以它們的混合積為零。,1.3 曲線與曲面的概念-曲面的法線,切平面的法向量為 ru(u0,v0)rv(u0,v0) 法線方程是 R = (rurv)t + r0.,返回章首,O,ru,rv,rurv,R,r0,R r0,/rurv,R - r0 =(rurv)t,1.3 曲線與曲面的概念-切平面上的仿射坐標(biāo),因為 ru、rv 構(gòu)成切空間的基，所以任意切向量 x 都可表示成 ru、rv 的線性組合： x = x1ru + x2rv . 我們把 (x1,

29、 x2) 叫切向量 x 的仿射坐標(biāo) 由于 dr = rudu + rvdv，所以 dr 是曲面的切向量，而且它的仿射坐標(biāo)為 (du, dv),返回章首,O,rv,ru,x,x2rv,x1ru,= x1ru + x2rv,1.3 曲線與曲面的概念-曲線的重新參數(shù)化,設(shè) C: r = r(t) （tI ）是一條正則曲線，h: J I 是從開區(qū)間 J 到開區(qū)間 I 的光滑同胚（即 h 和 h-1 都是光滑映射），則稱 r = rh 是曲線 C 的重新參數(shù)化,弧長與參數(shù)的選取無關(guān),注意，如果參數(shù)曲線 r = r(t) 是正則參數(shù)曲線，則它的重新參數(shù)化 r = rh 也是正則參數(shù)曲線,返回章首,1.3

30、曲線與曲面的概念-自然參數(shù),設(shè)有正則曲線 C: r = r(t)設(shè) s(t) 是曲線 C 上從參數(shù) a 到參數(shù) t 的曲線段的弧長由于s(t) = |r (t)| 0 ，所以由反函數(shù)定理，s 有反函數(shù)t = t(s)代入曲線的向量函數(shù)就得到了以弧長為參數(shù)的向量函數(shù) C: r = r(s),正則曲線總可以經(jīng)過重新參數(shù)化，將其參數(shù)變成弧長參數(shù),曲線的弧長參數(shù)也叫自然參數(shù),返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-自然參數(shù),因為弧長函數(shù)可以取負值，所以弧長參數(shù)也可以為負值,弧長參數(shù)根據(jù)基點的不同選擇可能相差一個常數(shù),關(guān)于弧長參數(shù)，我們用 r 表示 r 對 s 的導(dǎo)數(shù),r 是單位向量,返回章首,1.3 曲線

31、與曲面的概念-曲面的重新參數(shù)化,設(shè) S: r = (x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) 是一張曲面，(u,v)U ，其中 U 是 R2 的開區(qū)域設(shè) V 是 R2 的另一個開區(qū)域，f : VU 是一個光滑同胚（即雙方光滑的映射），則稱 r = r f 是曲面 S 的重新參數(shù)化 ，f -1:(u,v)(u, v) 和 f :(u, v)(u,v) 都叫曲面的參數(shù)變換,定理. 正則曲面的切空間和法線都與曲面參數(shù)的選取無關(guān),返回章首,1.3 曲線與曲面的概念-曲面的正反向參數(shù)變換,如果 (u,v) (u,v) 是正向參數(shù)變換，則 n(u,v) = n(u,v)；如果 (u,v) (u,v

32、) 是反向參數(shù)變換，則 n(u,v) = n(u,v),如果參數(shù)變換的雅可比行列式大于零，則稱此參數(shù)變換為正向參數(shù)變換； 如果參數(shù)變換的Jacobi行列式小于零，此時的參數(shù)變換叫反向參數(shù)變換,下面的向量 n 叫曲面 S: r = r(u,v) 的單位法向量：,返回章首,內(nèi)容：歐氏空間等距變換的定義、解析表達式 重點：等距變換的解析表達式,1.4 等距變換,返回章首,1.4等距變換-定義,設(shè) a = (x1, y1, z1) ， b = (x2, y2, z2) 是 R3 中的任意兩點，它們之間的距離為,如果 T: R3 R3 是一一對應(yīng)，且對任意 a、b R3 有 d(a, b) = d(T(

33、a), T(b) )，則稱 T 是 R3 的等距變換，也叫合同變換、保長變換或歐氏變換,返回章首,1.4等距變換-正交矩陣,如果一個 3 階矩陣 T 滿足 TT t = E ，則 T 是一個 3 階正交矩陣，其中 T t 表示 T 的轉(zhuǎn)置矩陣，E 表示 3 階單位矩陣所有 3 階正交矩陣關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群，叫三階正交矩陣群，記為 O(3) ,由線性代數(shù)知，對任意 3 階矩陣 A 以及任意的向量 a、b R3，有 (aA) b = a (bAt)，這里，aA 表示 13 矩陣 a 與 33 矩陣 A 的積， bAt 等也作同樣的解釋,返回章首,1.4等距變換-解析表達式,定理. 變換 T: R

34、3 R3 是等距變換的充要條件是存在 TO(3) 以及 pR3，使 T(r) = rT + p 對任意的 r = (x, y, z)R3 成立,看證明,返回章首,1.4等距變換-等距變換群,歐氏空間的等距變換的全體關(guān)于變換的復(fù)合構(gòu)成一個群，叫等距變換群,上面的定理說明等距變換一定是形如 rT + p 的變換，并且TO(3) ，因此 T 的行列式等于 1 ,當(dāng) T 的行列式等于 +1 時，對應(yīng)的等距變換叫剛體運動，簡稱運動；當(dāng) T 的行列式等于 1 時，對應(yīng)的等距變換叫反向剛體運動,剛體運動的全體也構(gòu)成等距變換群的子群，叫運動群,返回章首,1.4等距變換-切向量,設(shè) PR3，C 是過 P 點的曲

35、線，我們把 C 在 P 點的切向量叫 R3 在 P 點的切向量過 P 點可以作很多曲線，因此就有很多切向量 R3 在 P 點的切向量的全體組成的集合記為 TP R3，叫做 R3 在 P 點的切空間,注意到 R3 在 P 點的任一切向量是某條過 P 點的曲線在該點的切向量，所以對任意 vTP R3 有如下形式 v = r (t 0) = (x (t 0), y (t 0), z (t 0) ) ,切向量也可以看成是 R3 的點，這樣，R3 與 TP R3 就自然等同起來了,返回章首,1.4等距變換-幺正標(biāo)架,R3 的一個標(biāo)架 P; e1, e2, e3 是由 R3 的一個點 P（叫標(biāo)架的原點）和

36、 P 點的 3 個線性無關(guān)的有序切向量 e1, e2, e3 所構(gòu)成如果這三個切向量是兩兩正交的單位向量，則稱相應(yīng)的標(biāo)架為正交標(biāo)架或幺正標(biāo)架,顯然，O; i, j, k 是 R3 的一個幺正標(biāo)架,O,e1,e3,e2,P,返回章首,1.4等距變換-正標(biāo)架,設(shè) P; e1, e2, e3 是另一個標(biāo)架，其中 ei = aii + bij + cik, i =1,2,3 令,如果 det A 0 ，則稱 P; e1, e2, e3 是正標(biāo)架或右手標(biāo)架或右手系,P; e1, e2, e3 是正標(biāo)架的充分必要條件是混合積 (e1, e2, e3) 0 ,返回章首,返回主目錄,第二章 曲線論,微分幾何,

37、第二章 曲線論,平面曲線,空間曲線,本章補充習(xí)題,第二章內(nèi)容概要,本章我們討論平面曲線和空間曲線的微分幾何性質(zhì)內(nèi)容包括曲線的伏雷內(nèi)標(biāo)架、曲率、相對曲率、撓率、伏雷內(nèi)公式、近似結(jié)構(gòu)、基本定理等 重點：伏雷內(nèi)標(biāo)架、曲率、相對曲率、撓率的計算、伏雷內(nèi)公式的應(yīng)用 如無特別說明，我們都是在曲線的正則點附近進行討論,返回章首,2.1平面曲線,內(nèi)容：曲率、相對曲率、伏雷內(nèi)標(biāo)架、伏雷內(nèi)公式等 重點：曲率與相對曲率的計算,返回章首,2.1 平面曲線-伏雷內(nèi)標(biāo)架,設(shè)平面曲線 C: r = r(s) 以弧長為參數(shù)，則其切向量 a (s) = r (s) 是一個單位向量， 即 a (s) a (s) = 1 兩邊求導(dǎo)

38、數(shù)得 a (s) a (s) = 0，所以 a (s) 垂直于 a (s)，這說明 a (s) 是曲線的法向量 令 b = a / | a |，則對于每一個 s，r(s) ; a (s), b (s) 構(gòu)成平面曲線 C 上的一個幺正標(biāo)架，我們稱之為曲線 C 上的伏雷內(nèi)標(biāo)架,返回章首,由導(dǎo)數(shù)的定義我們可知 b 總是指向曲線彎曲的那一側(cè),C,a(s),a(s+Ds),a(s+Ds),2.1 平面曲線- b 的指向,返回章首,2.1 平面曲線-伏雷內(nèi)公式,由 b 的定義有 a (s) = |a (s)| b (s) 令 k(s) = |a (s)|，則有 a (s) = k (s)b (s). 我們

39、把 k (s) 叫曲線 C 在 r(s) 處的曲率 定理. （伏雷內(nèi)公式）我們有 a = kb , b = ka .,以上伏雷內(nèi)公式叫平面曲線的基本公式,返回章首,2.1 平面曲線-曲率計算公式,平面曲線為直線的充分必要條件是其曲率為零,如果曲線方程為 y = y(x)，取 x 為參數(shù)，則曲線的參數(shù)表示為 r = (x, y(x)，其曲率為,定理. 設(shè)曲線 C: r(t) = (x(t), y(t)，則其曲率為,返回章首,2.1 平面曲線-例子,例. 求橢圓 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率,解：橢圓可參數(shù)化為 r(t) = (a cost, b sint)，參數(shù)方程為 x

40、= acost, y = bsint，所以有 x = asint, x = acost, y = bcost, y = bsint. 代入曲率公式得,返回章首,練習(xí)題 1求曲線 y = sinx 的曲率 2求曲線 x = acos3t, y = asin3t 的曲率,返回章首,2.1 平面曲線-標(biāo)準(zhǔn)伏雷內(nèi)標(biāo)架,前面我們有了平面曲線上的伏雷內(nèi)標(biāo)架 r(s) ; a (s), b (s)但伏雷內(nèi)標(biāo)架不一定是平面正標(biāo)架（即它們關(guān)于平面上的標(biāo)準(zhǔn)基的分量的行列式不一定為正數(shù)）但我們總可以在曲線上選取一單位法向量 n(s)，使 r(s) ; a (s), n(s) 構(gòu)成正標(biāo)架，這個標(biāo)架叫平面曲線的標(biāo)準(zhǔn)伏雷

41、內(nèi)標(biāo)架,a,b,a,n,返回章首,2.1 平面曲線-相對曲率與伏雷內(nèi)公式,因 a / n，所以可令 a (s) = kr (s) n(s)我們稱 kr 為曲線的相對曲率 注意：相對曲率可正可負 定理. 我們有下述形式的伏雷內(nèi)公式： a = krn , n = kra .,返回章首,2.1 平面曲線-相對曲率計算公式,如果曲線由 y = y(x) 給出，則相對曲率為,kr = x y y x ；,特別地，當(dāng)用自然參數(shù)時，相對曲率為,定理. 在一般參數(shù)下，相對曲率為,返回章首,2.1 平面曲線-在一點附近的結(jié)構(gòu),設(shè)曲線 C: r = r(s)則 當(dāng) k (s) 不為 0 時，曲線近似于拋物線 當(dāng)

42、k (s) = 0，但 k (s) 不為 0 時，曲線近似于一條近似立方拋物線（看證明）,返回章首,2.2空間曲線,內(nèi)容：三個基本向量、伏雷內(nèi)標(biāo)架、伏雷內(nèi)公式、曲率、撓率、密切平面、從切平面、一般螺旋線等 重點：曲率與撓率的計算、密切平面與從切平面方程、伏雷內(nèi)公式的應(yīng)用,返回章首,2.2 空間曲線-密切平面,過曲線 C 上一點 P 處的切線和曲線上位于 P 點附近的另一點 Q 作一平面 s (Q)當(dāng) Q 沿曲線趨向于 P 時 s (Q) 的極限位置 s 稱為曲線 C 在 P 點的密切平面 過曲線上一點可以作無數(shù)切平面（通過切線的平面），而密切平面則是在 P 點附近最貼近于曲線的平面 平面曲線的

43、密切平面顯然就是該曲線所在的平面，而直線的密切平面不確定，或者說直線有無窮多個密切平面,返回章首,2.2 空間曲線-密切平面方程,用坐標(biāo)把密切平面方程表示為：,(R r(t0), r(t0), r(t0) = 0.,設(shè)曲線 C: r = (x(t), y(t), z(t) 是光滑的，P 是曲線上一點，其參數(shù)是 t0設(shè) R = (X, Y, Z) 是 P 點的密切平面上任意一點，則密切平面方程為：,返回章首,例. 求螺旋線 r = (cost, sint, t) 在點 P(1,0,0) 處的密切平面方程,解：直接計算得 r (t) = ( sint, cost, 1), r (t) = ( co

44、st, sint, 0). 在給定點 P 處的參數(shù) t = 0，所以有 r(0) = (1,0,0)， r (0) = (0,1,1)， r (0) = ( 1,0,0) 代入密切平面方程并整理得 Y + Z = 0,2.2 空間曲線-例子,返回章首,2.2 空間曲線-基本向量與伏雷內(nèi)標(biāo)架,設(shè)有空間曲線 C: r = r(s)，s 是弧長參數(shù) 單位切向量 a = r 單位主法向量 b = a / |a |（設(shè) r 不為零） 單位副法向量 g = ab 曲線 C 的伏雷內(nèi)標(biāo)架 r ; a , b , g ,C,a,b,g,r,O,返回章首,伏雷內(nèi)標(biāo)架,法,密切,從切,C,P,b,a,g,主法向量

45、和副法向量決定的平面是法平面,切向量和副法向量決定的平面叫從切平面,切向量和主法向量決定的平面就是密切平面,2.2 空間曲線-三棱錐,返回章首,2.2 空間曲線-基本向量的計算公式,設(shè) C: r = r(t) 由一般參數(shù)給出，則三個基本向量的計算公式為 a = r / | r | , g = (r r ) / | r r | , b = g a .,返回章首,2.2 空間曲線-例子,例. 求螺旋線 r = (cost, sint, t) 在點 P(1,0,0) 處的三個基本向量,解：直接計算得 r (t) = ( sint, cost, 1), r (t) = ( cost, sint, 0)

46、. 在給定點 P 處的參數(shù) t = 0，所以有 r (0) = (0,1,1)，r (0) = ( 1,0,0) 代入上面的基本向量計算公式得,返回章首,練習(xí)題 1求曲線 x = acost, y = bsint, z = et 在 t = 0 點的切線、主法線、副法線、密切平面、從切平面與法平面方程 2證明曲線的密切平面與曲線的參數(shù)選取無關(guān),返回章首,2.2 空間曲線-曲率與撓率,設(shè) C: r = r(s) 是空間曲線，稱 k (s) = |a (s)|為曲線 C 在點 r(s) 處的曲率，而 a 叫曲率向量,空間曲線除了彎曲外，還有扭轉(zhuǎn)為了刻畫扭轉(zhuǎn)的程度，我們引進撓率的概念,我們把 t 叫

47、曲線的撓率，這里,返回章首,2.2 空間曲線-伏雷內(nèi)公式,定理.（伏雷內(nèi)公式） a = kb, b = ka + tg, g = tb.,返回章首,2.2 空間曲線-曲率與撓率計算公式,撓率：,曲率：,用一般參數(shù)表示的曲率與撓率計算公式,返回章首,2.2 空間曲線-曲率與撓率為零的曲線,曲線的曲率為零的充要條件是該曲線是直線 曲線的撓率為零的充要條件是該曲線為平面曲線,返回章首,2.2 空間曲線-曲率和撓率計算舉例,解：直接計算得： r = ( asinq, acosq, b), r = ( acosq, asinq, 0), r = (asinq, acosq, 0), |r| = (a2

48、+ b2), rr = (absinq, abcosq, a2), |rr | = (a2b2 + a4)1/2, (r, r, r ) = a2b, 所以有 k = a/(a2 + b2), t = b/(a2 + b2).,例：求圓柱螺旋線 r = (acosq, asinq, bq) 的曲率和撓率,返回章首,練習(xí)題 1求曲線 r(t) = (acosht, asinht, at) 的曲率和撓率，這里 a 0 2求曲線 r(t) = (a(3t t3), 3at2, a(3t + t3) 的曲率和撓率，這里 a 0 3求 a、b，使曲線 r(t) = (acosht, asinht, bt

49、) 上每一點的曲率和撓率相等,返回章首,2.2 空間曲線-一般螺旋線,定理. 設(shè)有曲線 C: r = r(s)，（假定 kt 0 ）則下列條件等價： C 是一般螺線； C 的主法向量與固定方向垂直； C 的副法向量與固定方向成定角； C 的曲率與撓率之比是常數(shù),如果曲線的切向量與固定方向成定角，則稱該曲線為一般螺線,看證明,返回章首,證：由伏雷內(nèi)公式得 r = a = kb， r = (kb ) = k 2 a + k b + k t g , r = 3k k a + ( k k 3 k t 2 )b + (k t ) + t k )g . 所以， (r , r , r ) = k 5 (t

50、/ k ) , 由此即得結(jié)論,例. 曲線 r = r(s) 是一般螺線的充分必要條件是 ( r , r , r ) = 0,2.2 空間曲線-例子,返回章首,2.2 空間曲線-曲線在一點附近的結(jié)構(gòu),空間曲線在一點附近的形狀（設(shè) kt 0 ）： 在法平面上的投影為半立方拋物線； 在從切平面上的投影為立方拋物線； 在密切平面上的投影為拋物線； 從不穿過從切平面； b 總是指向凹入的方向,a,b,g,返回章首,a,b,g,g,a,b,a,g,b,法平面,從切平面,密切平面,2.2 空間曲線-曲線在一點附近的結(jié)構(gòu),練習(xí)題 1求曲線 x = et cost, y = et sint, z = et 在

51、t = 0 處的切線方程 2求曲線 x = t, y = t2, z = t3 經(jīng)過已知點 M0(2, 1/3, 6) 的密切平面方程.,返回章首,2.2 空間曲線-基本定理（唯一性）,定理. （唯一性）設(shè) C: r = r(s) 與 C0: r0 = r0(s) 是兩條正則的空間曲線（ s 屬于區(qū)間 I 是曲線 C 的弧長參數(shù)）如果對區(qū)間 I 中的每個 s，有 k (s) = k0(s)，t (s) = t0(s)，那么，存在一個等距變換 T : R3R3，使 r0 = T r，并且 T 所對應(yīng)的正交矩陣 T 的行列式為 +1，也就是說這樣的兩條曲線可以經(jīng)過一個運動使它們重合,返回章首,2.

52、2 空間曲線-基本定理（存在性）,曲線的存在性定理和唯一性定理叫曲線的基本定理,定理. （存在性）設(shè) k (s), t (s) 是一組定義在 0R 的一個鄰域上的可微函數(shù)， 并且 k (s) 0，則存在一個包含 0 的鄰域 I 和一條以弧長為參數(shù)的曲線 C: r = r(s)，sI，使得其曲率函數(shù)就是 k (s)，撓率函數(shù)就是 t (s),看證明,返回章首,返回主目錄,第三章 曲面的基本理論,微分幾何,第三章 曲面的基本理論,曲面的第一基本形式,曲面的第二基本形式,曲面的主方向與主曲率,高斯曲率與平均曲率,直紋面,本章補充習(xí)題,第三章內(nèi)容概要,本章討論曲面的第一基本形式、第二基本形式、法曲率、

53、主方向、主曲率、Weingarten變換、平均曲率、高斯曲率、直紋面等內(nèi)容 重點：兩個基本形式以及各種曲率的計算,返回章首,3.1曲面的第一基本形式,內(nèi)容：第一基本形式的概念、切向量的長度和夾角、曲面曲線的弧長、曲面區(qū)域的面積等 重點：利用第一基本形式計算弧長和面積,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-第一基本形式的概念,設(shè)有曲面 S: r = r(u,v)，dr = rudu + rvdv 是曲面上的任一切向量，它的長度的平方記為 I = dr dr，則 I = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2, 其中 E = ru ru，F(xiàn) = ru rv，G = rv rv 對正則曲面而言，I

54、 是切平面上的一個正定的二次型我們稱二次型 I 為曲面的第一基本形式，稱 E、F、G 為曲面的第一類基本量,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-例子,例. 設(shè)曲面由 z = f (x,y) 給出，求第一基本形式 解：該曲面的向量函數(shù)表示為 r = r(x,y) = (x, y, f (x,y). 令 p = fx，q = fy，則 rx = (1, 0, p)，ry = (0, 1, q) 由此得 E = rx rx = 1 + p2, F = rx ry = pq, G = ry ry = 1 + q2, I = (1 + p2)dx2 + 2pqdxdy + (1 + q2)dy2.,返

55、回章首,3.1 曲面的第一基本形式-例子,例. 求球面 S2 的第一基本形式 解：球面的參數(shù)表示為 r = (Rcosjcosq, Rcosjsinq, Rsinj), 直接計算得 E = rq rq = R2cos2j, F = rq rj = 0, G = rj rj = R2, 因此 I = R2cos2j dq 2 + R2dj 2.,返回章首,練習(xí)題 1求圓柱面 r(u,v) = (Rcosv, Rsinv, u) 的第一基本形式 2求一般螺面 r(u,v) = (aucosv, ausinv, f (u) + bv) 的第一類基本量 3求懸鏈面 r(u,v) = (acoshuco

56、sv, acoshusinv, au) 的第一類基本量這里， coshu = (eu + e-u),返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-曲面上曲線的弧長,曲面上的曲線 C: r = r(u(t),v(t) 切向量 r = ruu + rvv ，則該曲線相應(yīng)于 a t b 的曲線段的弧長為：,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-曲面上的切向量與切方向,曲面上的切向量 dr = rudu + rvdv 可用其仿射坐標(biāo) (du, dv) 來表示，而該切向量所代表的切方向則可用仿射坐標(biāo)的比值來 du:dv 表示 例如：假設(shè)曲面上有一條曲線 u + v = 0，則該曲線的切方向為 du:dv = 1

57、: 1 ,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-曲面上切方向的夾角,令兩切方向分別為 d = du:dv，d = du:dv，則,給定曲面上兩個切方向 du:dv 和 du:dv，設(shè)它們的夾角為 q，則可以通過計算切向量 dr = rudu + rvdv 與 dr = rudu + rvdv 的夾角來計算這兩個切方向的夾角：,返回章首,曲面的第一基本形式-第一基本形式與參數(shù)選取無關(guān),定理：曲面的第一基本形式與曲面的參數(shù)選取無關(guān),證明：用一階微分的形式不變性很容易證明這個定理通過直接計算也可以證明這個定理詳情點擊這里,練習(xí)題 1設(shè)曲面的第一基本形式為 I = du2 + (u2 + a2) dv

58、2，求其上兩條曲線 u + v = 0 和 u v = 0 的夾角 2在曲面 r(u,v) = (ucosv, usinv, u2) 上，求曲線 v = u + 1 與 v = 3 u 之間的夾角 3求在第一基本形式為 I = du2 + sinh2udv2 的曲面上，方程為 u = v (v1 v v2) 的曲線段的弧長 4設(shè)一個曲面的第一基本形式為 I = du2 + (u2 + a2)dv2，求它上面由曲線 u = ()av2，v = 1 所構(gòu)成的曲線三角形的周長,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-曲面域的面積,設(shè)有曲面 S: r = r(u,v)，(u,v)D則曲面的面積元素為,返

59、回章首,3.1 曲面的第一基本形式-曲面域的面積,如果 s 是曲面上的一個區(qū)域，G 是對應(yīng)的 (u,v)-平面上的區(qū)域，則此曲面區(qū)域的面積為,返回章首,定理：曲面區(qū)域的面積與參數(shù)的選取無關(guān),證明點擊這里,由第一類基本量所決定的量叫內(nèi)蘊量，由第一類基本量所決定的性質(zhì)叫內(nèi)蘊性質(zhì) 曲面的面積、曲面上曲線的弧長、曲面上切向量的夾角等都是內(nèi)蘊量,3.1 曲面的第一基本形式-內(nèi)蘊量,返回章首,練習(xí)題 1求正螺面 r = (aucosv, ausinv, bv) 上由曲線 u = 0，u = a，v = 0，v = 1 所圍成的四邊形的面積 2求球面 r(j,q) = (acosjcosq, acosjsinq, asinj) 的面積,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-正交網(wǎng),設(shè)曲面 S: r